抽象函数性质

1、.抽象函数性质综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义. 要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称 .一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数f ( x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域的每一个值时，都有 f (xT)f ( x) ，那么，函数f (x)

2、 就叫做周期函数 . 非零常数 T 叫做这个函数的周期 .2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数yf ( x) 图象上任一点关于点P （或直线 l ）的对称点仍在函数 yf ( x) 的图象上，则称函数yf (x) 的图象关于点P （或直线 l ）对称 .3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数yf ( x) 图象上任一点关于点P （或直线 l ）的对称点在函数 yg( x) 的图象上；反过来，函数y g ( x) 图象上任一点关于点P （或直线 l ）的对称点也在函数yf ( x) 的图象上，则称函数yf ( x) 与 yg(x)的图象关于点P （或直线 l ）对称 .二、关于周期性、

3、对称性的几个基本结论及证明1、若函数 yf ( x) 的定义域为 R ，且 f (ax)f ( xb) 恒成立，则函数yf (x)是以 Tab 为周期的周期函数；2、若函数 yf ( x) 的定义域为R ，且 f (ax)f (bx) 恒成立，则函数yf ( x) 的图象关于直线xab2对称；3、若函数 yf ( x) 的定义域为R ，且 f (ax)f (b x) 恒成立，则函数y f ( x) 的图象关于点( ab ,0) 对称；2、若函数 yf ( x) 的定义域为R，且 f (a x)f ( xb) 恒成立， 则函数 yf (x)是以 T2(ab)为周期4的周期函数；5、若函数 yf

4、( x) 的定义域为 R ，则函数 yf (ax) 与 yf (bx) 的图象关于直线 xba对称；26、若函数 yf ( x) 的定义域为 R ，则函数 yf (ax) 与 yf (bx) 的图象关于点 ( ba ,0) 对称 .2略证： 1、Qf ( x a b) f ( xb)a f ( xb)bf ( x) ， 函数 yf ( x) 是以 Tab 为周期的周期函数 .2 、 函 数 yf ( x) 图 象 上 的 任 一 点 P(x0, y0 ) （ 满 足 f ( x0 )a by0 ） 关 于 直 线 x的 对 称 点 为2.Q(a b x0, y0 ) ，Qf (abx0 )f

5、(b x0 )af b(bx0 )f ( x0 ) y0点 Q 仍在函数 yf ( x) 的图象上，从而函数y f (x)的图象关于直线xa b 对称 .23 、 函 数 yf (x) 图 象 上 的 任 一 点 P( x0 , y0 ) （ 满 足 f ( x0 )y0） 关 于 点 ( ab ,0)的 对 称 点 为2Q(a b x0, y0 ) ，Qf ( a bx0 )f ( bx0 )af b(bx0 )f ( x0 )y0点 Q 仍在函数 yf ( x) 的图象上，从而函数y f (x) 的图象关于点 (ab,0)对称 .24、 Q f (x2a 2b)f ( xa2b)af (

6、xa2b)bf (x a b)f ( x b)af ( xb)bf (x) ,函数 yf ( x) 是以 T2(a b) 为周期的周期函数 .5、函数 yf (ax) 图象上的任一点P( x0 , y0 ) （满足 f (ax0 )y0 ）关于直线xb a 的对称点为2Q(b a x , y )，Qf b(bax0 )f ( ax0 )y000点 Q 在函数 yf (bx) 的图象上；反之函数 yf (bx) 的图象上任一点关于直线bax的对称点2也在函数 yf ( ax) 图象上 . 从而函数 yf (a x) 与 yf (bx) 的图象关于直线bax对称 .26 、 函 数 yf (ax)

7、 图 象 上 的 任一 点 P( x0 , y0 ) （ 满 足 f (x0 )y0 ） 关 于 点 (ba ,0)的 对称 点 为2Q(b a x0, y0) ，Qf b (bax0 )f (a x0 )y0点 Q 在函数 yf (bx) 的图象上；反之函数yf (bx) 的图象上任一点关于点(ba ,0) 的对称2点也在函数 yf (ax) 图象上 . 从而函数 yf (ax) 与 yf (bx) 的图象关于点(ba ,0) 对称 .2三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数 yf ( x) 满足 f ( x)f (x) ，则函数 yf (x) 的图象关于y 轴对称；函数 y

8、f ( x) 和函数y f ( x) 的图象也关于 y 轴对称 .2、若函数 yf ( x) 满足 f ( x)f ( x) ，则函数 yf ( x) 的图象关于原点对称；函数yf ( x) 和函数yf (x) 的图象也关于原点对称 .3、若函数 yf ( x) 满足 f (x a)f (ax) ，则函数 yf ( x) 的图象关于 y 轴对称； 而函数 yf ( xa) 和函数 yf (ax) 的图象关于直线xa 对称 .4、若函数 yf ( x) 满足 f(x a)f (a x)，则函数 yf ( x) 的图象关于原点对称 . 而函数 yf ( xa) 和函数 yf (ax) 的图象关于点

9、(a,0) 对称 .5 、 若 函数 yf (x) 满 足 f(mx) f (m x) ， 则 函 数 yf ( x) 的 图 象 关 于直 线 xm 对 称 ； 而 函 数yf (mx) 和函数 y f (mx) 的图象关于 y 轴对称 .6 、 若 函 数 yf (x) 满 足 f (m x)f(m x) ， 则 函 数 yf ( x) 的 图 象 关 于 点 ( m,0) 对 称 ； 而 函 数y f (m x) 和函数 yf ( m x) 的图象关于原点对称 .7、若函数 yf ( x) 满足 f (x)f (2bx)，则函数 yf ( x) 的图象关于直线xb 对称；函数 yf (

10、x) 和函数 yf (2bx) 的图象也关于直线xb 对称 .8、若函数 yf ( x) 满足 f (x)f (2bx) ，则函数 yf ( x) 的图象关于点(b,0)对称； 函数 yf ( x) 和函数 yf (2bx) 的图象也关于点 (b,0)对称 .9、若函数 yf ( x) 满足 f (mx)f (xm) ，则函数yf ( x) 是以 T 2m 为周期的周期函数；若函数y f ( x) 满足 f ( mx)f (xm) ，则函数 yf (x) 是以 T4m 为周期的周期函数 .四、函数周期性与对称性的关系1、定义在 R 上的函数f (x) , 若同时关于直线 xa和 xb( ab)

11、 对称 , 即对于任意的实数 x , 函数 f ( x)同时满足 f (ax)f (ax) ， f (bx)f (bx) ，则函数 f(x) 是以 T2(ab) 为周期的周期函数 .2、定义在 R 上的函数f (x) , 若同时关于点 ( a,0) 和点 (b,0)( ab) 对称 , 即对于任意的实数 x , 函数 f ( x)同时满足 f (ax)f (a x) ， f (bx)f (bx) ，则函数 f ( x) 是以 T2( ab) 为周期的周期函数 .3、定义在R 上的函数f ( x) ,若同时关于直线x a 和点 (b,0)( ab) 对称 ,即对于任意的实数x , 函数f (x)

12、 同时满足 f (ax)f (ax) ，f (bx)f (bx) ，则函数 f ( x) 是以 T4 a b 为周期的周期函数 .略证：1、 Qf x2(ab)f a( xa2b)f a (xa2b) =f (2 bx)f b(bx)f b(bx)f ( x) ， 函数 yf ( x) 是以 T2( ab) 为周期的周期函数 .2、 3 同理可证 .五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在 R 上的函数 f (x) , 若同时关于直线 x a 和 x2a 对称 , 即对于任意的实数x , 函数 f ( x) 同时满足 f (a x)f (ax) ， f (2a x)f (2a x) ，则

13、函数 f ( x) 是以 T 2a 为周期的周期函数，且是偶函数 .2、定义在 R 上的函数 f ( x) , 若同时关于直线 x a 和点 (2 a,0) 对称 , 即对于任意的实数x , 函数 f ( x) 同时满足 f (ax)f (a x) ， f (2ax)f (2ax) ，则函数 f (x) 是以 T 4a 为周期的周期函数， 且是奇函数 .3、定义在R 上的函数 f (x) , 若同时关于点(a,0) 和直线 x2a 对称 , 即对于任意的实数x , 函数 f ( x) 同时满足 f (ax)f (a x) ， f (2a x) f (2ax) ，则函数 f ( x) 是以 T

14、4a 为周期的周期函数， 且是偶函数 .4、定义在 R 上的函数 f ( x) , 若同时关于点(a,0) 和点 (2 a,0) 对称 , 即对于任意的实数x , 函数 f ( x) 同时满足 f (a x)f (a x) ， f (2ax)f (2ax) ，则函数 f ( x) 是以 T 2a 为周期的周期函数，且是奇函数 .5、若偶函数f ( x) 关于直线 xa 对称，即对于任意的实数x , 函数 f ( x) 满足 f (ax)f (a x) ，则f (x) 是以 T2a 为周期的周期函数 .6、若偶函数f (x) 关于点 (a,0)对称，即对于任意的实数 x , 函数 f ( x)

15、满足 f (a x)f (ax) ，则 f ( x).是以 T4a 为周期的周期函数 .7、若奇函数f ( x) 关于直线 x a 对称，即对于任意的实数x , 函数 f ( x) 满足 f (ax)f (ax) ，则f (x) 是以 T4a为周期的周期函数 .8、若奇函数 f (x) 关于点 (a,0) 对称，即对于任意的实数x , 函数 f ( x) 满足 f (ax)f (ax) ，则 f ( x)是以 T2a 为周期的周期函数 .略证：1、由上述四中的第1点即可得函数f (x) 是以 T2a为周期的周期函数 ,又 Q f ( x)f a(xa)f a(x a)f (2 ax)f (2

16、a x)f a (ax)f a(ax)f (x)函数 yf ( x) 是偶函数 .2、 3、 4同理可证 .5 、 6、7、 8 可利用上述四中的结论证得. 以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解 .六、其它结论1、若函数 yf (xa) 为偶函数，则函数yf ( x) 的图象关于直线 xa 对称 .2、若函数 yf (xa) 为奇函数，则函数yf ( x) 的图象关于点 (a,0) 对称 .注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解.、定义在R上的函数 f ( x) 满足 f (a x)f (ax) ，且方程 f ( x)0 恰有2n个实根，则这2n个实根3的和为 2na .4、定义在 R 上的函数 yf ( x) 满足 f ( ax)f (bx)c(a, b, c为常数 ) ，则函数 y f(x)的图象关于点(a b, c)对称 .22略证；任取 xR ，令 x1a x,x2b x，则 x1x2ab ， f (x1 )f (x2 )c ，由中点公式知点(x1, f (x1) 与点 (x2 , f (x2 ) 关于点 ( ab , c ) 对称 . 由 x 的任意性，知函数yf ( x) 的图22ab c象关于点 (,) 对称 .5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数 yfx 满足对定义域内任一实数x（其中 a 为常数） ,f xfxa