微积分课后习题答案

1、最新资料推荐习题 1 1 解答1 设 f (x, y)xyx ，求 f (x,y), f ( 1 , 1), f ( xy, x ),1yxyyf ( x, y)解 f ( x, y)xyx ； f (1,1)1y; f ( xy, x )x 2y 2 ;1yxyx yxyxyf (x, y)xy 22 设 f (x, y)ln x ln y ，证明：f (xy, uv)f (x,u)f (x,v)f ( y,u)f ( y, v)f ( xy, uv) ln x ln u f (x,u)ln( xy) ln(uv)ln x ln vln yf ( x,v)f ( y, u)(ln xln y

2、)(ln uln v)ln uln y ln vf ( y, v)3 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）f(,)1x2y21;x yf ( x, y)4xy 2;ln(1x2y 2 )f( ,)1x 2y 2z2 ;x ya 2b2c 2f ( x, y, z)xyz .1x 2y 2z2解（ 1）（ 2）D( x, y) x1, y1y1-1O1x-1D( x, y) 0x2y 21, y24xy1-1O1x-11最新资料推荐（ 3） D( x, y) x2y2z22221zabcc-a-bObyax（ 4） D ( x, y, z) x 0, y 0,

3、 z 0, x 2y2z21zOy4求下列各极限：x1xy101（1） lim2y2=1y 1 x0x0（2） lim ln( xey)ln(1e0 )ln 2x1x2y21 0y02xy 4(2xy 4)(2xy 4)1（3） limxylimxy(2xy4 )4x0x0y0y0（4） lim sin(xy)lim sin(xy)x2x2yx2xyy0y05证明下列极限不存在：（1） lim xy ;（ 2） lim22x 2 y 22x0x0x y( x y)y 0 xyy 0（1）证明 如果动点 P( x, y) 沿 y2x 趋向 (0,0)则 limxylimx2x0 xyx3；y2

4、xx02 xx0如果动点 P( x, y) 沿 x2 y 趋向 (0,0)，则limxylim 3 y3x2 y0 xyy 0yy02最新资料推荐所以极限不存在。（2）证明 如果动点 P( x, y) 沿 yx 趋向 (0,0)x2y2lim x4则 lim22241 ；x0xy( x y)x 0xyx 0如果动点 P( x, y) 沿 y2x 趋向 (0,0) ，则 limx2 y 2lim4x4202 224x 0x y( x y)x 04xxy 2x 0所以极限不存在。6指出下列函数的间断点：（1） f ( x, y)y 22x（ 2） z ln x y 。y；2x解（ 1）为使函数表达

5、式有意义，需y22x 0 ，所以在 y 22 x0 处，函数间断。（ 2）为使函数表达式有意义，需xy ，所以在 xy 处，函数间断。习题 1 21（ 1） zxyz1yz1xy x ,x yx 2 ，yxy2 .(2)zy cos(xy)2 y cos(xy) sin(xy)ycos(xy)sin(2xy)xzx cos(xy)2x cos(xy) sin( xy )xcos( xy)sin(2xy)y(3)zy(1xy) y1 yy 2 (1xy) y1,xlnz=yln(1+xy) ，两边同时对y 求偏导得1zxy) yxzln(1,y1xyzz l n1(xy)1xy (1xy) y

6、l n1(xy)1xy ;yxyxy2 y113zx 21;zx3x2 y(4)yyx 3xx( x3,xyxyy)x2x 2yyyyyu1, u1 x z ln x, ux z ln x(5)x zz2xzy zz;3最新资料推荐uz( xy) z1uz(xy) z1u( x y) z ln( x y)(6)x1(xy) 2 z,y1( xy) 2z ,z1(xy) 2 z;2.(1)zxy, z yx, zxx0, zxy1, z yy0;(2)zxa sin 2(axby), z yb sin 2(axby),zxx2a 2 cos2( axby), zxy2ab cos2(axby),

7、 zyy2b 2 cos 2(axby) .3f xy 22xz, f y2xyz2 , f z2 yzx 2, f xx2z, f xz2x, f yz2z,f xx (0,0,1)2, f xz (1,0,2)2, f yz (0,1,0)0.4zx2sin 2(xt ), ztsin 2(xt ), zxt2 cos2( xt ), zttcos2(xt )2t2t222zttzxt2 cos2( x)2 cos2( x)0 .22yy1yyy1yzxe x ,zye x dxe x dy ;5.(1)x2e x , dzx2xx(2)z1 ln( x 2y 2 ) , zxx2x2,

8、z yx2yy2 , dz2 x2dxx2y2dy ;2yxyyyy1xydxxdy(3) zxx 2,zyx, dz;y2x 2y2y2x2y 2x2y 21)1()(xx(4)u xyzx yz1 , u yzxyzln x , u zyx yzln x ,duyzxyz1dxzx yz ln xdyyx yzln xdz .6.设对角线为 z,则 zx 2y 2 , zxxy 2, z yx 2y,dzxdxydyx 2y 2x 2y 2当 x6, y8,x0.05,y0.1时 ,zdz60.058 (0.1)=-0.05(m).6 28 27.设两腰分别为x、 y,斜边为 z,则 zx

9、 2y 2 ,zxx， z yy,dzxdxydyx 2yx 2y2x 2y 2,2设 x、 y、 z 的绝对误差分别为x 、y 、z ,4最新资料推荐当 x7, y 24, xx0.1, yy 0.1时 ,z7224 225z70.1240.1的绝对误差0.124dz7 224 2=0.124,zzz0.124z 的相对误差0.496% .z 258. 设内半径为 r，内高为 h，容积为 V ，则Vr 2 h , Vr2 rh , Vhr 2 , dV2rhdrr 2 dh ,当 r4, h20,r0.1,h0.1 时 ,VdV23.144200.13.14420.155.264(cm3 )

10、 .习题 1 3dufdxfdyfdzyxxy1.zzaxz21 ( xy) 21 ( xy) 2ae2a(ax 1)dxx dxy dxz dx1 ( xy ) 2zzzy zaxz2axy(ax1)(ax 1)eax (1a 2 x 2 ).=z 2x 2 y 2=(ax1) 4x 2e2ax2.zffx =xarcsin4 x3=xx121x 2y2x 4y 44x3arcsin1x 2y 2x ln( x 4y4 )x 4y 4(1 x 2y 2 )( x2y 2 )zffyarcsin4 y 3yyy =121x 2y 2x 4y 4 =4 y 3 arcsin1x 2y 2y ln

11、( x 4y 4 ).x 4y 4(1 x 2y 2 )( x2y 2 )3.(1)u = 2 xf 1yexy f 2 ,u =2 yf 1xe xy f 2 .xy(2)u1f1 ,uxf11f 2 ,uyf 2 .x=2z=z2yyyz(3)u= f 1yf 2uu= xyf 3 .xyzf3 ,= xf 2xzf3 ,yz5最新资料推荐(4)uyf 2 f 3u2yf1xf 2f 3 ,uf3 .= 2 xf1=xyz4.(1)zzxf1f 2 ,yf 1 ,yx2 zy2f11 ,2 zf 1y( xf11f 12 )f1xyf11yf12 ,x2x y2 zx( xf11f12 )

12、xf 21f 22 = x 2 f112xf 12f 22y2zy2f 12xyf 2 ,z2xyf1x2f 2 ,(2)yx2 zy 2 ( y 2f112xyf12 )2 yf 22xy( y 2 f 212xyf 22 )x 2y 4 f114xy3 f 124x 2 y 2.2yf 2f 222 z2yf 1y 2 (2xyf11x2f12 )2xf 22xy (2xyf 21x2f 22 )xy2yf12xf 22xy 3 f 112x3 yf 225x 2 y 2 f122 z2xf 12xy (2xyf11x 2 f12 )x 2 (2xyf 21x 2f 22 )y 22xf

13、14x 2 y 2f11 4x3 yf 12x4 f 225uu xu y 1 u3 u , uu xu y3 u 1 u ,sx sy s 2 x2 y tx ty t2 x 2 y(u) 21 (u ) 23 u u 3 (u ) 2 , (u ) 23 (u ) 23 u u 1 (u ) 2 ,s4 x2 x y 4 yt4 x2 x y 4 y( u )2( u )2( u) 2( u ) 2 .stxy6 (1)设 F ( x, y, z)xyze ( xyz),Fx1 e ( xy z) , F y1 e ( x y z) ,Fz1e ( x y z) ,zFx1,zF y1xF

14、 zyF z6最新资料推荐(2)设 F ( x, y, z)zx 2y 2 tanz,x2y 2xzz13Fxtanx 2y2sec2()( x 2y 2 ) 2 2xzx2y 2x2y 2x 2y 22=xtanzy 2x2xzy2sec2z,x 2y 2x2x 2y 2yzz1)( x 23F y2tan2x 2y 2sec22(y 2 )2 ( 2 yz)2222xyxyxy=yy 2tanzx2yz2sec2x 2zy 2,x 2x 2y 2yF z1x 2y 2 sec2zy 21y 2=tan 2x 2zy2,x2x 2zF xxzxz2zxFzx 2y 2cotx 2y 2x2y

15、 2(1cotx2y 2 ) ,zF yycotzyz(1cot2z).yFzx2y2x 2y 2x 2y2x 2y 2(3)设 F (x, y, z)x2yz2xyz , Fx1yz2xz F x1xyxFy,yzzFx=yzxyzzF y=xz2xyzxFz,Fz.xyzxyyxyzxy(4)设 F ( x, y, z)xlnzxln zln y , Fx1 , F y1F zx1,zyzzyz 2zzFxzzF yz2,xFzx,yF zy(xz)z7.设 F (x, y, z)x2 y3z2 sin( x2 y 3z) , F x12 cos(x2 y3z),F y24cos( x2y

16、3z) , Fz36cos( x2y3z) ,zFx1zFy2xF z,yFz,337最新资料推荐zzx1 .y8.设 F (x, y, z)zF xxFzaazx(cxaz, cybz), Fxc 1 , F y c 2 , Fza 1 b 2 ,c1zF yc 2,b,Fza 1 b 212yzbc .9. (1)方程两边同时对 x 求导得dzdydyx(6z1)2x 2 y,解之得 dx,dxdx2 y(3z1)dydz0,dyx2x 4 y6 zdx3z 1dxdx(2) 方程两边同时对 z 求导得dxdy0,dxyz1,dzdzdy解之得dzxy2 xdx2z 0dyzx .2ydz

17、dzdzxy(3) 方程两边同时对x 求偏导得1euuu s i nv u c o sv v ,xxx 解之得0euuu c o vs u s i nvv ,xxxusin v,xeu (sin v cos v)1vcos veu.xu eu (sin vcos v)1同理方程两边同时对y 求偏导得0euuu s i nv u c o sv v ,yyy 解之得1euuu c o sv u s i nv v ,yyyucos v,xeu (sin v cos v)1vsin veu.xueu (sin vcosv)18最新资料推荐习题 141。求下列函数的方向导数upl0(1) ux22 y2

18、3z2 , p0 (1,1,0),l(1, 1,2)解： up02xp02,xu4y4,yp0p0up06z p00,zl 0(1,1,2)666up02*14*(1)l66(2) u( y) z, p0 (1,1,1),l(2,1,1);x解： up0z( y )z 1 (y2 )p01,xxxup0z( y) z 1 (1) p1,yxx0up0( y )z ln(y)p00,zxxl 0(2,1,1),666u(1)*21lp061*62 .61.6(3)uln( x2y2 ), p0 (1,1),l 与 ox轴夹角为；3解： up0x22xp01,xy2u2 y1,yp0x2y2p0u

19、p0cossin31 3 .l329最新资料推荐(4) uxyz, p0 (5,1,2), p1 (9, 4,14), lp0 p1.解： uxuyuzp 0p 0p 0yzxzxyp0p0p 02,10,5,l(4,3,12),l 0( 4 , 3 ,12 ),13 1313u p02*410*35* 1298 .l131313132.求下列函数的梯度gradf .(1) f ( x, y)sin( x2 y)cos( xy2 );解： fcos(x2 y)*(2xy)sin( xy2 ) y2 ,xfcos(x2 y)* y2sin( xy2 )*(2xy),ygradf(cos(x2 y)*(2 xy) sin( xy2 ) y2 ,cos( x2 y)* y 2sin( xy 2 )*(2 xy).x(2) f ( x, y)y ey .xxxx解： f(y2 )eyy ey 11 ey (1y ),xxxyxxxxxfe yy ey (x ) ey ( 1 1 ),yxy2xyx1 ).gradf( y), e y ( 1xxy山坡的高度 z由公式 z=5-x2 -2y 2近似，其中 x和 y是水平直角坐标，