中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

1、最新 料推荐2012 年中国数学奥林匹克(CMO) 试题第一天1.如图 1，在圆内接ABC 中，A 为最大角， 不含点 A 的弧 BC 上两点 D 、 E 分别为弧ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、 B 且与 AC 相切的圆为O1 ，过点 A 、 E 且与 AD相切的圆为O2 ，O1 与O2 交于点 A 、 P 。证明：AP 平分ABC 。2.给定质数 p 。设 A(aij ) 是一个 pp 的矩阵，满足 aij |1i、jp1,2, p2 。允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列， 将该行或该列的每个数同时加上1 或同时减去 1.若可以通过有限多次上述操作将 A 中元素全变为 0，则

2、称 A 是一个“好矩阵” 。求好矩阵 A 的个数。3.证明：对于任意实数M2 ，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列a1 , a2 ,：（1）对每个正整数 i ，有 aiM i ；（2）当且仅当整数 n0 时，存在正整数m 以及 b1 ,b2 , , bm 1,1 使得n b1a1b2a2bmam .1最新 料推荐第二天4.设 f ( x)( xa)( xb)( a、 b 是给定的正实数), n2 为给定的正整数。对满足x1 x2xn 1的非负实数 x1, x2 , xn ，求 Fmin f (xi ), f (x j ) 的最大值。1i j n5.k为整数，p为质数，满足设 n 为无平方

3、因子的正偶数，p 2 n, p |n, p | ( n k2 ) .证明： n 可以表示为 ab bcca ，其中， a,b, c 为互不相同的正整数。6.求满足下面条件的最小正整数k ：对集合 S1,2,2012 的任意一个k 元子集 A ，都存在 S 中的三个互不相同的元素a 、 b 、 c ，使得 ab 、 bc 、 ca 均在集合 A 中。2最新 料推荐参考答案第一天1. 如图 2，联结 EP 、 BE 、 BP 、 CD 。分别记BAC 、ABC 、ACB 为A 、B、C ，X 、 Y 分别为 CA 延长线、 DA 延长线上的任意一点。由已知条件易得ADDC , AE EB 。结合

4、A 、 B 、 D 、E 、 C 五点共圆得BAE90190C，AEB22CAD901ADC90B。22由 AC 、 AD 分别切O1 、O2 于点 A 得APBBAX 180A,ABPCAP ，及APEEAY180DAE180 (BAECADA)180 (90C) (90BA90A2)22A故BPE360APBAPE90APE2在APE 与BPE 中，分别运用正弦定理并结合AEBE ，得sinPAEPEPEsinPBE ，故 nisPAE nisPBE，又因为APE 、 BPEsinAPEAEBEsinBPE均为钝角，所以，PAE 、PBE 均为锐角，于是，PAEPBE ，故BAPBAEPA

5、EABEPBEABPCAP 。2.由加减法的交换律和结合律可以将针对同一行或同一列的操作合并进行，并且无需考虑各操作间的次序。假设所有操作的最终结果是对第i 行每个数减去xi ，对第 j 列每个数减去y j ，其中xi , y j (1i、 jp )可以是任意整数。由题设知 aijxiy j对所有的 i、 j (1i、 jp) 成立。由于表中各数互不相同，则x1, x2 , x p 互不相同，y1 , y2 , yp 互不相同。不妨设x1x2xp ，这是因为交换 xi 与 xj 的值相当于交换第i 行和第 j 行，既不改变题设也不改变结论。 同样，不妨设 y1y2yp 。于是， 假设数表的每一

6、行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。由上面的讨论知a111,a122 或 a212 ，不妨设 a122 。否则，将整个数表关于主对3最新 料推荐角线作对称，不改变题设也不改变结论。下面用反证法证明：1,2, p 全在第一行中。假设 1,2, ,k (2 kp ) 在第一行中， k1 不在第一行中。于， a21k 1 。将连续的 k 个整数称为一个“块” ，只需证明：表格的第一行恰由若干个块构成，即前k 个数为一个块，之后的 k 个数又是一个块，等等。如若不然，设前n 组 k 个数均为块，但之后的k 个数不成为块 （或之后不足k 个数），由此知对 j 1,2, n, y( j 1)k1

7、 , y( j1) k 2 , y jk 构成块。 从而， 表格的前 nk 列共可分成 pn 个1 k 的子表格 ai ,( j 1) k 1 , ai ,(j 1)k 2 , ai, jk (i1,2, , p; j 1,2, n) ，每个子表格中的 k个数构成块。现假设 a2,nk 1a1,nk 1x2x1a21a11k ，故 a2, nk 1 ak 。从而 a b 必定在前nk 列中。这样 ab 含在某个前面所说的1 k 的块中，但 a 、 ak 都不在该块中，矛盾。于是，第一行恰由若干个块构成。特别地，有 k | p 。但 1kp ，而 p 是质数，这导致矛盾。于是，数表的第一行恰为1

8、,2, p ，而第 k 行必定为 (k 1) p1,( k 1) p 2, , kp.因此，好矩阵 A 在交换行， 交换列，以及关于主对角线作对称下总可转化为唯一的形式。所以，好矩阵的个数等于2( p !) 2.3. 递推地构造正整数序列 an 如下：取整数 a1M 2，以及 a2 a1 1 。对 k2 ，取整数 a2 k 1 M 2k2k22k1ai , a2kkai。下面证明这一序列满足条件。i1i1由 定 义 知 amam 1am2a对m1均 成 立 ， 且 对 任 意 正 整 数k有1a2 k a2 k 1M 2 k 。于是，这一序列是严格递增的正整数序列且满足条件（1）。对任意正整数

9、 n 有 n2 n12n1aia2n 及naia2n 。i 1i1最 后 只 需 说 明 ： 0不 能 表 示 成 b1a 1 b a2 2bm am 的 形 式 ， 其 中 ，b1, b2 , ,bm1,1 。当 m1时， b1a10。4最新 料推荐当 m 1时， | b1a1 b2a2bmam | am ( am 1 am 2a1 ) 0 。这样便验证了所构造的序列满足所有条件。第二天4. 解法 1 由min f ( xi ), f ( xj)min( xia)( xi b),( x ja)( xjb)( xia)( xib)( x ja)( x jb)1a)( x jb)(xib)( x

10、 ja)xi x j1( xix j )( ab)ab ，则( xi22nnnFxi xja b(xix j ) Cn2 ab1(xi )2xi2 a b ( n 1) xiCn2ab1 i j n2 1 i j n2i 1i 12i 11 (1nxi2 )n 1 (a b) C n2 ab1 11 (nxi )2 n 1 (a b) Cn2 ab2i 122ni 121 (11)n1 (ab)n(n1) abn1 ( 1abnab)2n222n当 x1x2xn1时，上式等号成立，故F 的最大值为 n1 ( 1a bnab) 。n2n解法 2对 n 归纳证明下述理一般的命题。命题 对满足 x1

11、x2xns的非负实数 x1, x2 , xn （ s 是任意固定的非负实数） ，Fmin f ( xi), f (x j)1i jn的最大值在 x1x2xns时取到。n事实上，由 F 的对称性，不妨设x1x2xn 。注意到， f ( x) 在非负实数集上是单调递增的。则F(n 1) f (x1) (n 2) f ( x2 )f (xn 1)当 n2时， Ff ( x )f ( s ) ，等号在 x1x2 时成立。12假设结论在 n 时成立，考虑n1的情形。对 x2x3xn 1sx1 用归纳假设有F nf ( x )1 n( n 1) f ( s x1 ) g ( x )12n1n 1其 中 g

12、( x) 为 关 于 x 的 二 次 函 数 ， 其 二 次 项 系 数 为 12 ， 一 次 项 系 数 为2n5最新 料推荐n12sa b(a b) 。2nn因此，对称轴为n 1 ( ab2s) a bs2nn2( n 1)s2n(n1)(a22n12(n 1)b)( n 1) s(2n n 1)n2s显然，上式不等号左边2(n21)s右边，所以，当 x1时， g (x1 ) 取得最大值。n 1因此， F 取得最大值时， x2x3xn 1sx1sx1 。nn1由数学归纳法，命题得证。5. 由于 n 是偶数，故 p2 。又 p |n ，故 p |k 。不妨假设 0 kp.取 ak, bp k

13、 ，则 cn k ( p k)n k2ppk由条件知 c 是整数， a 、 b 是不同的正整数。下面只需证明：c0 ，并且 ca 、 b.由均值不等式有nk2 np ，故 nk 2pk .由此知 c 0.k若 c a ，则 nk 2kk ，即 n k(2 pk).p由于 n 是偶数，故k 为偶数，这样 n 被 4 整除，这与 n 无平方因子矛盾。若 c b ，则 np2k 2 .由于 n 是偶数，故 k 为奇数，这同样导致n 被 4 整除，矛盾。综上，选取的 a 、 b 、 c 满足条件。命题获证。6. 设 abc ，令 xab, ya c, z bc.则 x yz, xy z，且 x yz

14、为偶数 .反之，若存在 x 、 y 、 zA 满足性质，则取axyz ,bxz y ,cy z x ,222有 a 、 b 、 cZ ,1 abc2012 ，且 xab, yac, zbc.6最新 料推荐于是，题述条件等价于对任意的k 元子集 A ，均有 x 、 y 、 zA ，满足性质。若 A1,2,3,5,7,2011 ，则 A1007 ，且集合 A 中不含有满足性质的三个元素。因此 k1008.下面证明：任意一个1008 元子集均含有三个元素满足性质。接下来证明一个更一般的结论：对任意整数 n(n4) ，集合 1,2, 2n 的任意一个 n2 元子集均含有三个元素满足性质。对 n 进行归

15、纳。当 n4时，设集合 A 是 1,2,8 的一个六元子集，则A 3,4,8 至少有4 个元素。若 A3,4,8 中含有三个偶数，则 4、6、 8A 且满足性质；若 A3,4,8 中恰含有两个偶数，则它还应含有至少两个奇数，取这两个奇数，则4、6、 8 中至少有两个偶数与这两个奇数可以形成一个满足性质的三元数组，由于至少有两个偶数，故存在三个数满足性质；若 A3,4,8 中恰含有一个偶数，则它含有全部三个奇数，此偶数与5、 7 即构成满足性质的三元数组。因此，当 n 4 时，结论成立。假设结论对 n(n4) 成立，考虑 n1的情形。设集合 A 是 1,2,2 n2 的一个 n 3 元子集，若 A1,2,2 nn2 ，则由