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文档简介
1、包饺子中的数学问题,构建数学模型的步骤如下:,第一步:识别问题,第二步:作出假设,a. 识别变量并对变量进行分类,b. 确定变量和子模型之间的相互关系,第四步:模型验证,a. 是否表述了问题,b. 在通常意义下是否有用,c. 用实际数据来验证该模型,第五步:实施模型,第六步:维修模型(改进模型),比例性和几何相似性是两个 常用的、强有力的假设,第三步:求解或解释模型,往往到了这一步,会发现准备的很不充分。 如果得到一个不能求解或不会解释的难以处理的模型,应该回到第二步做出另外的简化假设,甚至回到第一步重新定义问题。,前两步具有艺术和原创的性质,体现了数学建模的创造性,通常是比较困难的。,比例性
2、,定义:两个变量y和x是成比例的,如果一个变量总是另一个变量的常数倍,即:,记为:,著名的比例性的例子:,虎克定律:,牛顿定律:,欧姆定律:,质能方程:,S是压缩或拉长的弦长,F是恢复力,F是合外力,a是加速度,V是电压,i是电流,R是电阻,E是能量,m是质量,c是光速,比例有传递性:,则,几何相似性,两个几何相似的物体,形状是一样的,并且一个物体是另一个物体的简单放大。,如:飞机模型和飞机之间是几何相似的,几何相似性优点:,表面积和长度的平方成比例:,体积和长度的立方成比例:,若选择长度 作为特征量,则,一公斤面能包一公斤馅。若面没有变,馅儿增加了,问饺子应该包的大一点还是小一点?,识别问题:饺子面、馅和饺子个数之间的函数关系。,假设:饺子之间是几何相似的。,则:,所以:,建模示例: 包饺子中的数学问题,以饺子的直径,为特征量,设表面积为,体积为,面皮和饺子的表面积成比例。,馅儿和饺子的体积成比例。,根据比例的传递性,有:,设面皮的重量为M,则:,设馅的重量为X,则:,设饺子总数为n,,馅的总重量为,于是:,即:,当馅儿增加时,个数应减小,饺子应包的大一点。面增加时,个数应增加,饺子应包的小一点。,则,面的总重量为,模型,模型解释:,饺子的个数与面的立方成正比,与馅儿的平方成反比,例如:若一斤面,一斤馅,可包10
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