概率论与数理统计课件1-3

1、第三节频率与概率一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质三、小结一、频率的定义与性质1. 定义在相同的条件下 , 进行了n 次试验,在这 n次试验中,A 发生的次数 nA 称为A 发生的频数.比值 nA 称为A 发生的频率,并记n成 fn ( A).2. 性质设 A 是随机试验 E 的任一, 则(1) 0 fn ( A) 1;(2)f (S ) = 1,f () = 0;(3) 若 A1 , A2 , L, Ak 是两两互不相容的,则f ( A1 U A2 ULU Ak ) =fn ( A1 ) +fn ( A2 ) + L +fn ( Ak ).0.40.60.21.00.20.40.80.

2、44波动较0.50 0.420.500.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5020.5240.51662325 22491实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.n = 5n = 50n = 500试验序号nHfnHfnHf25122211234567在处大 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性212565124252471在处波动较小22418272512 波动最小258从上述数据可得(1)频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的f 不一定相同;(2)抛硬币次数 n 较小时, 频率 f的随机波动幅度较大,

3、 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率逐渐稳定于 0.5.f 总是在 0.5 附近摆动, 且1 .n的增大f (H )2实验者nnHf德 摩根204810610.5181蒲 丰404020480.5069K 皮尔逊1200060190.5016K 皮尔逊24000120120.5005重要结论频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了概率在试验中出现可能性的大小它就是的请同学们思考.医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：

4、 “但你是幸运的因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”医生的说法对吗?二、概率的定义与性质1933年，苏联数学家柯尔莫哥提出了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展.柯尔莫哥资料1.概率的定义设E 是随机试验, S 是它的样本空间.对于 EA 赋予一个实数,记为 P( A) ,称为事的每一件 A 的概率,如果集合函数P()满足下列条件:A, 有 P( A) 0;S,有 P( S ) = 1;(1) 非负性:(2) 规范性:对于每一个对于必然(3) 可列可加性: 设 A1 , A2 ,L是两两互不相容的,即对于 i j, Ai Aj= , i,j

5、= 1, 2,L,则有P( A1 U A2 UL) = P( A1 ) + P( A2 ) + L概率的可列可加性2. 性质(1) P() = 0.= (n = 1,2,L),An则证明U An = , 且 Ai Aj= ,i j.n=1由概率的可列可加性得 = P( An )n=1P() = P U An n=1= P()n=1P() 0 P() = 0.(2) 若A1 , A2 ,L, An是两两互不相容的,则有概率的有限可加性令 An+1 = An+2 Ai Aj= ,= L = ,证明i i, j = 1,2,L.j,由概率的可列可加性得P( A1 U A2 ULU An ) = P(

6、 UnAk ) = P( Ak ) = P( Ak ) + 0k =1k =1k =1= P( A1 ) + P( A2 ) + L + P( An ).P( A1 U A2 ULU An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + L + P( An ).,且 A B,则P(B - A) = P(B) - P( A).(3) 设 A, B 为两个P( A) P(B),A B,B = A U (B - A).证明因为所以BA(B - A) I A = ,P(B) = P( A) + P(B - A).又得于是P(B - A) 0,故 P( A) P(B).又因P(B - A) = P(B)

7、 - P( A).A, P( A) 1.(4) 对于任一A S P( A) P(S) = 1,故 P( A) 1.证明, 则 P( A) = 1 - P( A).(5) 设 A 是 A 的对立因为A U A = S, A I A = , P( S ) = 1,所以1 = P( S ) = P( A U A)证明= P( A) + P( A). P( A) = 1 - P( A).(6) ( 加法公式) 对于任意两A, B 有P( A U B) = P( A) + P(B) - P( AB).证明由图可得A U B = A + (B - AB),且 A I (B - AB) = ,故 P( A

8、U B) = P( A) + P(B - AB).又由性质 3 得P(B - AB) = P(B) - P( AB),ABAB因此得P( A U B) = P( A) + P(B) - P( AB).推广三个和的情况P( A1 U A2 U A3 )= P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) - P( A1 A2 ) - P( A2 A3 )- P( A1 A3 ) + P( A1 A2 A3 ).n 个和的情况nULU An )= P( Ai ) - P( Ai Aj )P( A1 U A2i =11i jn P( A A A) + L + (-1)n-1 P( A A L

9、A).+ijk12n1i jknA, B 的概率分别为 1 和 1 , 求在下列例1设32三种情况下 P(BA) 的值.(1) A与B互斥;(2) A B;(3) P( AB) = 1 .8(1)由图示得 P(BA) = P(B),解P(BA) = P(B) = 1 .故2(2)由图示得P(BA) = P(B) - P( A)= 1 - 1 = 1 .236BASABS(3)由图示得 A U B = A U B A,且 A I BA = ,又 P( A U B ) = P( A) + P(B) - P( AB ),P( A U BA) = P( A) + P(B A),P(BA) = P(B) - P( AB) = 1 - 1 = 3 .因而288AABBS三、小结n 1.频率 (波动)概率(稳定).2.概率的主要性质(1) 0 P( A) 1,P(S) = 1, P() = 0;(2)P( A) = 1 - P( A);(3) P( A U B) = P( A) + P(B) - P( AB);,且 A B,则(4) 设 A, B 为两个P( A) P