九年级数学上册第21章第4课时解一元二次方程——公式法导学案新版新人教版

1、第4课时 解一元二次方程-公式法一、学习目标了解掌握一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的情况；理解一元二次方程求根公式的推导过程；掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程二、知识回顾1什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数项到方程右边；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

2、（4）化方程左边为完全平方式；（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根2怎样用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a0)的一元二次方程？解：移项，得二次项系数化为1，得配方，得即：，因为所以当；当三、新知讲解一元二次方程根的判别式叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根公式法解一元二次方程一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，当时，它的两个根分别是，这里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一

3、元二次方程的方法叫做公式法公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a0)；确定a，b，c的值；求出的值，并判断方程根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根当时，将a，b，c和的值代入公式（注意符号）四、典例探究1根据根的判别式判断一元二次方程根的情况【例1】（2015重庆）已知一元二次方程2x25x+3=0，则该方程根的情况是（）a有两个不相等的实数根 b有两个相等的实数根两个根都是自然数 d无实数根总结：求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a，b，c的值.根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如

4、下：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根练1（2015铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列说法不正确的是（）a方程有两个相等的实数根 b方程有两个不相等的实数根c没有实数根 d无法确定练2（2015泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m21=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值2根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围【例2】（2015温州）若关于x的一元二次方程4x24x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）a1 b1 c4 d4总结：已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：先计算根的

5、判别式；再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”练3（2015凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）am3 bm3 cm3且m2 dm3且m23用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x2=0；（2）y23y+1=0；（3）x2+3=2x总结：公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论；运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提：（1）先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b，c的值；（2）必须保证b2-4ac0练4（2014锦江区

6、模拟）解方程：x（x2）=3x+1练5当x是何值时，3x2+4x8的值和2x21的值相等？五、课后小测一、选择题1（2015云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）a4x25x+2=0 bx26x+9=0 c5x24x1=0 d3x24x+1=02（2015贵港）若关于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）a1 b0 c1 d23（2015烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x26x+n1=0的两根，则n的值为（）a9 b10 c9或10 d8或104（2015株洲）有两个一元二次方程m：ax2+bx+c=0；n：cx2

7、+bx+a=0，其中ac0，ac下列四个结论中，错误的是（）a如果方程m有两个相等的实数根，那么方程n也有两个相等的实数根b如果方程m的两根符号相同，那么方程n的两根符号也相同c如果5是方程m的一个根，那么是方程n的一个根d如果方程m和方程n有一个相同的根，那么这个根必是x=15（2013日照）已知一元二次方程x2x3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）a2x11 b3x12 c2x13 d1x10二、填空题6（2011秋册亨县校级月考）用公式法解方程2x27x+1=0，其中b24ac=，x1=，x2=三、解答题7（2014秋通山县期中）用公式法解方程：2x24x=58（2014

8、秋金溪县校级月考）解方程：2x22x5=09（2013春石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=410（2015梅州）已知关于x的方程x2+2x+a2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根11（2015咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根12（2015昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1

9、x2|=2，求m的值13（2015南充一模）已知关于x的一元二次方程kx22（k1）x+k2=0（k0）（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根（2）小华补充说，其中一个根与k无关请你说说其中的道理典例探究答案：【例1】（2015重庆）已知一元二次方程2x25x+3=0，则该方程根的情况是（）a有两个不相等的实数根 b有两个相等的实数根c两个根都是自然数 d无实数根分析：判断方程的根的情况，只要看根的判别式=b24ac的值的符号就可以了解答：解：a=2，b=5，c=3，=b24ac=（5）2423=10，方程有两个不相等的实数根故选：a点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要熟练掌握

10、一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根练1（2015铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列说法不正确的是（）a方程有两个相等的实数根 b方程有两个不相等的实数根c没有实数根 d无法确定分析：先求出的值，再判断出其符号即可解答：解：=4243（5）=760，方程有两个不相等的实数根故选b点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与的关系是解答此题的关键练2（2015泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m21=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方

11、程有一个根为3，求m的值分析：（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值解答：解：（1）a=1，b=2m，c=m21，=b24ac=（2m）241（m21）=40，方程x2+2mx+m21=0有两个不相等的实数根；（2）x2+2mx+m21=0有一个根是3，32+2m3+m21=0，解得，m=4或m=2点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根也考查了一元二次方程的解

12、的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【例2】（2015温州）若关于x的一元二次方程4x24x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）a1 b1 c4 d4分析：根据方程根的情况与判别式的关系知=4244c=0，然后解一次方程即可解答：解：一元二次方程4x24x+c=0有两个相等实数根，=4244c=0，c=1，故选b点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根练3（2015凉山州）关于x的一元二次方程（m-2

13、）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）am3 bm3 cm3且m2 dm3且m2分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac的意义得到m-20且0，即22-4（m-2）10，然后解不等式组即可得到m的取值范围解答：解：关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，m-20且0，即22-4（m-2）10，解得m3，m的取值范围是 m3且m2故选：d点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根【例3】用公式法解下列方程：

14、（1）x2+2x2=0；（2）y23y+1=0；（3）x2+3=2x分析：（1）求出b24ac的值，代入公式x=求出即可；（2）求出b24ac的值，代入公式y=求出即可；（3）求出b24ac的值是负数，即可得出原方程无解解答：解：（1）这里a=1，b=2，c=2，b24ac=2241（2）=120，x=1，x1=1+，x2=1；（2）这里a=1，b=3，c=1b24ac=（3）2411=50，y=，y1=，y2=；（3）移项，得x22x+3=0，这里a=1，b=2，c=3b24ac=（2）2413=40原方程没有实数根点评：本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力，前提是先判断判别式的符号，

15、再根据情况代入求根公式求解练4（2014锦江区模拟）解方程：x（x2）=3x+1分析：整理后求出b24ac的值，再代入公式求出即可解答：解：x（x2）=3x+1，整理得：x25x1=0，b24ac=（5）241（1）=29，x=，x1=，x2=点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中练5当x是何值时，3x2+4x8的值和2x21的值相等？分析：根据3x2+4x8的值和2x21的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解解答：解：根据题意得：3x2+4x8=2x21，即x2+4x7=0，a=1，b=4，c=7，=b24ac=16+28=440

16、，则x=2点评：本题考查了公式法解一元二次方程，注意公式运用的条件：判别式0课后小测答案：一、选择题1（2015云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）a4x25x+2=0 bx26x+9=0 c5x24x1=0 d3x24x+1=0解：a、=25424=70，方程没有实数根，故本选项正确；b、=36414=0，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；c、=1645（1）=360，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；d、=16413=40，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；故选a2（2015贵港）若关于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）a1 b0

17、c1 d2解：关于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有实数根，=（2）28（a1）=128a0且a10，a且a1，整数a的最大值为0故选：b3（2015烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x26x+n1=0的两根，则n的值为（）a9 b10 c9或10 d8或10解：三角形是等腰直角三角形，a=2，或b=2，a=b两种情况，当a=2，或b=2时，a，b是关于x的一元二次方程x26x+n1=0的两根，x=2，把x=2代入x26x+n1=0得，2262+n1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，当a

18、=b时，方程x26x+n1=0有两个相等的实数根，=（6）24（n1）=0解得：n=10，故选b4（2015株洲）有两个一元二次方程m：ax2+bx+c=0；n：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四个结论中，错误的是（）a如果方程m有两个相等的实数根，那么方程n也有两个相等的实数根b如果方程m的两根符号相同，那么方程n的两根符号也相同c如果5是方程m的一个根，那么是方程n的一个根d如果方程m和方程n有一个相同的根，那么这个根必是x=1解：a、如果方程m有两个相等的实数根，那么=b24ac=0，所以方程n也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；b、如果方程m的两根符号相同，那么方程n

19、的两根符号也相同，那么=b24ac0，0，所以a与c符号相同，0，所以方程n的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；c、如果5是方程m的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程n的一个根，结论正确，不符合题意；d、如果方程m和方程n有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（ac）x2=ac，由ac，得x2=1，x=1，结论错误，符合题意；故选d5（2013日照）已知一元二次方程x2x3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）a2x11 b3x12 c2x13 d1x10解：x2x3=0，b24ac=（1）241（3）=13，x=

20、，方程的最小值是，34，34，2，2，1故选：a二、填空题6（2011秋册亨县校级月考）用公式法解方程2x27x+1=0，其中b24ac=41，x1=，x2=解：2x27x+1=0，a=2，b=7，c=1，b24ac=（7）2421=41，x=，x1=，x2=，故答案为：41，三、解答题7（2014秋通山县期中）用公式法解方程：2x24x=5解：原方程可化为：2x24x5=0，a=2，b=4，c=5，b24ac=（4）242（5）=560，x=frac4sqrt564=1x1=1+，x2=18（2014秋金溪县校级月考）解方程：2x22x5=0解：这里a=2，b=2，c=5，=8+40=48，x=9（2013春石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4解：整理得：x2+2x4=0，=b24ac=（2）241（4）=28，x=，x1=+，x2=10（2015梅州）已知关于x的方程x2+2x+a2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根解：（1）b24ac=（2）241（a2）=124a0，解得：a3a的取值范围是a3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：