高等数学 第七章空间解析几何与向量代数习题课.ppt

1、第七章 空间解析几何与向量代数习题课,一、向量的基本概念,1向量的坐标:,2向量的模:,方向余弦为:,设起点 和终点 ,则,3方向角：向量 与三个坐标轴正向的夹角, 向量代数,4单位向量：,5向量的投影：,二、向量的运算,1线性运算,（1）,（2）,2数量积,（1）定义：,（2）坐标表示：, 分配律：, 结合律：,（4）向量的夹角：,（5）性质：,2向量积,（1）定义：,（3）运算律：, 交换律：,方向： 垂直 与 确定的平面，且符合右手规则。, 结合律：,（4）性质：, 分配律：, 反交换律：,（3）运算律：,（2）坐标表示：,一、平面与直线的方程,1平面方程 :,（1）点法式方程：,（2）

2、一般方程：,2点到平面的距离：, 平面与直线、空间曲面与曲线,3直线方程：,（1）一般方程：,（2）对称式方程：,（3）参数方程：,则它们的夹角为：,（2）两平面相交（夹角）,设 与 平面的法向量分别为 与,4线、面之间的位置关系：,（1）两直线相交（夹角）,设 与 的方向向量分别为 与,（3）直线与平面相交（夹角）,设直线 的方向向量为 ,则,（4）线、面之间的平行与垂直,设直线 与 的方向向量分别为 ，,平面 与 的法向量分别为,二、空间曲面,1一般方程：,2旋转面：曲线,三、空间曲线,1一般方程,2参数方程,3空间曲线在坐标面上的投影曲线：,向量代数典型例题,解：,方向余弦为 , ,方向

3、角为 , ,分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。,解： 由已知条件得,易得,即当 时两向量相等。,方向余弦为 。,模为,此时向量为,【例3】已知 都是单位向量，且满足 ， 求 .,解：,于是,解法1：,所以,解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设,则,于是,解：依题意有,即,解得 ，,与 同向的单位向量为,则,分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量；,利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。,解：,与 同时垂直的单位向量为：,平行四边形面积,分析： 先设出向量 ，再用两个条件确定其系数。,解：由已知条件,可设 ,由已知条件有 ，,则,于是,则,分析：先求出 轴上的单位向量，

4、再利用向量投影公式。,解：设 轴的方向余弦分别为 ，,由已知条件,及,即 轴上的正向单位向量为 ，,于是,得,所以,（1） 为何值时，,分析：（1）用向量垂直的充分必要条件；,（2）用向量积的模的几何意义。,解：（1） 当 时,即 ，,亦即 ， 时,故当 ，时 。,（2） 平行四边形面积,则 ，于是 或,直线与平面典型例题,【例1】求平行于 轴且经过两点 的平面方程。,解法1: 由已知点 ，确定向量 ,轴上的单位向量 ，可确定所求平面的法向量,平面过点 ，则所求平面的点法式方程为,即,解法2：平面平行于 轴，则平面方程中不含变量 ,于是,可设平面方程为,点 在平面上，满足平面方程，即有,，得,

5、则平面方程为,即,分析：已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知两点确,定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。,，平面 过向量 ，所以， 。,已知平面 的法向量为 ，,因为 ，所以 ，可取,则所求平面的点法式方程为,即,解：设所求平面 的法向量为 ，已知平面 过点,【例3】过点 且在三坐标轴上截距相等的平面方程。,分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知,的点确定三个相等的截距。,解：设所求平面的截距式方程为 ，,将已知点的坐标代入方程确定参数 ，有,所求平面的截距式方程为 。,或写为一般式方程 。,解得,分析： 所求平面与已知平面平行，法向量相同，可先设出,平面方程

6、的一般式，再由条件定系数。,解： 所求平面与已知平面平行，两者的法向量相同，故可,设所求平面的方程为,已知平面上有点 ，该点到所求平面的的距离为3，即,可解得 或,代入所设平面方程得所求平面的方程为,或,分析：直线过已知一点，由直线的对称式，只需求直线的,方向向量，直线的方向向量分别与两已知平面的法向量垂直，,可用向量积求出直线的方向向量。,可取,直线过点 ，则所求直线方程为,则 ， 。,解之得 。,分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线,的方向向量与平面的法向量垂直。,求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。,分析： 直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量

7、；所,解：直线上的点 及已知点 在所求平面上，,两点构成向量 ，直线方向向量 ；,所求平面方程为,即,所求平面的法向量 ， ，于是可取,分析：所求平面过直线 ，则过直线上点，由平面的点法式，,关键是求出平面的法向量，有两种方法：,（1）用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量；,（2）先设出平面的法向量，再由条件定系数。,于是所求平面方程为,即,已知二直线 的方向向量为 、 ，,因为,平面 过 ，所以 ，又因为 ，所以 ，则有,解得,取 则 。,平面方程为：,即,分析：关键是求出直线 的方向向量，可用向量积求得。,从而直线 与直线 的夹角 的余弦为,因此,从而所求直线的方程为,即,分析：要想

8、求出点到直线的距离，需求过该点与已知直线垂直,相交的直线和已知直线的交点（即垂线足，或称为投影），,得出交点即可求出。,即,解：已知直线 的方向向量为,化为参数方程为 ，将已知直线的参数方程代入,平面 方程,得 ，则,故有交点 ，,因此所求的距离为,注：求点到直线距离、过一点作与已知直线垂直相交的直线、点在,直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程基本相同。,分析：所求平面过 点，由点法式方程，只需求出平面的,所求平面上，又交线上的一点 与已知点 所,向量。也可现设出所求平面的法向量，再由条件定其坐标。,又可利用过交线的平面束。,解法1：设两个平面的交线为 ，方向向量为 ，已知两平面,

9、的法向量为 ， ，因为,点 满足两已知平面方程，故该点在两平面交线 上，,则所求平面的方程为,即,可取,解法2：同解法1交线 的方向向量为 ，,设求平面的法向量为 ，则 ， ，,于是有,，得,取 ，则,则所求平面的方程为,即,解法3：过交线 的平面束的方程是,即,可得,于是求平面的方程为,即,分析：应考虑过已知直线的平面束中有一个平面与已知 平面垂直，平面束中该平面是直线的投影柱面。,解：过已知直线的平面束方程为,即,其法向量,平面束中有一个平面与已知平面垂直，,则两者的数量积为零，即,解得,则法向量为 .,于是平面束中以此为法向量的平面方程为,即是直线的投影柱面。,则已知直线在已知平面上的投影为,解：过交线的平面束方程为,即,其法向量为,即,可得 于是所求平面两个:,（1） 时, 有 ,即为已知平面。,（2