变量间的相关关系、回归分析导学案

1、变量间的相关关系、回归分析导学案学习目标： 1. 会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系；了解最小二乘法的思想，能根据给出的系数公式建立线性回归方程；2. 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用 .学习重点：了解回归模型与函数模型的区别；了解任何模型只能近似描述实际问题；模型拟合效果的分析工具：残差分析和指标R2 .学习难点：残差变量的解释与分析；指标R2 的理解 .知识梳理1. 变量间的相关关系（ 1）两个变量之间的关系包括和，相关关系是指（ 2）散点图是指，观察散点图可知，相关关系又包括和。（ 3）线性相关关系及回归直线：2. 回归分析的基本思想及其初步应用（ 1

2、）对具有的两个变量进行统计分析的方法叫。回归分析的一般步骤为：ny bx a ，其中 b(xix)( yi y)（ 2）回归直线方程：设所求的直线方程为i 1, a y bx ，n( xix)2i11 nxi , y1nxyi ,称为样本点的中心，回归直线过，回归方程的截距n i1n i 1a 和斜率 b 是用计算出来的，最小二乘法是指（ 3）回归分析：如何检查所建立的回归模型拟合效果的好坏？n( xix)( yiy)ri 1;nn( xix)2( yiy)2(4) 相关系数i 1i1当 r0 时 ,表明两个变量正相关；当r 0 时 ,表明两个变量负相关 .r 的绝对值越接近于0 时 ,表明两

3、个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常 | r | 大于 0.75 时 ,认为两个变量有很强的线性相关性 .3.残差分析ny) 2(1) 总偏差平方和：把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方加起来即 :( yii1(2)残差：数据点和它回归直线上相应位置的差异（yi?是随机误差的效应称 ?y i?为残差.yi ),eiyin2n( yi?2yi )(3)残差平方和?.(4)相关指数R2i 1( yi yi)ni 1y) 2( yii 1R2 的值越大 ,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中,R2 表示解释变量对预报变量变化的贡献率,R2 越接近于 1,表示回归的效

4、果越好 .4.建立回归模型的步骤(1) 确定研究对象 ,明确哪个变量是解释变量 ,哪个变量是预报变量 .(2) 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系 (如是否存在线性关系等 ).$(3) 由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程ybxa ).应用：1. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x( 吨 ) 与相应的生产能耗 Y( 吨标准煤 ) 的几组对照数据x3456y2.5344.5(1) 请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y 关于 x 的线性回归方程Y=bx+a；(3)已知该厂技改前

5、100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤 试根据 (2) 求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值： 3 2.5+4 3+5 4+6 4.5=66.5)2. 测得某国 10 对父子身高 (单位 : 英寸 ) 如下 :(1) 对变量 y与 x 进行相关性检验 ;(2) 如果 y与 x 之间具有线性相关关系 ,求回归方程 .(3) 如果父亲的身高为 73 英寸 ,估计儿子的身高 .(二 )非线性回归分析1.非线性回归模型:当回归方程不是形如y bxa 时称之为非线性回归模型 .2.非线性回归模型的拟合效果: 对于给定的样本点( x1 , y1)

6、,( x2 , y2 ),L ,( xn , yn ) ,两个含有未知数的模(1)(2)%g( x, b) ,其中 a和 b 都是未知参数 .型 yf ( x, a)和 y可按如下的步骤比较它们的拟合效果:(1)(2)? ?(1) 分别建立对应于两个模型的回归方程yf ( x, a)和 yg( x,b)?, 其中 a和 b 分别是参数a和 b 的估计值 ;?(1)nn?(1)2和 ?(2)?(2)2Q)Q)( yi yi( yi yi(2) 分别计算两个回归方程的残差平方和i 1i1;?(1)?(2)(1)?(2)?(3) 若 Q Q?g (x,b) ;,则 yf (x, a)的效果比 y(1)(2)?反之 , y?f ( x, a?)的效果不如 y?g( x,b)的好 .例：为了研究某种细菌随时间x 变化时 ,繁殖个数 y 的变化 ,收集数据如下 :天数 x/天123456繁殖个数y/个6