2012年考研数学真题及参考答案数学一_W

1、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.x2 + x（1）曲线 y =渐近线的条数为（）x2 -1（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 【答案】： Cx2 + x= ，所以 x = 1 为垂直的【解析】： limx -12x1x2 + x= 1，所以 y = 1为水平的，没有斜渐近线lim故两条选Cx2 -1x（2）设函数 f (x) = (ex -1)(e2 x - 2)L (enx - n) ，其中n 为正整数，则 f (

2、0) =（A） (-1)n-1 (n -1)!（B） (-1)n (n -1)!（C） (-1)n-1 n!（D） (-1)n n!【答案】： C【解析】： f (x) = ex (e2 x - 2)L (enx - n) + (ex -1)(2e2 x - 2)L (enx - n) +L (ex -1)(e2 x - 2)L(nenx - n)所以 f (0) = (-1)n-1 n!（3）如果 f (x, y) 在(0, 0)处连续，那么下列命题正确的是（）f (x, y)（A）若极限lim存在，则 f (x, y) 在(0, 0) 处可微x +yx0 y0f (x, y)（B）若极限l

3、im2 存在，则 f (x, y) 在(0, 0) 处可微x2+ yx0 y0f (x, y)（C）若 f (x, y) 在(0, 0) 处可微，则极限lim存在x +yx0 y0f (x, y)（D）若 f (x, y) 在(0, 0) 处可微，则极限lim2 存在 x + y2x0 y0【答案】：f (x, y)存在，则必有 f (0, 0) = lim f (x, y) = 0【解析】：由于 f (x, y) 在(0, 0)处连续，可知如果limx2+ y2x0 y0x0 y0f (x, y) - f (0, 0)f (x, y) - f (0, 0)f (x, y)这样， lim就可以

4、写成 lim，也即极限 lim存在，可知x + y22x + y22x + y22x0 y0x0y0x0y0f (x, y) - f (0, 0) = 0x + 0y +o(x + y )。由可微的定义 lim f (x, y) - f (0, 0) = 0 22，也即xx + y22y可知 f (x, y) 在(0, 0) 处可微。k2（4）设 Ik =exsinxdx(k=1,2,3),则有 De（A）I1 I2 I3. (C) I1 I3 I1, 【答案】：(D) 【解析】： Ik =I2 I2 I3.(B)I1I2 I3.(D)k x2esin xdx 看为以 k 为自变量的函数，则可

5、知 Ik = esin k 0, k (0,p )，k 2ek在 (0,p ) 上为单调增函数， 又由于 1,2,3(0,p ) ， 则 2即可知 Ik =esin xdx 关于 xkeI1 I2 I3 ，故选 D -10 0 1 （5）设a = 0 ,a = 1 ,a =-1,a = 1 其中c , c ,c ,c 为任意常数，则下列向量组线性相关 12341234c c c c 1 ） 2 3 4 的是（A）a1,a2 ,a3（C）a1,a3 ,a4【答案】：（C） （B）a1,a2 ,a4（D）a2 ,a3 ,a4-100c11-1c31-1【解析】：由于 (a1,a3 ,a4 ) =

6、0 ，可知a1,a3 ,a4 线性相关。故选（C）= c11c4-1113 阶可逆矩阵，且 P-1 AP = ， P = (a ,a ,a，)（6） 设 A 为 3 阶矩阵， P 为 11232Q = (a1 + a2 ,a2 ,a3 ) 则Q AQ = （-1）11（A） （B） 211222（C） （D） 1221【答案】：（B） 10100 10100【解析】： Q = P 10，则Q-1 =-10P-1 ， 01 1 000 1 10100 100 1 10100 1故 Q-1 AQ = -10 P-1 AP 110 = -10 10 = 1011 1 01 12 01 2000故选（

7、B）。 量 x 与y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 px 0, y 0【解析】： ( X ,Y ) 的联合概率密度为f (x, y) = 0，其它 15+y+则 PX Y = f (x, y)dxdy =dxedx =edy =- x-4 y-5 y000x y（ 8 ） 将 长度为 1m 的木 棒 随机地 截 成两段 ， 则两段 长 度的相 关 系数为（ ） 12- 12(D)-1( A) 1(B)(C)【答案】： (D)【解析】：设两段长度分别为 x, y ，显然 x + y = 1, 即 y = -x +1，故两者是线性关系，且是负相关，所以 相关系数为-

8、1二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）若函数 f (x) 满足方程 f (x) + f (x) - 2 f (x) = 0 及 f (x) + f (x) = 2ex ，则 f (x) = 。【答案】： ex【解析】：特征方程为 r 2 + r - 2 = 0 ，特征根为 r = 1, r = -2 ，齐次微分方程 f (x) + f (x) - 2 f (x) = 012的通解为 f (x) = C ex + C e-2 x .再由 f (x) + f (x) = 2ex 得2C ex - C e-2 x = 2ex ，可知C =

9、1, C = 0 。 121212故 f (x) = ex22x - x2 dx 。（10） x0p2【答案】：p2211【解析】：令t = x -1得 x2x - x dx =(t +1)21- t dt =1- t dt =22-1-10z （11） gradxy+y 。【答案】：1,1,1 (2,1,1) z = - z , 1 =1,1,1【解析】： grad xy + y, xy y y2 (2,1,1) (2,1,1)（12）设= (x, y, z) x + y + z = 1, x 0, y 0, z 0,则 y2ds = 。 312【答案】：【解析】：由曲面积分的计算公式可知

10、y2ds = y2 1+ (-1)2 + (-1)2 dxdy =3y2dxdy ，其中 DD 3121- y11D = (x, y) | x 0, y 0, x + y 1。故原式=3dyy dx = 3y (122- y)dy =000（13）设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 E - xxT 的秩为 。 【答案】： 2【解析】：矩阵 xxT 的特征值为0, 0,1 ，故 E - xxT 的特征值为1,1,0 。又由于为实对称矩阵，是可相似对角 化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即 r (E - xxT ) = 2 。 11-， A, C 互不相容， P( AB) =,

11、 P(C) =,则 P( ABC) = 。 （14）设 A, B, C 是随机2334【答案】： P (ABC )【解析】：由条件概率的定义， P( AB C)= ，P (C )12其中 P (C ) = 1- P (C ) = 1-=，33P ( ABC ) = P ( AB) - P ( ABC ) = 1 - P ( ABC ) ，由于 A,C 互不相容，即 AC = f ， P ( AC ) = 0 ，又2ABC AC ，得 P ( ABC ) = 0 ，代入得 P ( ABC ) = 1 ，故 P ( AB C ) = 3 .24三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在

12、答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 1+ x +x2cos x 1+, -1 x 1 2证明： x ln1- x2【解析】：令，可得1- x2f ( x) = ln 1+ x + x 1+ x g2- sin x - x(1- x)21- x1- x= ln 1+ x +2x- sin x - x1- x1- x21+ x1+ x2= ln+gx - sin x1-2x1- x1+ x1+ x21+ x2当0 x 1，所以gx - sin x 0 ，1- x1- x21- x21+ xx2故 f ( x) 0 ，而 f (0) = 0 ，

13、即得 x ln+ cos x -1- 0 21- x1+ xx2+ cos x +1 。2所以 x ln1- x1+ x1+ x21+ x2当-1 x 1，所以gx - sin x 0 ，1- x21+ xx2f ( x) 0 ，即得 x ln+ cos x -1- 0 2故1- x1+ xx2+ cos x 1+, -1 x 1 2可知， x ln1- x（16）（本题满分 10 分）x2 + y2求 f ( x, y) = xe -的极值。2x2 + y2【解析】： f ( x, y) = xe -，2fx( x, y) = e - x = 0, fy ( x, y) = - y = 0

14、，解得函数为驻点为(e,0). 先求函数的驻点.又 A = fxx (e,0) = -1, B = fxy (e,0) = 0,C = fyy (e,0) = -1，所以 B2 - AC 0, A 0 ，故 f (x, y)在点(e,0)处取得极大值 f (e,0) = 1 e2 .2（17）（本题满分 10 分） + 4n + 34n2求幂级数x2n 的收敛域及和函数2n +1n=04n2 + 4n + 3ann+1an 2n +1【解析】： R =lim=lim a=lim4(n +1) + 4(n +1)+ 32annnn+12(n +1)+14n2 + 4n + 3 2(n +1)+1

15、=lim= 14(n +1)2 + 4(n +1)+ 32n +1n4n2 + 4n + 3S (x) = 2nx2n +1n=0x 4n2 + 4n + 3xS (t)dt =2nx dx2n +100n=04n2 + 4n + 3x = 1时2nx 发散 2n +1n=04n2 + 4n + 3Q lim 2n +1=1n2n +14n2 + 4n + 32nx = -1时(-1) 收敛2n +1n=0x(-1,1)为函数的收敛域。4n2 + 4n + 3 x2n 1和函数为S (x) = 2n +1xn=0（18）（本题满分 10 分）x = f (t)pp0 t 00 t 0(0 t

16、0 ,设 Z = X -Y , (1) 求 z 的概率密度 f (z,s 2 )； 2Z 的简单随机样本，求s 的最大似然估计量s ； 2z , z ,L z 为来自总体 (2) 设 12n(3) 证明s 2 为s 2 的无偏估计量。 【解析】：（1）因为 X N (m,s 2 ),Y N (m, 2s 2 ) ，且 X 与Y 相互独立，故 Z = X - Y N (0, 5s 2 ) ， z21-所以， Z 的概率密度为 f (z,s 2 ) =e 10s 2 , (- z +)10ps（2）似然函数nn110s i1 i-2n-2n1zz- n()-L(s ) = f (z ,= (10p )2ss2o ) =10222 e2 ei=1i=12in2n2()()psi=1210