同济版高等数学上册复习资料

1、.,高等数学(上) 总复习,第一部分 复习的重点及题型分析,第二部分 高等数学(上)方法综述,.,第一部分 复习的重点及题型分析,复习重点,三个基本计算 极限 , 导数 , 积分,两个基本应用 导数应用 , 积分应用,一个基本理论 有关中值的定理及应用,.,一. 三个基本计算 (约 70 % ),1. 极限的计算 (约 24 % ),主要题型,(1) 利用基本方法求极限,函数的连续性 ;,四则运算法则 ;,极限存在准则 ;,两个重要极限 ;,等价无穷小替换 ;,洛必塔法则 .,(2) 利用特殊方法求极限,导数定义 ;,定积分定义 ;,微分中值定理 ;,变限积分求导 ;,讨论左右极限 .,(3)

2、 无穷小量的比较,.,例题分析,例1. 计算,解:,解: 利用等价关系,例2. 设 f (x) 处处连续, 且 f (2)=3, 计算,.,解:,化为指数形式 , 利用,例3. 计算,解:,例4. 计算,.,例5. 计算,解: 令,例6. 计算,解 : 令,.,例7. 计算,解:,利用等价无穷小,例8. 计算,解:,.,例9. 求,解: 令,则,原式 =,洛,例10. 计算,解:,直接用洛必塔法则不方便,利用等价无穷小,.,例11. 计算,解: 利用微分中值定理,例12. 计算,解:,洛,这是积分变量,.,例13. 求,原式 =,洛,利用等价无穷小,解:,.,例14. 已知,解:,对所给等式左

3、边用洛必塔法则, 得,再利用,可知,求 a, b .,.,2. 导数和微分的计算 (约 18%),主要题型,(1) 计算复合函数的导数和微分 ;,(2) 计算隐函数的导数和微分 ;,(3) 参数方程求一阶、二阶导数 ;,(4) 用导数定义求特殊点的导数值 ;,(5) 计算 n 阶导数 .,(包括对数微分法),例题分析,.,例1. 已知,解法1.,等式两边对 x 求导, 得,故,解法2. 等式两边取对数, 得,两边对 x 求导, 得,故,.,例2. 已知,解：,两边取对数，得,两边对 x 求导,.,例3. 证明下述函数在 x = 0 连续且可导,证: 因为,又,在 x = 0 连续且可导.,思考

4、: 若函数改为,是否有同样的,结论?,.,例4. 已知,解:, 求,.,例5. 设,解:,.,例6. 设,解:,.,例7. 设,求,解:,.,例8. 求,解:,方法1 .,利用归纳法可证,方法2 . 利用莱布尼兹求导公式,的 n 阶导数.,.,例9. 设,求,解:,.,3. 不定积分与定积分的计算 (约 28%),主要题型,(1) 利用基本积分方法计算不定积分 ;,(2) 利用基本积分方法及公式计算定积分 ;,(3) 利用简化技巧计算积分 ;,(4) 广义积分的计算及收敛性判别 .,例题分析,.,例1. 求,解:,令,令,例2. 求,解:,.,例3. 求,解:,原式 =,.,例4. 求,解:,

5、例5. 讨论积分,解:,的敛散性.,可见原积分发散.,.,例6. 求,解:,例7. 已知,解: 对所给等式两边求导, 得,求,利用“偶倍奇零”,得,.,例8. 设, 求,(P266 题10),解: 令,则,.,例9. 已知,解: 由已知条件得,求,.,例10. 求,解:,利用 P245 例6(2), 即,.,例11. 利用递推公式计算下列广义积分,解:,(P256 题3),.,二. 两个基本应用 (约 24 % ),1. 导数的应用 (约 16 % ),主要题型,(1) 导数的几何应用,(2) 利用导数研究函数形态,(3) 求解最值问题,(4) 利用导数证明恒等式,(5) 利用单调性证明不等式

6、,.,例1. 设函数,在定义域内可导,的图形如右图所示,则导函数,的图形为 . (2001考研),提示:,在某区间I 内可导,则在I 内,是,的极值点,例题分析,.,例2. 证明,在,上单调增加.,证:,令,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,故当 x 0 时,从而,在,上单调增.,得,(L.P95 例4),.,例3. 证明当 x 0 时,证法1: 设,则,故,证法2:当 x 0 时,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,得,.,例4.,证明:,证:,即,（P130 例1）,.,例5. 证明当,证: 归结为证,即,在(0,1)上不好判别正负号,提示: 证明 f (0) 是 f (x)

7、 在( , 1) 上的最大值.,说明: 若改为证明当 x 1 时,如何证明?,.,例5.,设,证: 设,且,比较 , 可知,故不等式成立 .,.,有两个根 ;,例6. 讨论方程,有几个实根.,解: 设,令,得,(最大值),注意,因此,当,时,当,时,只有一个根；,当,时,无实根 .,(P151 题5),例7. 求双曲线,的曲率半径 R, 并分析何处 R 最小?,解:,则,利用,.,例8. 求内接于半径为R 的球内的正圆锥体的最大体积.,解: 设锥体的底半径为 r, 高为 h , 如图,因 ADB BDE, 所以,圆锥体体积,为极大值点,在 (0, 2R) 内只有唯一驻点, 且为极大值点,故为最

8、大,值点, 最大值为,.,2. 定积分的应用 (约 8% ),(1) 利用定积分计算面积,直角坐标方程 参数方程 极坐标方程,(2) 利用定积分计算弧长及旋转体体积,(3) 定积分的物理应用,(4) 有关定积分的证明题,主要题型,例题分析,.,例1. 求曲线,解:,设切点为,则切线方程为,令,得,与其通过原点的切线及 y 轴所围图形,的面积.,故所求面积为,.,例2. 求曲线,解:,列表 :,绕 x 轴旋转所得,旋转体的体积.,.,例3. 求抛物线,解:,与直线,所围的图形绕 y 轴,旋转一周所得旋转体体积.,.,例4. 求由圆,解: 圆的方程为,围成的平面图形绕 x 轴旋转,一周形成的旋转体

9、体积.,利用“偶倍奇零”,.,例5. 证明,提示: 令, 得 x = 1, 0,判别 x = 1 为 f (x) 在,上的唯一极大点 , 故,则,时,.,例6. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所求面积,.,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,.,三. 一个基本理论 有关中值的问题 (约 5% ),主要题型,(1) 讨论函数的零点问题或方程根的问题,存在性,唯一性, 常用介值定理 ; 罗尔定理, 利用单调性 ; 反证法,(2) 利用微分和

10、积分中值定理证明等式或不等式,例1. 叙述拉格朗日中值定理并证明之.,提示:,利用逆向思维设出满足罗尔定理的辅助函数 .,例题分析,.,例2. 设常数,至少有一正根 , 且不超过,证: 设, 则,均为正值,证明方程,若,则,为一正根 , 且符合题意.,若,则,由根的存在定理知 , 又,至少存在一个,使, 即所给方程至少有一个不超过,的正根 .,.,证明方程,例3. 已知,证: 先证存在性.,使,再证唯一性.,在 0, 1 上有唯一的根.,则,因此,即,假设方程还有一根,则,无妨设x 0 x1 ,故存在一点,则在x0 , x1上F (x) 满足罗尔定理条件,即,与已知条件矛盾, 故假设不真, 因

11、此根唯一.,.,例4. 设,证: 设,证明存在唯一一点,因此存在唯一一点,即,.,例5.,上可积且不变号,证明存在,使,( P266 题11 ),证明思路:,想到用介值定理,.,证明: 设 M , m 分别为,上的最大值与最,小值 ,不妨设,若,则,故对任意,结论都正确 ;,若,由连续函数介值定理可知,存在,使, 故定理成立 .,则,则,.,例6. 设,在,内二阶可,求证:至少存,导, 且,在一点,提示:,由积分中值定理得,上用罗尔定理得,上用罗尔定理, 得,.,例7. 证明方程,证: 设,原方程存在唯一实根,由,使,在0,1上存在唯一,的实根 xn , 且,则,得,由,.,四. 几点说明,1.函数也是考试重点,(1) 函数的定义域及复合函数的表达式,(2) 讨论函数在一点的连续或间断,例1. 证明,解:,在 x = 0 连续.,.,例2. 设,解:,故 x = 0 为第一类跳跃间断点 .,并指出其间断点的类型.,思考: 如何求,及其间断点?,.,例3. 设,解: 因为 x 0 时, F (x) 可导, 故连续,问 a 取何值时 F (x) 连续?,显然连续,.,2. 注意综合试题,(1