第2章随机变量及其分布8节

1、2018/10/11第6节 边缘分布二维随量 ( X ,Y ),是两个随量视为一个整体，来讨论其取值规律的.问题：能否由二维随量的分布来确定两个一维随量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题pip1 p2MpiMp jp1p2p j2018/10/12一、二维离散型R.v.的边缘分布YyyyX12jx1p11p12p1 jx2p21p22p2 jMMMMxipi1pi 2pijMMMMX的边缘分布P(X = xi )= pij = pi (i = 1,2,L)jY的边缘分布 P(Y = yj ) = pij= p j ( j = 1,2,L)i2018/10/13例1设二维随量（X, Y）的联

2、合概率分布如下求随量X与Y的边缘概率函数。解：XY0123pi .01210/506/504/501/509/5010/503/5005/502/500021/5022/507/50p. j24/5018/507/501/501XY012301210/506/504/501/509/5010/503/5005/502/50002018/10/14二、二维连续随量的边缘分布二维连续型随量(X， Y )的联合密度函数为f ( x, y),求随量 X 的边缘密度函数：f X (x )由F(x)= PX x=P(Xx, -Y+ )Xx+()= fx， y dy dx- -+得f X (x) = f (

3、x， y)dy-2018/10/15同理，由F(y )=PYy=P(-X+ ,Yy)Yy+()= fx， v dx dv- -+得fY (y) = f (x， y)dx-2018/10/16例2设二维随量(X, Y)的联合概率密度为y6, x2 y x f ( x, y) = 0,其他y=x求X与Y的边缘概率密度 f(x), f( y).D2XYy=x解：o1x+6dy = 6(x - x2 )0 x 1f( x) =f ( x, y)dy = x2X- 0,其他y+y6dy = 6(y - y)0 y 1fY ( y) = -f ( x, y)dx= 0,其他2018/10/17例3设二维随

4、量(X, Y)的概率密度为 24yf ( x, y) = 13 x,( x, y) G1(, 1)0,其他x+y=3/2求X与Y的边缘概率密度 fX (x), fY ( y).G解：o1/23/21 2424+ 0 13 xdy = 13 x,0 x 1/ 2fX ( x) = -f ( x, y)dy = 3/ 2- x 24 xdy = 24 x(3 - x),1 x 3 013132220,其他 24 xdx= 13 ( 3 - y)20 y 0, 则在Y= yj 条件下X 的条件分布律PX = x| Y = y=P X= xi ,Y=y j =pij, i = 1,2,ijPY=ypj

5、 j(2) 若PX= xi0, 则在 X= xi 条件下Y 的条件分布律PY=y| X= x =P X= xi ,Y=y j =pij, j = 1,2,LjiP X= xpii2018/10/111条件分布律具有分布律的以下特性：10P X= xi |Y= yj 0；ppij pp20 P X = x| Y=y =ij= j= 1.i =1i =1 j j即条件分布律是分布律。502018/10/112例1 设二维随量（X, Y）的联合概率分布如下求(1)随量X在Y=0条件下的条件分布。解：已知P(Y = 0) = 24 ,在Y = 0的条件下X的条件分布为5010P( X = 0 | Y

6、= 0) = P( X = 0,Y = 0) = 50 = 10P(Y = 0) 242450P( X = 1| Y = 0)= P( X = 1,Y = 0) = 9 = 50 9 P(Y = 0) 242450P( X = 2 | Y = 0)= P( X = 2,Y = 0)= 5 = 50 5 P(Y = 0) 2424XY0123pi .01210/506/504/501/509/5010/503/5005/502/500021/5022/507/50p. j24/5018/507/501/501p. j24/5018/507/501/501pi .21/5022/507/50量（X

7、, Y）的联合概率分布如下例1设二维随XY012301210/509/505/506/5010/502/504/503/5001/5000求 (2)随量Y在X=1条件下的条件分布。解：已知P(X =1) = 22 ,则Y在X=1条件下的条件分布为502018/10/113Y0123pY|X(y|1)9/2210/223/2202018/10/114二、连续随量的条件分布n 定理设二维连续随量（X,Y）的联合概率密度f(x,y)在点（x,y)处连续。(1) 若Y的边缘概率密度fY(y)0,且在点y处连续,则X在Y=y条件下的条件概率密度(2) 若X的边缘概率密度fX(x)0,且在点x处连续,则Y

8、在X=x条件下的条件概率密度f( y | x) =f (x, y)Y |Xf(x)Xf(x | y) =f (x, y)X |Yf( y)Y2018/10/115连续随量的条件分布推导设 ( X ,Y ) 是二维连续型随量，由于PY = y = 0,所以PX x | Y = y无意义.所以应在 P y Yy+y0时,考虑X x的条件概率PX x | y Y y + DyPX x | y Y y + Dy=PX x, y Y y + DyPy Y y + Dyxy+Dy=- yf (x, y)dydxy+DyyfY ( y)dy2018/10/116xy+DyPX x | y Y y + Dy=

9、- yf (x, y)dydxy+DyyfY ( y)dyxy+Dy= - ( Dy yf (x, y)dy)dx1y+DyDy yfY ( y)dy1FX |Y (x | y) = lim PX x | y Y y + DyDy0limx( 1 y+Dy f (x, y)dy)dxxDy-Dy y- f (x, y)dx=y+Dy=lDyDy yfYYim 1( y)dyf( y)2018/10/117xf (u, y)FX |Y ( x | y) = -f( y)du,Y称为在条件Y= y下X的条件分布函数.随量X在Y=y的条件下的条件密度函数f( x | y) =f ( x, y)X |

10、Yf( y)Y随量Y在X=x的条件下的条件密度函数f(x | y) =f (x, y)Y | Xf( y)X注：条件密度函数的性质与普通密度函数类似1 ,A2018/10/118例2 设G是平面上的有界区域, 其(x, y) G面积为A, 若二维随量(X,Y)f (x, y) =具有如下概率密度,则称(X,Y)在0,其他G上服从均匀分布. 现设(X,Y)在y由 y = x2 , y = 0, x =1所围成的区域上服从y=x2均匀分布.求条件概率密度 f X |Y (x | y).G解：1x21x213A = dydx= dxdy = x2dx = x |1 = 1o100000303+ 13

11、dx = 3(1-y ), 0 y 1,fY ( y) = - f (x, y)dx = y0,其他.当0 y 1时，有f (x, y)3=1,y x 1,f(x | y)= 3(1-y )1(1-y )X |YfY ( y)0,其他.32018/10/119第8节 相互独立的随量定义 设X,Y是两个随量，若对于任意实数x,y有P(Xx,Y y)= P(Xx)P(Y y)即F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称X，Y相互独立。n 特别，对于离散型和连续型的随量，该定义分别等价于 P (X = xi ,Y = yj ) = P (X = xi )P(Y = yj )即 pij = pi p

12、 jf (x, y) = fX (x) fY (y)2018/10/120n 实际意义在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.n 补充说明在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！F(x, y) = FX (x) FY ( y)pi.1/21/9+1/18+ 2/3+ +p.j1/31/3+ +2018/10/121例1 设二维随量 (X， Y )的联合概率分布为试确定常数a ， b使得随量 X 与Y 相互独立解：由联合概率分布的性质知0, 0, 且2/3+ +=1,即 +=1/3,由X,Y相互独立,有pij =

13、pi p jp= p p 1 = 1 (1 + a ) a = 2b = 1121293999XY12311/61/91/1821/32018/10/122例2 已知二维随 量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，D为x轴, y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解: （X,Y）的密度函数为4,(- 1 x 0, 0 y 2x +1)f (x, y) = 20,其他 1+2 x+1 4dy = 4(2x +1),- x 0fX (x) = f (x, y)dy = 02-0,其他.+04dx= 2(1- y),0 0, x 091212X11X22x20,其他.P(X1 + X2 1) =D f (x1, x2 )dx1dx2x1 + x2 =1