波利亚-怎样解题.ppt

1、波利亚-怎样解题,主要内容介绍,关于波利亚 波利亚生平简介 波利亚数学成就 波利亚与他的怎样解题 第一章在教室中 目的 主要部分，主要问题,前言：关于波利亚,波利亚的生平简介 波利亚的数学成就 波利亚与他的怎样解题,波利亚生平简介,波利亚（George Polya，1887-1985），美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。 著

2、作：怎样解题、数学的发现、数学与猜想等，这些书被译成很多国家的文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。,波利亚的数学贡献,波利亚在数学的广阔领域内有精深的造诣。他的数学研究的最显著特点是他有极为广泛的兴趣，对实变函数、复变函数、概率论、纵使数学、数论，几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理。 另外，他一生发表达200多篇论文和许多专著，他的论文被收集整理成四卷本的论文集，由美国麻省理工学院出版社出版(前两卷在1974年出版，后两卷在1984年出版),波利亚与他的怎样解题,波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的

3、根本宗旨是“教会年轻人思考”。学习数学的主要目的在于解题。 波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成怎样解题一书。,怎样解题这本书的核心是：他分解解题的思维过程得到的一张怎样解题表。这张表包括四大步骤：“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”。其中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。 他认为只要解题按照这四个步骤去做，必定成功。,他指出寻找解法实际上就是找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条

4、建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的慢动作镜头，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。,波利亚的怎样解题表的精髓是：启发你去联想。 联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。,波利亚的怎样解题被译成16种文字，仅平装本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致词中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”

5、。 我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大中学生同样也是非常需要的和有益的。,第一章 在教室中,目的 主要问题,主要部分,一、目的,帮助学生 问题、建议、思维活动 普遍性 常识 教师与学生，模仿与实践,（一）帮助学生,波利亚说：“教师最重要的任务就是帮助学生”，“教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且能提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。”,1.以发展的眼光看待学生间的差异 有人的地方就有差异，因此我们必须承认差异的存在。对于个体差异，作为老师要能注意到其潜能的一些特点。比如有人以言语见长；有的却以动作技能超凡；有的惯于形象

6、思维；而有的抽象思维占优势。所以对于有差异的个体，既要发现他们潜能的优势，也要考虑如何帮助他们扬长避短，以点带面，最终获得全面的发展。,教师应该怎样帮助学生？,2. 帮助学生树立自信心 首先，要乐于给予你的学生他们需要或渴望的额外的帮助 。 其次，要认真检查、监督学生的学习。,3.教学相长，和谐师生关系 新课程要求改变师生间的关系。提倡要建立民主、平等的师生关系。教师要爱护学生、尊重学生，要善于与学生平等交流、善于与学生沟通心灵。教师要转变学生观：弟子不必不如师，要与学生共同发展，共同学习，共同成长。教师要树立以学生为本，以学生的发展为本的教育理念。因为教师教学的最终目的是为了学生的发展。在教

7、学中要注意师生间的互动、学生间的互动，尤其要注意学生之间的互动。使他们探究学习、主动发展。在这个过程中，教师要做好反馈工作，根据学生的实际及时进行调整，力求做到兼顾到每一位学生，同时有要使教学工作向着有利于学生发展的方向发展。,4.让不同的人在数学上得到不同的发展，特别是使学习困难的学生化被动学习为主动学习 作为老师，要面向每一位同学，鼓励大家要认真思考，然后每一位成员阐述自己的想法，最后由发言人发言（经常轮换角色）。强迫他接受知识，教师则适时的给予激励。在他们听到你真棒！、你真聪明！等这些鼓励的话时，就能尝到成功的甜头，大家都跃跃欲试。逐步学会思考、学会不懂多问、主动探求知识。,（二）问题、

8、建议、思维活动,亚里士多德说过：“思维从对问题的惊讶开始。 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 首先要给学生思考的时间，数学学习是通过思考进行的，没有学生的思考就没有真正的数学学习，而思考问题是需要一定的时间的。 其次是启发要与学生的思维同步。,（三）普遍性,问题具有普遍适应性。 提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的

9、，一个严肃的问题或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解题。 问题难易适中。 问题太难，不符合学生的知识水平和接受能力，会造成冷场，达不到目的，过浅对答如流，无助于思维的锻炼。国外研究表明：探测问题的难度可用公式：1减去（通过的人数除以全班人数）来算，如果得数在0.3-0.8就可视为适中，如果得数在0.3以下或超过0.8则是要求太低或过高。,（四）常识,数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的活动。 传统的应用题条件不多不少，数量结构明显，使得学生用于数学抽象的思考较少，到了最低限度，学生的信息处理能力、独立思考能力受到了压抑。而新教材在解

10、决实际问题的教学中，需要教师鼓励学生利用已有的生活经验进行解题。 教师要根据题目的特点和学生的思维发展水平使学生掌握一些常用的解题策略。,（五）教师与学生，模仿与实践,当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。 解题是一种本领，是只有模仿和实践才能实现的本领。 教师通过培养学生的兴趣，然后给他们提供大量的机会去模仿与实践。,二、主要部分，主要问题,波利亚解题表 不同的方法 教师的提问 好问题与坏问题,（一）波利亚解题表,弄清问题 拟定计划 实现计划 回顾,1.弄清问题,弄清问题就是重述问题，教会学生形成正确的审题方

11、法 。 首先，必须让学生了解问题的文字叙述。 已知是什么?未知是什么? 题目要求你干什么?可否画一个图形?可否数学化? 其次，要教会学生形成正确的审题方法。教师可以教学生利用数学语言的转换来培养学生好的审题习惯，形成正确的审题方法。 另外，还要注意引导学生挖掘已知条件与所求之间的关系，特别是挖掘题中的隐含条件。,怎样解题表-弄清问题 未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?画张图，引入适当的符号把条件的各个部分分开你能否把它们写下来?,例子：已知长方体的长、宽、高，求其对角线长度。,从例题中我们会发现问题：

12、未知数是？对角线 已知数是？长、宽、高 用哪个字母代表未知数？X 长、宽、高用哪个字母表示？a,b,c 联系a,b,c与x的条件是？X是长方体对角线，a,b,c是长方体的长、宽、高 这个问题的条件是否充分，能否确定未知数x？充分，如果知道a,b,c,就能确定长方体，知道长方体就可以确定对角线。,2.拟定计划,首先，教师愿意向学生暴露自己的思维过程。当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。 其次，教师应指导学生对数学解题过程进行分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成数学学习最重要的内容数学的思想和方法。,怎样解题表-拟定计划 你以前见过它吗？你是否见过相同的

13、问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或者相似未知数的熟悉的问题。这是有一个与你现在的问题相关，且早已解决的问题。你能不能利用它们？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能够利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能够重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？如果你不能解决提出的问题，可先解决一些有关的问题，你能否想出一个更容易着手的有关的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化

14、？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或者数据，或者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的必要概念？,3.实现计划,实现计划，加强基础教学，善用一题多变加深和提高解题能力。 1、重视非智力因素的作用，规范运算过程。在教学中要重视培养学生科学严谨一丝不苟的品质。 2、重视基本知识的教学，强化运算基础。在教学中要注重基本知识的讲授，要帮助学生加强对数学概念的理解，区分邻近概念，对基本公式、法则透彻掌握。 3、在教学中利用变式教学,将题设条件或结论作相

15、应的变化,按照一定的梯度设置变式题。,怎样解题表实现计划 实现你的求解计划，检验每一步骤 你能否清楚地看出这一步骤是正确的? 你能否证明这一步骤是正确的?,4.回顾,“回顾”阶段 ，就是加强解题后的反思教学 所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对审题过程、解题思路、解题途径、题目结论的反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发学习者的解题智慧，以达到事半功倍，提高数学学科自我监控能力的目的。 教师可以在课堂小结，单元复习时，适时地对某种数学思想方法的关键点或要素进行概括、强化和揭示，对它的内容、规律、运用等有意识地适度点拨。,怎样解题表回顾 你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这

16、个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能将这一结果或方法用于其他问题？,在解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的反思： 1、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完成后，对自己最初审题时在理解题意过程中是这样“获取信息”进行再思考。 2、反思解题思路。做完一道题后，应考虑能否根据该题的基本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思维通路，也即培养学生数学思维的广阔性。 3、反思题目结论。事实上，就问题解决的一个周期而言，问题是问题解决的端始，而一个问题的解决往往意味着一个新问题的产生。在做完一道题后，教师应指导学生思考该题所得出的结论：能否检验这个结论？能否以不同的方式来

17、推导这个结论？能否在其他的问题中应用这个结论？能否从其它的角度重新审视题目，将问题的结论进行推广？这样的反思，有助于提高中学生数学学科自我监控能力，培养学生数学思维的深刻性。,（二）不同的方法,例如：用多种方法求0,1,3,7,15,31,.的通项公式 观察法（每项加1成等比） 邻项差成等比 邻项倍逐项加1成等比 通项与前n项和的关系（错位相减法） 归纳法,（三）教师提问的方法,1.教师提问应坚持的原则 实效原则 课堂提问设计的实效性取决于问题的真实和确切，即课堂提问要有科学性和针对性 ，提问要紧扣教学 目标和教材内容从感知直观人手 。,适时原则 课堂提问的适时性应该包含两层意思，其一是抓住时

18、机 ，其二是提问次数要适度，课堂提问的效果直接与提问时机有关，什么样的设问应在某节课的什么时机提出，要讲究提问的艺术性 。 梯度原则 教师根据学生认识水平与心理状态，科学地按一定梯度展开设问，提出的问题要按知识点难易级差从低到高逐层进行，对不同层次的问题，要选择不同层次的学生对象进行回答，从易到难，由简到繁。,2.教师提问应注意的要求 1）把握问题的切入点 教师要根据具体数学知识的性质和特点，结合课型在适当的环节设计问题。新知教学，要围绕教学的重点和难点设计问题；习题讲评，要从思想方法、解题规律入手设计问题；复习教学，要从规律性、易混淆的知识点出发设计问题，等等。教师还要根据教学过程中学生出现的情况随机应变，在学生数学学习以及思维活动的疑惑处、阻碍处、转折处设计问题，引发数学思考。,2）把握提问的时机 要结合课堂教学的进展及变化组织发问。一般情况下，要关注两方面：一是学生在新旧知识发生激烈冲突、受原先经验影响无法实现知识迁移、注意力涣散的时候，即为发问的时机；二是发问时机应和教学需要相吻合。如教学达到教材的关键处、疑难处、矛盾处、拓展处、转折