第八章 广义函数与基本解.ppt

1、第8章 广义函数与基本解,8.1 基本空间 8.1.1 引言 偏微分方程的古典理论对解的光滑性要求过高，这不仅 仅常常不合实际问题的要求，而且影响理论的进一步发展。 我们希望对一般的方程及定解问题统一地扩充解地概念。这 首先需要扩充函数地概念。 Fourier变换是求解偏微分方程诸多问题的有力工具。但 是能做此变换的函数是不多的。我们希望扩广它的使用范围，从而需要扩充函数的概念。 当物理学家Dirac为了量子力学的需要引入函数 时， 数学和物理的紧密关系便出现了裂痕。,第8章 广义函数与基本解,物理学家原本定义的 函数是这样的“函数”： 。,第8章 广义函数与基本解,物理学家在20世纪30年代

2、就广泛使用 函数讨论问题，并获得相当的成功。直到20世纪40年代末，Schwarz等人建立了广义函数基础理论，才为这类奇异“函数”建立了严格的 数学理论。仅从以上三个方面看，扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的定义。,第8章 广义函数与基本解,8.1 基本空间 8.1.1 引言,第8章 广义函数与基本解,记号,第8章 广义函数与基本解,1.2 基本空间 和 首先考虑的基本空间是 即具有紧支集的无限次可微函数 组成的空间。所谓一个函数 f(x) 的支集，是指集合 的闭包，记作 在 中定义收敛概念如下：,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8

3、章 广义函数与基本解,附注 易知 中的收敛性比 中的收敛性强，反之未必对。例如可取为例8.1.1中的函数，并定义 易证 。,第8章 广义函数与基本解,1.3 基本空间 若定义在 上的函数 满足条件 则称它是速减函数。易证，条件 (ii)与下述任一个条件等价：,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,基本空间上的Fourier 变换,第8章 广义函数与基本解,Fourier变换的性质,第8章 广义函数与基本解,一般地，对任一多重指标 有,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,由此，可以导出分数指数的Sobolev空间。

4、Parselval等式的重要性可见一斑。,第8章 广义函数与基本解,8 .2 广义函数空间 8.2.1 概念与例子 依次把基本空间 和 上的线形连续泛函叫作 广义函数 , 广义函数和 广义函数，它们各自的全体分别组成 和 广义函数空间。有时我们分别简称为广函和广函空间。广义函数又叫作分布，广义函数空间又叫分布空间。,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,8.2.2 广义函数的收敛性,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,8.2.3 自变量的变换,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与

5、基本解,第8章 广义函数与基本解,8.2.4 广义函数的微商与乘子,第8章 广义函数与基本解,广义函数微商的性质：,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,8.2.5 广义函数的支集 一个广义函数逐点的值是没有意义的，但是我们有,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,8.2.6 广义函数的卷积 为了给出广义函数卷积的合理定义，先从常义函数,第8章 广义函数与基本解,于是，若使广函卷积是 常以函数卷积的合理推广，应把两个广函f与g的卷积定义为

6、,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,广函卷积的可交换性,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,广函卷积的性质：,第8章 广义函数与基本解,8.2.7,第8章 广义函数与基本解,广义函数Fourier变换的性质：,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,8.3 基本解 8.3.1 基本解的概念 P(D) 的基本解也叫做方程 P(D)U=0 的基本解。基本解不唯一， 因为一个基本解加上方程P(D)U=0的任一个解也满足方程(8.3.1)，故 通常只要求得一个具有奇性的基本解即可（即把满足齐次方程的线性 叠加部分去掉）。,第8章 广义函数与基本解,3,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,8.3.2,第8章 广义函数与基本解,现在看Cauchy问题,第8章 广义函数与基本解,第8章 广义函数与基本解,8.3.3,第8章 广义函数与基本解,的基本解。,第8章 广义函数与基本解,