基本积分方法.ppt

1、1,利用直接积分法求出的不定积分是很有限的.,一.凑微分法,例 计算,分析:此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到.,5.3 基本积分法,为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效地积分法.,这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“x”不同.,但如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与,积分变量变得相同, 那么就可用公式,求出此不定积分.,(u是x的函数),2,注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用,恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d(x),(可不必换元),使原积分变成一个可直接用积分公式来计算.,这种方法称为凑微分法.,其理论依据

2、为,3,定理4,证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.,注1.定理4中,若u为自变量时,当然有,当u 换为(x)时, 就有,成立.,不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.,注2. 凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积函数的,中间变量变得与积分变量相同. 即,成立.,4,(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如,(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x) .如,“凑微分”的方法有:,方法1较简单, 而方法2则需一定的技巧, 请同学们务必记牢 以下常见的凑微分公式！,5,6,例8 求下列各式的不定

3、积分,结论1:,7,8,例9 求下列各式的不定积分,结论2:,9,同理可得,例10 求下列各式的不定积分,10,结论3:,11,或原式,同理可得,12,例11 求下列各式的不定积分,同理可得,结论4:,一般地, 对形如,这样的不定积分,13,当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分；,一般地,对形如,这样的不定积分,若nm，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；,若同为偶，则化为,14,对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.,15,课堂练习: 求下列各式,16,17,注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数 的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差

4、一个 常数.如,法一:,法二:,法三:,18,二.换元法,注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换,从而,注:这种经过适当选择变量代换x=(t)将积分,求出此积分后回代t .称此方法为换元积分法.,化为积分,19,定理5 设函数(x)连续, x=(t)单调可微, 且 ,而,证明,即,只是在此方法中要注意两个问题:,1.函数 的原函数存在.,2 .要求代换式x=(t)的反函数存在且唯一.,则,20,注1:换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法 (先凑后换元)不一样.,注2: 本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数的 不定积分.,换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有

5、理函数的积分.,分两类讲:,1.根号里是一次式的,即,2.根号里是二次式的,即,主要讲,1.被积函数含有 的因子时,可令,例13 求下列各式,化简函数后再积分.,21,22,23,但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同情况 作不同的三角代换,作法如下：,2.被积函数含有 的因子时,可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化.,24,例14 求下列各式,25,t,a,x,如图,26,t,a,x,如图,27,t,a,x,28,3.倒代换 当被积函数的分母的次数与分子的次数之差 大于1时,利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因子x.,例15 求,29,例16 求,法一: 三角代换令,法

6、二: 根式代换令,法三:凑微分法,原式=,原式=,t,x,1,30,法四: 倒代换令,解 由题意知,则,例17(1) 设函数(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分,31,(2) 若己知, 求：,32,通过上述几种积分方法的学习,可将以下几个公式补充在 基本积分表里：,33,34,定理5 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数,则,三.分部积分法,直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问,题;但对形如,等类型的不定积分,采用这两种方法却无法.换元积分法是在复合函数求导法则 的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得,分部积分法.,证 由 d(uv)=vdu+u

7、dv, 得 udv= d(uv)vdu ,对此式两边同时求不定积分, 得,35,而不定积分 易于计算,则可采用分部积分公式,使计算大为简化.,注1:不定积分 不易计算,例15 求,解 (1) 设u=lnx,dv=dx,则v=x ,由分部积分公式得,36,(2). 要比 容易积出.,一般按“反对幂指三”的顺序,后者先凑入的方法确定u和v .,注2:分部积分法是基本积分法之一,常用于被积函数是两种 不同类型函数乘积的积分,这类积分在具体计算过程中,如何正确地选定u和v却显得非 常重要.一般说来要考虑以下两点:,(1). V要容易求得;,例18 求,37,比原积分更难积出.,例19 求下列不定积分,否则若,38,39,练习：,40,例20 求,这是一个关于 的方程,移项并两边同除以2,得,注:有些不定积分需要将积分的几种