专题：函数的奇偶性讲义(教师用)

1、最新 料推荐函数的奇偶性一、函数奇偶性设函数 y f (x) 的定义域为 D ，如果对于 D 内任意一个 x ，都有xD ，且 f ( x) f ( x) ，那么这个函数叫做奇函数设函数 y g(x) 的定义域为 D ，如果对于 D 内任意一个x ，都有xD ，且 g( x) g( x) ，那么这个函数叫做偶函数奇函数 f ( x) 的图象关于原点成中心对称图形偶函数 g( x) 的图象关于y 轴成轴对称图形二、方法归纳1. 函数的定义域 D 是关于原点的对称点集（即对 x D 就有 x D ），是其具有奇偶性的必要条件2. 在公共定义域内：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和

2、、差是奇函数，积、商是偶函数；偶函数与奇函数的积、商是奇函数3. 判断函数的奇偶性应把握：若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域D 的对称性和变换中的等价性若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性4. 定义在关于原点的对称点集D 上的任意函数f ( x) ，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和即 f (x) F (x) G( x) ，其中 F ( x) f ( x)f (x) 为偶函数，G (x) f (x)2f (x) 为奇函数25. 奇（偶）函数性质的推广：若函数 f ( x) 的图象关于直线xa 对称，则 f ( x)f (x2a) ；若函数 f (

3、x) 的图象关于点 ( a,0) 对称，则 f (x)f ( x2a) ；提示三、典型例题精讲( 1 x 2 x)1( 1 x 2x)x2例 1（ 1）函数 f ( x) 1x1的图象 ()对任意实数 x 都成立1x2x1A 关于 x 轴对称B关于 y 轴对称C关于原点对称D关于直线 x 1 对称111x2x1 ， f (x 2 1(1x2x) f (x)解析：由 f ( x)x)1x1x2x1111(1x2x)1x 2x f ( x) 是奇函数，图象关于原点对称答案： C35最新 料推荐【技巧提示】 用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数（ 2）分段函

4、数奇偶性的判定又例： 函数 f ( x)x 22x3, x0的奇偶性x22x3, x0提 示解析：当 x0时， x0分段函数的奇偶性判f ( x)(x) 22(x)3 x 22x3 f ( x) ；断须注意各段中解析式的当 x 0 时，x0作用范围f ( x)( x) 22( x) 3x22x 3 f (x) f (x) 是奇函数例 2已知 f (x) 是偶函数而且在(0， )上是减函数，判断f (x) 在( ， 0)上的增减性并加以证明解析：函数f (x) 在 (， 0）上是增函数设 x1 x2 0，因为 f ( x) 是偶函数，所以f ( x1 ) f (x1 ) ， f ( x2 ) f

5、 (x2 ) ，由假设可知 x1 x2 0，又已知 f ( x) 在 (0， )上是减函数，于是有f ( x1 ) f (x2 ) ，即 f ( x1 ) f(x2 ) ，由此可知，函数f ( x) 在 (， 0)上是增函数【技巧提示】具有奇偶性的函数，其定义域D 关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间内的单调性具有对应性“偶函数半增半减，奇函数一增全增” 例 3定义在区间 (， )上的奇函数f ( x) 为增函数，偶函数 g( x) 在区间 0， )上的图象与f ( x) 的图象重合，设 a b0 ，给出下列不等式：（ 1） f( b ) f( a ) g( a )g( b )；（ 2）

6、 f( b ) f( a )g( a ) g( b )；（ 3） f( a ) f( b ) g( b )g( a )；（ 4） f( a ) f( b )g( b ) g( a )其中成立的是（）A (1)与 (4)B (2)与 (3)C (1)与 (3)D (2)与 (4)解析：根据函数f (x) 、 g( x) 的奇偶性将四个不等式化简，得：（ 1） f( b ) f( a ) g( a ) g( b )；（ 2） f( b ) f( a ) g( a ) g( b )；（ 3） f( a ) f( b ) g( b ) g( a )；（ 4） f( a ) f( b ) g( b )

7、g( a )再由题义，有f (a) g(a) f (b) g(b) f ( 0) g(0)0 显然（ 1）、（ 3）正确，故选 C【技巧提示】具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性，因而往往与不等式联系紧密36最新 料推荐又例：偶函数f (x) 在定义域为 R，且在（，0 上单调递减，求满足f ( x 3) f (x1)的 x 的集合解析：偶函数f (x) 在（， 0 上单调递减，在 0，）上单调递增根据图象的对称性，f ( x3) f ( x 1) 等价于提示| x 3 | | x1 | 抽象函数常常集函数解之，x1性质、图象、定义域与值， 满足条件的 x 的集合

8、为（1，）域等问题于一身，既能考例 4设 f ( x) 是 (， )上的奇函数， f ( x2) f (x) ，当 0 x 1时， f (x)查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力， x ， x 则 f (7.5) 等于 ()并且概念抽象、构思新颖、A 0.5B 0.5C 1.5D 1.5隐蔽性强、灵活性大、综解析： f (7.5) f (5.52) f (5.5) f (3.5 2) f (3.5) f (1.52)合程度高，它在高中数学f (1.5) f ( 0.52) f (0.5) f (0.5) 0.5教材中虽很少涉及到，但答案： B在各类高考模拟试题中常常见到，也是近年来高考【

9、技巧提示】这里反复利用了f ( x) f ( x) 和 f ( x 2) f (x) ，后试题中的新宠面的学习我们会知道这样的函数具有周期性又例：如果函数 f ( x) 在 R 上为奇函数，且在 ( 1，0)上是增函数， 试比较 f (1) ，f (2) ，f (1) 的大小关系 _33解析： f (x) 为 R 上的奇函数， f ( 1 ) f (1 ) ， f ( 2 ) f (2) ， f (1) f ( 1) ，又 f ( x) 在 ( 1， 0)上是增函数且1 2 1333333 f ( 1 ) f (2) f ( 1) ，f ( 1) f ( 2) f (1) 3333答案：f (

10、 1) f ( 2 ) f (1) 33例 5函数 f (x)的定义域为 D xR x 0，且满足对于任意x1 , x2D ，有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f (x2 )（1）求 f (1)的值；（ 2）判断函数f (x) 的奇偶性，并证明；解：（ 1）令 x1x21，得 f 10；（ 2）令 x1x21，得 f10 ，令 x11, x2 x ，得 fxf 1 f x fxf x ，即 f (x) 为偶函数【技巧提示】赋值法是解决抽象函数问题的切入点常赋值有0， 1， 1， 2， 2，等等37最新 料推荐例 6已知函数 f (x) 在 ( 1，1) 上有定义， f (1 ) 1

11、，当且仅当0 x 1 时 f ( x) 0，且对任意 x、y (1，21)都有 f (x) f ( y) f ( xy ) ，试证明：1 xy(1) f (x) 为奇函数； (2) f ( x) 在 ( 1， 1)上单调递减证明： (1) 由 f ( x) f ( y) f ( xy ) ，令 xy 0，得 f (0) 0，1xy令 y x，得 f ( x) f (x) f (xx ) f (0) 0，f (x) f (x) ， f (x) 为奇函数1x 2(2) 先证 f (x) 在 (0， 1)上单调递减令 0 x1 x2 1，则 f(x2) f(x1) f(x2) f( x1) f(x2

12、x1 )1x1 x2 0 x1 x2 1， x2 x1 0， 1 x1x2 0， x2x1 0，1 x1x2又 (x2 x1) (1 x2x1) ( x21)(x1+1) 0 x2 x1 1 x2x1， 0 x2x1 1，由题意知 f(x2x1 ) 01 x1 x21x1 x2即 f(x2) f(x1)f (x) 在 (0， 1)上为减函数，又f ( x) 为奇函数且f(0) 0 f ( x) 在( 1， 1)上为减函数【技巧提示】这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如f (0), f ( 1), f ( 2) 等等，一般 f (0) 的求解最为常见赋值技巧常为令x y 0 或 x

13、y 等。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；对于(2)，判定x2x1的范围是解题的焦点1 x1 x2练习一、选择题1函数 f(x) (x 1)1 x， x ( 1,1)()1 xA 是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D是非奇非偶函数答案： B解析： x ( 1,1)， x 1 0. f(x) (x 1) 1 x21 x1 x . f( x) f(x) f(x)为偶函数故选 B.38最新 料推荐2函数 f(x) 1x 的图象关于 ()xA y 轴对称B直线 y x 对称C坐标原点对称D直线 y x 对称答案： C解析： f(x) 1 x 是奇函数， f(x)的图象关于原点

14、对称，故选C.x3下列说法错误的个数为 ()图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；图象关于 y 轴对称的函数是偶函数；奇函数的图象一定过坐标原点；偶函数的图象一定与y 轴相交A 4B 3C2D 1答案： C解析：由奇、偶函数的性质，知说法正确；对于，如f(x) 1， x(， 0) (0， )，它是奇函数，但它的图x1象不过原点，所以说法错误；对于，如f(x) x2，x (，0) (0， )，它是偶函数，但它的图象不与y 轴相交，所以说法错误故选C.4已知 f(x)是定义在R 上的奇函数， f( 3) 2，则下列各点在函数f(x)图象上的是 ()A ( 3， 2)B (3,2)C(2 ， 3)D

15、(3， 2)答案： D解析： f(x)在 R 上为奇函数， f( 3) f(3) 2， f(3) 2，故选 D.5设函数 y f(x)在区间 D 上是奇函数，函数yg(x)在区间 D 上是偶函数， 则函数 H(x) f(x) g(x)在区间 D 上是 ()A 偶函数B 奇函数C即奇又偶函数D非奇非偶函数答案： B解析：由 f(x)是奇函数得 f( x) f(x)， g(x) 是偶函数得 g( x) g( x)，H( x)f( x) g( x) f(x) g(x) H( x)，所以 H( x) f(x) g(x)在区间 D 上为奇函数6函数 f(x) ax2 bx 2a b 是定义在 a1,2a

16、 上的偶函数，则ab ()11A 3B.3C 0D 1答案： B解析：由偶函数的定义，知 a1,2a 关于原点对称，所以12a 1 a，解得 a .又 f(x)为偶函数，3则 b0. 所以 a b 1.3二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）7设奇函数 f(x) 的定义域为 5,5 ，若当 x 0,5 时， f(x)的图象如图所示，则不等式f(x) 0 的解集为 _39最新 料推荐答案： ( 2,0) (2,5解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f( x)在 5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f(x)0的解集是 ( 2， 0) (2,5 ，如图所示8.已知 y f(x

17、)是定义在R 上的奇函数，当2x0时， f(x) x 2x，则 f(x)在 R 上的解析式为 _x2 2x，x0，)答案： f(x) x2 2x，x0.解析：令 x 0，则 x 0， f( x) ( x)2 2xx2 2x.x2 2x，x0，)又 f(x)为奇函数， f(x) f( x) x22x， f(x) x22x，x 0.9已知 f(x)在 a， b 上是奇函数，且f(x)在 a， b 上的最大值为 m，则函数 F(x) f(x) 3在 a， b上的最大值与最小值之和为 _答案： 6解析：因为奇函数f(x) 在a， b 上的最大值为m，所以它在 a， b 上的最小值为m，所以函数F(x)

18、 f(x)3 在 a， b上的最大值与最小值之和为m3 ( m 3) 6，故选 D.10已知 f(x)为奇函数，且当x0时， f(x) x2 3x 2.若当 x 1,3 时， f(x)的最大值为 m，最小值为 n，则 m n 的值为 _9答案： 4解析： x 0时， f(x) x2 3x2，且 f(x) 是奇函数，当 x 0 时， x 0，则 f( x) x2 3x2. 故当 x 0时， f(x) f( x) x2 3x 2.33当 x 1， 2时， f(x)是增函数；当 x2， 3 时， f(x)是减函数因此当 x 1,3 时， f(x)maxf31192 ， f(x) min f(3) 2

19、. m， n 2，从而 m n .444三、解答题（共3 小题，每题10 分，共30 分）11判断下列函数的奇偶性：x 2， x 1(1) f(x) |x 1| |x 1|；(2) f(x) 0， |x| 1. x 2， x 1解： (1)函数 f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称因为 f( x) | x 1| | x 1| |x 1| |x 1| f(x)，所以 f( x)为奇函数(2)函数 f(x)的定义域为R ，定义域关于原点对称40最新 料推荐当 x 1 时， x 1， f( x) ( x) 2 x 2 f(x) ；当 |x| 1时， | x| 1，f( x) 0 f(x)；当 x1 时， x 1， f( x) ( x) 2 x 2 f(x) 所以对一切 xR ，都有 f( x) f(x)，即函数 f(x)是偶函数12.已知 f(x)