专题三：函数单调性+奇偶性求法总结

1、最新 料推荐专题三 :函数单调性 +奇偶性求法总结一、函数单调性题型方法总结：1定义法取值：任取x1 , x2D ，且 x1x2 ；作差：求f ( x1 )f ( x2 ) ；变形：通常是因式分解和配方；定号：判断差f ( x1 )f (x2 ) 的正负；判断： 指出函数 f ( x) 在给定的区间D 上的单调性2性质法增增增；增 减增；减 减减；减增减 yf ( x) 与 yf ( x) 单调性相反若 f (x)0 或 f (x)0 ，则 yf ( x) 与y1f (x)5单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。三、方法列举：1、

2、 定义法：步骤：一设、二差、三判断。例：证明函数 f ( x)xa (a0)在区间 ( a,)x是增函数。解：设a x1x2，ax1ax2 2x1 ax1 x12 x2 ax2f (x2 ) f (x1) x2x1x1x2x2x1x2 ( x2x1 ) a( x2x1 )( x2x1 )(x1x2a)小结：一般地函数 f xxk k 0在 0,k 或xk ,0 上为减函数，在,k 或k ,上为增函数。一般称为对钩函数。2、图像法：（基本函数，如一次、二次，指数、对数函数等）例、作出函数fxx2 6x 9x26x 9 的图像，并指出fx 的单调区间。单调性相反x1x2x1 x2练：指出函数 f

3、xx22 x 3的单调区间3图像法因为 a x1 x2x2 x1 0作出函数的图像，若其图像“上升”则为增函数；图像“下降”则为减函数二、单调性的应用1复合函数的单调性： 先求定义域，再利用 “同增异减” 法则定其单调性2已知单调性比大小若函数 yf ( x) 是某区间上的增函数，则x1x2时， f ( x1 )f ( x2 )3已知单调性求解抽象不等式若 函 数 yf ( x) 是 某 区 间 上 的 增 函 数 ， 则f (x1 )f ( x2 ) 时， x1x24 求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则” 。x1 x2 af ( x2 )f (x1 )0

4、函数 f ( x) xa(a0) 在区间 ( a ,) 是增函数。x练 1: 证明函数 fxx2 在1,上是减函数。x1练 2：证明函数 fxx21x 在其定义域内是减函数。3、快速判断：复合函数单调性（同增异减）例：求函数 ylog0.7 ( x23x2) 的单调区间；解：函数的定义域为(,1)(2,) ，设 tx 23x2， ylog 0.7 ttx23x2 在 (,1), (2,) 上分别是单调递减和单调递增的，ylog 0. 7 t 在( 0,) 上是单1最新 料推荐调递减的，根据复合函数的单调性得函数5：已知函数单调性求参数范围、比大小、求解抽象y 轴对称；y log0.7 ( x2

5、3x 2) 在 (,1), ( 2, ) 上分别单不等式（三）奇偶性题型方法举例：f (x)x22( a 1)x3在区间 1,2函数上1、函数的奇偶性的判断调递增、单调递减。1为单调函数，求a 的取值范围第一种方法 ：利用奇、偶函数的定义，考查f (x) 是x22x 8f ( x) 、 f ( x)练：求函数 fx1的单调区间。否与相等，判断步骤如下：2定义域是否关于原点对称；2奇函数 f (x) 是定义在 ( 2,2)上的单调减函数，数量关系 f (x)f ( x) 哪个成立；例 1：判断下列各函数是否具有奇偶性当 f (2a)f (32a) 时，求 a 的取值范围（1） f ( x) x

6、32 x（ 2） f (x)2x 43x 2x3x2（ 4） f ( x) x2x1,2（3） f ( x)1x4、分段函数的单调性例：指出函数1 xx1的单调区间。2f (x)1xx12练：求 f (x)(3a 1)x 4a(x 1) 在 R 上为单调递增ax(x 1)区间，求 a 的取值范围？二、函数奇偶性题型方法总结：（一）、关于函数的奇偶性的定义定义说明： 对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x , 定义域关于原点对称：f (x)f ( x)f ( x) 是偶函数；f ( x)f ( x)f ( x) 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。( 二

7、 ) 、函数的奇偶性的几个性质对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 x 都必须成立； 可 逆 性 ： f ( x)f (x)f ( x) 是 偶 函 数 ；f ( x)f ( x)f (x) 是奇函数；等价性： f (x)f ( x)f ( x)f ( x)0 ；f (x)f ( x)f ( x)f ( x)0奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于（5） f (x )x 22 x（6） f (x)x211 x2解：为奇函数为偶函数为非奇非偶函数为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数例2：判断函数 f ( x)x2( x0

8、)的奇偶性。x2 ( x0)解 : f (0)02f ( x)当即时有f ( x)( x)2x2f ( x)x 0,x 0 ,当x即x时有f ( x)(x)2( x)2f (x)0,0 ,总有f (x)f ( x),故为奇函数.f (x)第二种方法：利用已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：1、奇函数 +奇函数 =奇函数；偶函数 +偶函数 =偶函数；2奇函数 +偶函数 =非奇非偶函数；奇函数 * 奇函数 =偶函数；偶函数 * 偶函数 =偶函数；奇函数 * 偶函数 =奇函数。2、x x3 x5 x7x2k1(kZ).常见的奇函数：k1(耐克函数(k 0); xx)

9、xsin x; tanx最新 料推荐Tb a 。（ 2）已知函数 yfx 是 R 上的偶函数，且 f x 在7 、 若 f ( x a)f ( x b) 则 f ( x) 的 周 期0,上是减函数，若 faf 2，求 a 取值范围 .T2 ba 。8、定义在R 上的 f(x)关于（ a、0）和（ b、0）都成中心对称则f(x) 是周期函数且 2(b-a) 是一个周期。（ 3）定义域为 R 的函数 fx 在 8,上为减函数，9、定义在R 上的 f(x)关于（ a、0）和 x=b 对称，周期是 4|a-b|且函数 y f x8为偶函数，则x2 x4x6x8 x2k (kZ ).常见的偶函数： 20

10、); x; f ( x )ax c(bcosx;y为常数C(C)ax; log x; kx b(k 0,b 0)常见的非奇非偶函数:ayx a (a0)y 0(定义域关于原点对称)常见的既奇又偶函数：y1 x2x21(x1)两个点的函数2、函数的奇偶性的应用：1、利用奇偶性求函数值例 1：（ 1）已知 f ( x)x 5ax 3bx8 且f ( 2)10 ，求 f ( 2) 的值A.f6f7B.f 6f 9C.f7f9D. f7f 103.利用奇偶性求解析式例 3：（ 1）已知f ( x) 为偶函数，当0x1时 , f ( x)1x, 当1x0时 ，求f (x) 解析式？3、关于函数的奇偶性的

11、9 个结论。1、 f ( x) 是任意函数，定义域关于原点对称，那么f ( x ) 是偶函数。2 、已知函数f (x) 是奇函数，且f ( 0) 有定义，则f ( 0)0 。3、已知 f (x)是奇函数或偶函数， 方程 f ( x) 0 有实根，那么方程f (x)0 的所有实根之和为零；若f ( x) 是定义在实数集上的奇函数，则方程f (x)0有奇数个实根。 .4、型如 f(x)=-f(x+a) （ a 0）则 f(x)的周期是 2a.5、型如 f(x)=1/f(x+a)（ a 0）则 f(x)的周期是 2a.6 、 若 f ( xa)f ( x b) 则 f ( x) 的 周 期 为（2）

12、已知 f (x) 5x53x3x 1 ( x 1 , 1) 的22最大值 M ,最小值为 m ,求 Mm的值2、利用奇偶性比较大小例 2：（ 1）已知偶函数f (x) 在,0 上为减函数，比较 f ( 5) ， f (1) ， f (3) 的大小。（2）已知f ( x) 为奇函数，当x0时, f ( x)x22x ，当 x0 时，求 f ( x) 解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例4：若f( )(k2)x2(k3)x3是偶函数，x讨论函数f ( x) 的单调区间？3最新 料推荐5、利用奇偶性判断函数的奇偶性例 5：已知 f (x)ax2bxcx(a0) 是偶函数，判断 g( x)ax 3bx 2cx 的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值例 ：（ ）定义R上的偶函数f (x) 在 (,0) 单调递6 1减，若 f ( 2a2a 1) f (3a 22a 1)恒成立，求 a的范围 .（ 2）定义 R 上单调递减的奇函数f (x) 满足对任意220 恒成立， 求 k 的t R ，若 f ( t2t ) f (2 t k )范围 .7、利用图像解题例 7：（ 1）设奇函数 f(x) 的定义域为 -5,5. 若当 x 0,5时 ,f(x) 的图象如右图 ,则不等式f x0 的解是