2012届高考数学一轮复习课件空间距离及其计算、折迭问题.ppt

1、第54讲 空间距离及计算、折叠问题,1.了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法. 2.能熟练地将直线与平面之间的距离，两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离. 3.了解折叠问题的基本内涵，掌握分析求解折叠问题的基本原则.,1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=a,AA1=2a,则点A到直线A1C的距离为( ),C,A. a B. a C. a D. a,解析：如图，点A到直线A1C的距离，即为RtA1AC斜边上的高AE. 由AB=BC=a,得AC= a. 又AA1=2a,所以A1C= a, 所以AE= = a.,2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA

2、1=1，则点A到平面A1BC的距离为( ),B,A. B. C. D.,解析：取BC的中点M，连接AM、A1M，可证平面A1AM平面A1BC. 作AHA1M，垂足为H,则AH平面A1BC. 在RtA1AM中，AA1=1，AM= ，A1M=2, 故AH= .,3.如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列命题中正确的是( ),D,A.平面ABD平面ABC B.平面ADC平面BCD C.平面ABC平面BCD D.平面ADC平面ABC,解析：由已知BAAD,CDBD，又平面ABD

3、平面BCD,所以CD平面ABD. 从而CDAB,又BAAD,故AB平面ADC. 又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.,4.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a, E、F分别是B1C1、BB1的中点，则： (1)直线EF与平面D1AC1的距离是 ; (2)平面AB1D1与平面C1BD间的距离是 .,解析：(1)易知EF平面D1AC1.过E作EHBC1H. 因为D1C1平面BB1C1C，所以D1C1EH, 故EH平面D1AC1，从而EF与平面D1AC1的距离为EH= a. (2)因为平面AB1D1平面C1BD,连接A1C,设A1C 分别与平面AB1D1和平面C1BD交于O1、O2,则

4、为所求距离,且O1O2= A1C= a.,一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的 的长度. 2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线， 的长度. 3.点到平面的距离：自点向平面引垂线， 的长度. 4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线, . 的长度.,线段,点到垂足之间线段,点到垂足间线段,点到垂足间线段,5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度. 6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线, 的长度. 7.两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的 的长度.,线段,这点到垂足间线

5、段,公垂线段,二、求距离的一般方法与步骤 （一）传统方法 1.两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用 求解. 2.平行直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求 的距离. 3.求距离的基本步骤是：()找出或作出有关距离的图形；()证明它符合定义；()在平面图形内计算.,平面几何方法,点面间,三、折叠问题 1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持 .

6、,不变,题型一 用基本法求空间距离,评析：点到平面的距离是有关距离的重点，它主要由两种方法求得：(1)用定义直接作出这段距离，经论证再计算，即“找(作)证算”；(2)等积法：转化为锥体的高，用锥体的体积公式求解,题型二 用向量法求空间距离,则,评析：由上可知，用向量求立体几何中有关距离的问题，不但可以减少一些辅助线的添加，而且求解简捷利用向量法求点到平面的距离的步骤如下： (1)求出该平面的一个法向量n；(2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a；(3)利用公式d= 求距离,题型三 折叠问题,例3 在直角梯形ABCD中，D=BAD=90，AD=DC= AB=a(如图），将ADC沿A

7、C折起，使D到D，记平面ACD为，平面ABC为，平面BCD为（如图）.,（1）若二面角-AC-为直二面角，求二面角-BC-的大小； （2）若二面角-AC-为60，求三棱锥D-ABC的体积.,解析： (1)在直角梯形ABCD中，由已知DAC为等腰直角三角形， 所以AC= a, CAB=45. 过点C作CHAB,由AB=2a， 可推得AC=BC= a， 所以ACBC. 取AC的中点E，连接DE，则DEAC. 又二面角-AC-为直二面角,所以DE.,又因为BC平面，所以BCDE， 所以BC. 而DC ，所以BCDC， 所以DCA为二面角-BC-的平面角. 由于DCA=45， 所以二面角-BC-的大小

8、为45.,(2)取AC的中点E，连接DE，再过点D作DO，垂足为O，连接OE. 因为ACDE，所以ACOE， 所以DEO是二面角-AC-的平面角， 所以DEO=60. 在RtDOE中，DE= AC= a， DO=sin60DE= a， 所VD-ABC= SABCDO= ACBCDO, = a a a= a3.,评析 分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系.,素材3 如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形（如图）.将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图). (1)证明：ACBO1； (2)求二面角OACO1的正弦值

9、.,解析：（方法1）（1）证明：由题设知，OAOO1，OBOO1, 所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 从而AO平面OBCO1. OC是AC在面OBCO1内的射影. 因为tanOO1B= = , tanO1OC= = , 所以OO1B=60，O1OC=30, 从而OCBO1，由线面垂直得ACBO1.,(2)由(1)知,ACBO1,OCBO1,知BO1平面AOC. 设OCO1B=E,过点E作EFAC于F,连接O1F, 则EF是O1F在平面AOC内的射影. 由线面垂直得ACO1F， 所以O1FE是二面角O-AC-O1的平面角. 由已知，OA=3，OO1= ，O1C=1， 所以O1

10、A= =2 ,AC= = ， 从而O1F= = .又O1E=OO1sin30= , 所以sinO1FE= = .,(方法2)(1)证明:由题设知 OAOO1,OBOO1. 所以AOB是所折成的直 二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直 线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系，如右图.则相关各点的坐标是,(2)因为 =-3+ =0, 所以BO1OC. 由(1)知ACBO1，ACOC=C， 所以BO1平面OAC， 所以 是平面OAC的一个法向量. 设n=(x,y,z)是平面O1AC的一个法向量， n =0 -3x+y+ z=0 n =0 y=0，,由,，得,取

11、z= ,得n=(1,0, ). 设二面角OACO1的大小为，由n、 的方向可知=n, ， 所以cos=cosn， = = = ， 则sin= . 即二面角OACO1的正弦值为 .,n,1.对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到直线、点到平面的距离.点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面的距离也可以用等体积法. 2.求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算.其中第二步证明易被忽略，应当引起重视.,3.用向量法求距离，方便快捷，应注意掌握一般转化为点面距离后，按如下步骤操作： (1)求出平面的法向量n； (2)找出以该点及面内某点为端点的线段对应的向量a； (3)