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第六章 二次型 1 二次型及其矩阵 2 化二次型为标准形 3 化二次型为规范形 4 正定矩阵,平面解析几何中，,确定一条二次曲线，为了研究二次曲线的性质，通过坐标变换消去交叉项，化为标准形,函数的研究中，需要用线性函数和二次型逼近：,函数的一些性质依赖 的性质.,1 二次型及其矩阵,一、基本概念 二、线性变换 三、合同矩阵,一、基本概念,定义 n个变量 的二次齐次函数,其中 为常数，称为(n元)二次型.展开写,把二次型写成矩阵形式,A称为二次型的矩阵.二次型和其矩阵一一对应.,例 给定二次型,求其矩阵. 解,对角线上写平方项系数,对角线上方ij(ji)位置写 系数的一半,对角线下方按照对称填写元素.,例给定对称矩阵,求相应的二次型. 解,以对角线元素做系数写出相应平方项,以对角线上方元素的2倍做系数写出相应的含 的项.,定义 形如,的二次型称为二次型的标准形.,定义 形如,的二次型称为规范二次型.,p个,r-p个,n-r个,一般二次型能否化成标准形，乃至规范形，这需要线性替换。,二、线性替换,定义 设两组变量有关系,称为由 到 的线性替换。,定义 如果线性替换的矩阵为正交矩阵,则称它为正交替换.,三 合同矩阵,定义 设A,B是n阶矩阵,如果存在可逆线性替换C.使得,则称矩阵A,B是合同的,记作,定

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