初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

1、最新资料推荐中考数学最值问题总结考查知识点 ： 1、“两点之间线段最短” ，“垂线段最短” ，“点关于线对称” ，“线段的平移” 。（ 2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型： 饮马问题造桥选址问题 （完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式 ：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路 ：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型 ：B条件：如下左图， A 、 B 是直线 l 同旁的两个定点A问题：在直线 l 上确定一点 P ，使 PAPB 的值最小l方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A ，连结 A B 交 l 于P点 P

2、，则 PA PBA B 的值最小A例 1、如图，四边形ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD （不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转60得到 BN ，连接 EN 、 AM 、 CM （ 1 ）求证： AMB ENB ；（ 2 ）当 M 点在何处时， AM+CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（ 3 ）当 AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。1最新资料推荐例 2 、如图 13，抛物线 y=ax 2 bx c(a 0)的顶点为（ 1,4 ），交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B 点的坐标为（

3、3,0 ）（1）求抛物线的解析式（2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为 PQ 上一动点，则 x 轴上是否存在一点 H，使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H 的坐标；若不存在，请说明理由 .（3）如图 15，抛物线上是否存在一点T ，过点 T 作 x 的垂线，垂足为M ，过点 M 作直线M N BD，交线段 AD于点 N，连接 MD，使 DNM BMD，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理由 .2最新资料推荐例 3 、如图 1，四边形 AEFG

4、 与 ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b 2a),且点 F 在AD 上（以下问题的结果可用a,b 表示）（ 1）求 S DBF ;(2) 把正方形 AEFG 绕点 A 逆时针方向旋转450 得图 2,求图 2 中的 SDBF ;(3) 把正方形 AEFG 绕点 A 旋转任意角度 ,在旋转过程中 ,S DBF 是否存在最大值 ,最小值 ? 如果存在 ,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。3最新资料推荐例 4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 1 x+1 与抛物线 y=ax 2 +bx3 交于 A， B 两点，2点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为3。点 P 是直线 A

5、B 下方的抛物线上一动点（不与A，B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交直线AB 与点 C，作 PD AB 于点 D（ 1）求 a， b 及 sin ACP 的值（ 2）设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把 PDB 分成两个三角形， 是否存在适合的 m 值，使这两个三角形的面积之比为 9： 10？若存在，直接写出 m 值；若不存在，说明理由 .4最新资料推荐例 5、如图，C的内接 AOB中，AB=AO=4，tan AOB=3 , 抛物线 yax2bx 经过点 A(4,0)4与点（ -2,6 ） .（ 1）求抛物线

6、的函数解析式；（ 2）直线 m与 C 相切于点 A，交 y 于点 D.动点 P 在线段 OB上，从点 O出发向点 B 运动；同时动点 Q在线段 DA上，从点 D 出发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒 1 个单位长，点Q的速度为每秒2 个单位长，当PQAD时，求运动时间t 的值；（ 3）点 R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当ROB 面积最大时，求点R 的坐标 .5最新资料推荐例 1 、证明：（ 1 ） ABE 是等边三角形， BA=BE ， ABE=60 MBN=60， MBN- ABN= ABE- ABN 即 MBA= NBE 又 MB=NB， AMB ENB （ SAS ）（ 5

7、 分）解：（ 2 ）当 M 点落在 BD 的中点时， A、 M 、C 三点共线， AM+CM 的值最小（ 7 分）如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM的值最小（9 分）理由如下：连接MN ，由（ 1 ）知， AMB ENB ， AM=EN， MBN=60， MB=NB， BMN 是等边三角形 BM=MN AM+BM+CM=EN+MN+CM（ 10 分）根据 “两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC 的长（ 11分）6最新资料推荐例 2、 解：（ 1）设所求抛物线

8、的解析式为：y a( x 1) 24 ，依题意，将点 B（ 3，0）代入，得： a(31)240解得： a 1所求抛物线的解析式为：y(x 1)24（ 2）如图6，在 y 轴的负半轴上取一点I，使得点 F 与点 I 关于 x 轴对称，在 x 轴上取一点 H ，连接 HF 、 HI 、 HG 、 GD、 GE，则 HF HI 设过 A 、 E 两点的一次函数解析式为：y kx b（ k 0），点 E 在抛物线上且点E 的横坐标为2，将 x2 代入抛物线 y(x1)24 ，得y( 212)43点 E 坐标为（ 2， 3）又抛物线 y( x1) 24 图像分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 B、

9、 D当 y 0 时， ( x 1)24 0 ， x 1 或 x 3当 x0 时， y 1 43,点 A （ 1， 0），点 B （ 3， 0），点 D （0， 3）又抛物线的对称轴为：直线x 1，点 D 与点 E 关于 PQ 对称， GD GE 分别将点 A （ 1， 0）、点 E（ 2，3）代入 y kx b，得：kb0解得：k12kb3b1过 A 、 E 两点的一次函数解析式为：y x 1当 x 0 时， y 1点 F 坐标为（ 0， 1） DF =2又点 F 与点 I 关于 x 轴对称，点 I 坐标为（ 0， 1） EIDE 2DI 222422 5 又要使四边形DFHG 的周长最小，由

10、于DF 是一个定值，只要使 DG GH HI 最小即可由图形的对称性和、，可知，DG GH HF EG GHHI只有当 EI 为一条直线时，EG GH HI 最小设过 E（ 2， 3）、 I（ 0， 1）两点的函数解析式为：yk1 xb1 (k10) ，分别将点E（ 2， 3）、点 I（0， 1）代入 yk1xb1 ，得：2k1b13b117最新资料推荐k12解得：1b1过 A 、 E 两点的一次函数解析式为：y 2x 1当 x 1 时， y 1；当 y 0 时， x 1 ；2点 G 坐标为（ 1， 1），点 H 坐标为（1 ， 0）2四边形 DFHG 的周长最小为： DF DG GH HF

11、DF EI 由和，可知：DF EI 225四边形DFHG 的周长最小为22 5 。（3）如图 7，由题意可知，NMD MDB ，NMMD要使， DNM BMD ，只要使即可，MDBD即： MD 2NMBD 设点 M 的坐标为（ a， 0），由 MN BD ，可得 AMN ABD ，NMAMBDAB再由（ 1）、（ 2）可知， AM 1 a， BD 32， AB 4 MNAMBD(1a)3 232 (1 a)AB44 MD 2OD 2OM 2a29 ，式可写成：a29342 (1a)32解得： a33 （不合题意，舍去）或 a23 ， 0）点 M 的坐标为（2又点 T 在抛物线 y(x1)24

12、图像上，当 x3 时， y 1522点 T 的坐标为（3 ， 15 ） .228最新资料推荐例 3、解：（ 1）点 F 在 AD 上， AF 2=a2 a2，即 AF=2a 。 DF b2a。 S DBF1 DFAB1 （ b2a） b1 b23 ab 。2222（ 2）连接 DF， AF ，由题意易知 AF BD ，四边形 AFDB 是梯形。 DBF 与 ABD 等高同底，即 BD 为两三角形的底。由 AF BD ，得到平行线间的距离相等，即高相等， S DBFS ABD1 b2 。2（3）正方形 AEFG 在绕 A 点旋转的过程中， F 点的轨迹是以点A 为圆心， AF 为半径的圆。第一种

13、情况：当b2a 时，存在最大值及最小值， BFD 的边 BD=2b ，当 F 点到 BD 的距离取得最大、最小值时，SBFD 取得最大、最小值。如图，当 DF BD 时， SBFD 的最大值 = 12b (2b 2a)b22ab ，222S BFD 的最小值 = 12b (2b 2a)b22ab 。222第二种情况：当b=2a 时，存在最大值，不存在最小值，S BFD 的最大值 =b22ab 。29最新资料推荐例 4、解：（ 1）由 1 x+1=0 ，得到 x= 2， A （ 2， 0）。2由1x+1=3 ，得到 x=4 ， B （4， 3）。2 y=ax2 +bx3经过 A 、B 两点，14

14、a2b3=0a=2。，解得16a+4b3=3b=12设直线 AB 与 y 轴交于点E，则 E（ 0，1）。根据勾股定理，得AE=5 。PCy 轴， ACP= AEO 。 sinACP=sinOA225。AEO=55AE（2）由（ 1）可知抛物线的解析式为y=1 x 21 x3 。22由点 P 的横坐标为 m ，得 Pm，1m 21m 3， Cm，1m+1 。222PC=1 m+11 m21 m31 m2 +m+4 。2222在 Rt PCD 中， PD PC sin ACP=1 m 2 +m+42 5 =5 m29 5 ，1 +2555 5 0 ，当 m=1 时， PD 有最大值 9 5 。5

15、5存在满足条件的m 值， m= 5 或 32 。2910最新资料推荐例 5、解：（ 1）将点 A（4，0）和点（ -2 ，6）的坐标代入y=ax2 +bx 中，得方程组16a+4b=0 ，4a-2b=6a= 11x2 -2 x .解之，得2 . 抛物线的解析式为 y=b=-22（ 2）连接 AC交 OB于 E.直线 m切C于 AACm， 弦 AB=AO， ABAO . ACOB， mOB. OAD=AOB， OA=4 tanAOB=3 ， OD=OAtan OAD=43 =3.44作 OFAD 于 F. 则 OF=OAsin OAD=43 =2.4.5t 秒时， OP=t,DQ=2t ，若 PQAD，则 FQ=OP= t.DF=DQ FQ= t.ODF中， t=DF= OD 2OF 2 =1.8 秒 .（ 3）令 R(x,1x2 2x)(0 x 4).212作 RGy轴于 G 作 RHOB于 H交 y 轴于 I. 则 RG= x， OG= x +2x.2RtRIG 中， GIR=AOB ， tan GIR=3 . IG= 4 x IR