医用高等数学课件：多元函数极值

1、医用高等数学,第四节 多元函数的极值,二、条件极值,一、二元函数的极值,一、二元函数的极值,定义4-6 设函数 在点 的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于 的点 都满足不等式,极大值、极小值统称为极值;使函数取得极值的点称为极值点.,则称函数 在点 有极小值(极大值); . 为函数 极小值点(极大值点).,例,例,例,从以上例子看出:若函数在某点取得极值,这点的偏导数等于零或不存在.下面介绍极值存在的必要条件与充分条件.,定理4-5（必要条件)设函数 在点 取得极值,且在该点处两个一阶偏导数都存在,则必有,则对于的 某邻域内任意,都有,类似地可证 .,必有,说明一元函数 在 处有极大值,故当

2、， 时，,与一元函数相同，我们称一阶偏导数都等于零的点为函数的驻点.,如何判定一个驻点是否为极值点呢?,定理4-6（充分条件） 设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又 ， .,(2)极值点也可能不是驻点.因为偏导数不存在的点也可能是极值点，如锥面 在顶点 处偏导数不存在，但顶点是极值点.,令,则有,（1）当 时,函数 在点 处具有极值,且当 时有极大值, 时有极小值；,（3）当 时,可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论.,（2）当 时, 函数 在点 没有极值；,由此可得求二元可微函数 极值的一般步骤：,例4-28 求函数 的极值.,解 求方程组,得驻点 .,又,求最值的一

3、般方法： （1）求函数在D内的所有驻点和偏导数不存在的点； （2）求出函数在D内的所有驻点和偏导数不存在点处的函数值,以及在区域边界上的最大值和最小值； （3）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,二元函数的最值,例4-29 求函数 在圆域上 的最大值.,解 显然,函数在圆周 上的值到处是 .,令,得驻点 ,所以在 处取得最大值2.,在很多实际问题中,根据问题本身的性质,知道函数f(x,y)在区域D内一定能取到最大值(最小值),又如果函数在D内只有一个驻点,那么这驻点处的函数值就是f(x,y) 在D上

4、的最大值(最小值),而不必再进行检验.,例4-30 要制作一个容量V为长方体箱子，问如何选择尺寸，才能使所用材料最省？,此水箱的用料面积,解 设箱子的长为 ,宽为 ,则其高为 .,令,根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D 内取得.又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当,时，S取得最小值,条件极值 对自变量有附加条件的极值,无条件极值 对自变量除有定义域的限制外无任何其它条件限制的极值,二、条件极值,条件极值还可以应用拉格朗日乘数法来计算.,问题 求目标函数,求解步骤,(1) 构造辅助函数(lagrange函数),( 为常数),(2) 对函数 分别关于 、 、 求偏导

5、数,并令其等于零,得方程组,(3) 解方程组,若 是方程组的解,则 是可能的条件极值点,(4) 判别 是否为极值点.在实际问题中,可根据问题本身的性质来判定.,例4- 31 某工厂生产两种型号的仪器,其产量分别为 台和 台,两种仪器的产量与所需的成本的关系可以用一个以应变量z为成本、以自变量(x,y)为两种仪器产量的函数表示: (单位:万元).若根据市场调查预测,需这两种仪器共8台,问应如何安排生产,才能使成本最小?,构造拉格朗日函数,解 本题归结为: 求函数 在约束条件 下的最小值.,解方程组,得唯一解,由于实际问题的最小值存在， 、 是 唯一的驻点，故 、 是本题的最小值点.即：两种型号的仪器各生产5台和3台时,总成本达最小,最小成本为,(万