双曲线及其标准方程教学设计

1、双曲线及其标准方程富源县第一中学牛自营一、教学目标：1、通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；2、通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；3、通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生观察分析抽象的能力，体验解析思想，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣；二、学情分析：学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法，而双曲线问题，它与椭圆问题有类似性，知识的正迁移作用可在本节课中充分显示也就是说，学生在经过前期解析几何的系统学习，已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力，学习本课已具备一定的基础在学习过程，较椭圆而言，从直观

2、图形轨迹到抽象概念的形成，中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性，因此学生概括起来有更高的难度特别是对于为什么需要加绝对值，c 与 a 的有怎么样大小关系，为什么是这样的等等另外，与椭圆除了本身内容的区别之外，初中所学的“反比例函数图象”在学生的头脑里有一个原有认知，而这个认知对于现在的学习会产生一定帮助的同时，其方程形式的不同也会带来一定的认知冲突三、重点难点：重点：双曲线的定义及其标准方程；难点：准确理解表述双曲线的定义，标准方程的推导四、教学过程（一） 回顾椭圆，寻求引领方法问题 1：椭圆的第一定义是什么？椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？问题 2：如何作椭

3、圆？（边回顾知识，边播放Flash 课件，动画展示椭圆的形成过程，注重于研究问题的方法）（二）动手演示，感受双曲线形成在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的1轨迹又会如何？能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？（师生共同研究探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值）总结方法： 取拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其M端点，在另一边的中部位置取一点分别固定在纸上的两F1F2个定点 F 和 F 处，（注意 F F的距离要比拉链两点的1212差要大），把笔尖搭在拉链头M 处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线（学生动手，老师指导，然后在

4、讲台上演示）M（三）剖析特征，提炼双曲线定义F1F23.1分析演示结果展示学生画图结果一 ：拉链在拉开闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即|MF1|=|MF2|+|F1F2|动点 M 变化时， |MF1|与|MF2|在不断变化，但总有 |MF1|-|MF2|=|F1F2|，而 |F1F2|为定长，所以点 M 到两定点 F1 和 F2 的距离之差为常数，记为 2a，即 |MF1|-|MF2|=2a展示学生画图结果二：M画出来的曲线开口向左边（把学生的图在实物投影下展示，发现存在的差异，F1F2讨论点 M 到 F1 与 F2 两点的距离的差确切怎样表示？）展示学生画图结果三：拉链头拉不到F2 点

5、，图画不出来M（引发学生思考为什么会画不出来？|MF1|-|MF2|.F1F2与 |F1F2|有何关系？）3.2 双曲线定义：（引导学生概括出双曲线的定义）平面内与两个定点F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距2数学简记：| MF 1 | | MF 2 | 2a （ 0 2a 2c | F1 F 2 | ）（直观感觉双曲线有“两条” （两支），每一支“有点象”抛物线曾经学过的反比例函数图象是双曲线那么双曲线就是反比例函数图象？答，不是的，反比例函数图象是双曲线，但双曲线所对应的表达式不一定是反比例函

6、数的形式，下面我们就研究双曲线的方程）（四）类比椭圆，推导标准方程4.1推导回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程（教师提示步骤，叫一学生上台板演，其余学生自己推导，教师个别指导）整理修改板演学生的结果：设 M ( x, y) ， F1( c,0) ， F2 (c,0) ，由 | MF1 | MF 2 |2a ，得 ( xc)2y2(xc) 2y22a(xc)22(x c)222ayy( x c) 2y2( x c)2y24a ( x c)2y 24a 2cxa 2a(xc) 2y 2(cx a2 )2a 2( xc)2y 2 (c2a 2 ) x2a2 y2a 2 (c2a 2

7、 ) ，令 c2a2b2（ b0），得 b2x2a2y22b2，即x2y2a22 1 ab（讨论：推导的过程是一个等价变形的过程吗？）4.2标准方程双曲线的标准方程当焦点在 x 轴上，中心在原点时，方程形式：当焦点在 y 轴上，中心在原点时，方程形式：参数 a,b,c 的关系22xy1a 2b 2y2x2a21b 2c2a 2b 2 （ a, b, c0 ）| MF1 | MF2 |2a （实轴长）| F1F2 |2c （焦距）与椭圆的对比(从定义阐述，方程结构特征，a,b,c 之间的关系，焦点坐标的判断着手分析相同点和不同点，3并用课件表格的形式呈现)（五）应用解题，巩固知识要点例 1 写出

8、一个双曲线的标准方程，并让同桌写出相应的焦点坐标及a,b,c 的值（学生自己出题，自己解答，巩固标准方程及其中相应的数量关系，并找出具有代表性的例子用实物投影共同分析解答的结果）例 2 已知方程x 2y2m 2m1表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围是3变式：（1）改为表示焦点在y 轴上的双曲线呢？（2）改为表示双曲线呢？（3）若表示椭圆呢？（通过变式进一步巩固方程的结构特征，并与椭圆加以区别）例 3 在给出的四个选项中选择适当的数填入空格，再解题：已知双曲线的焦点坐标为F1 ( 5,0) , F2 (5,0) ,双曲线上点 P 到 F1，F2 的差的绝对值等于 _，求双曲线的标准方程.A. 16B. 6C.10D.0（分析每个选项的特征， 进一步理解定义中 02a2c | F1 F 2 |的条件，通过求解，总结求解双曲线标准方程的方法和策略）（六）对比总结，整合新学知识1应用双曲线和椭圆的对比图表，总结整理双曲线定义的要点，标准方程的形式2课本练习P60 1，2，33思考（ 1）当 0时，方程 x 2 siny 2 cos1表示什么曲线？（ 2）反比例函数