2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：8.6 双曲线(共53张PPT).ppt

1、第六节 双 曲 线,三年13考 高考指数: 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. 2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.,1.双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，双曲线的离心率、渐近线或与其他知识结合是高考的热点； 2.多以选择题、填空题为主，属中低档题目.,1.双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离_为一定值； (3)这一定值一定要_两定点的距离.,之差的绝对值,小于,【即时应用】 判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“是”或“否”) (1)平面内到点A(0,2

2、)，B(0,-2)距离之差等于2的点的轨迹； ( ) (2)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于3的点的轨迹； ( ) (3)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于4的点的轨迹； ( ),(4)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹； ( ) (5)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于6的点的轨迹； ( ) (6)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹. ( ),【解析】由双曲线的定义可知：(1)点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的一支；(2)点的轨迹是以A，B为焦点，实轴

3、长为3的双曲线；(3)点的轨迹是以B为端点方向向下的一条射线;(4)点的轨迹是分别以A、B为端点方向向上、下的两条射线；(5)距离之差大于|AB|，所以点的轨迹不存在；(6)距离之差的绝对值大于|AB|，所以点的轨迹不存在. 答案：(1)否 (2)是 (3)否 (4)否 (5)否 (6)否,2.双曲线的标准方程和几何性质,【即时应用】 (1)思考：双曲线离心率的大小与双曲线“张口”大小有怎样的关系? 提示:因为离心率 所以，离心率越大， 就趋近于+，即两条渐近线所形成的角(双曲线所在的区域)就越大，即双曲线的“张口”就越大；离心率越小即接近1， 就趋近于0，即两条渐近线所形成的角(双曲线所在的

4、区域)就越小，即双曲线的“张口”就越小.,(2)已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为_. 【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为： 所以a2=3， 又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为 答案：,(3)已知双曲线 (a0,b0)的虚轴长为2，焦距为 则双曲线的渐近线方程为_. 【解析】依题意知：2b=2，2c= 所以b=1，c= a= 因此，双曲线的渐近线方程为： 答案：y=,双曲线的定义、标准方程 【方法点睛】1.应用双曲线定义的注意事项 (1)距离之差的绝对值; (2)2a|F1F2|; (3)双曲线上任意一点与两焦点围成

5、的“焦点三角形”中的数量关系.,双曲线的标准方程 (1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程 可设为 (mn0)，这样可避免讨论和复杂的计算； 也可设为Ax2+By2=1(AB 0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bxay=0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=(0)，据其他条件确定的值； (3)与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 (0)，据其他条件确定的值.,3.求双曲线标准方程的方法及步骤 (1)定义法：根据题设条件得出或已知曲线为双曲线，可直接求出a、b、c，得出双曲线方程； (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程，将

6、题设条件代入方程确定相关系数，最后得出方程. 【提醒】用定义法求双曲线方程时，要注意焦点所在坐标轴的位置.,【例1】(1)与双曲线 有相同的渐近线，且过点 (-3, )的双曲线方程为_. (2)已知定点A(0,7)，B(0,-7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程. 【解题指南】(1)先设出双曲线的方程，用待定系数法求解；(2)由椭圆定义得出关于点F的等式，化简后可得出点F的轨迹，进而得出轨迹方程.,【规范解答】(1)因为所求双曲线与 有相同的渐近线，所以设所求双曲线方程为 (0)，又因为双 曲线过点(-3, )，所以 解得= 所以所求双曲线方程为： 即

7、 答案：,(2)由椭圆的定义知：|AC|+|AF|=|BC|+|BF|， 又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2), 所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2, 所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,b2=48, 因此所求轨迹方程为: (y0).,【互动探究】本例(1)中“有相同的渐近线”改为“有相同的焦点”，结果如何？ 【解析】双曲线 中，c=5，焦点坐标为(-5,0)、 (5,0)，又因为所求双曲线与双曲线 有相同的焦点，所以可设双曲线方程为 又因为双曲线过点(-3,2 )，所以 解得 (舍去)或 所以双曲线方程为：,【反思感悟】1.第一小题有相同

8、渐近线的双曲线方程的设法只有一个参数，再需一个条件即可求解； 2.第二小题是借助于椭圆的定义，得出一个等式，再由双曲线的定义得出轨迹为双曲线的一支.,【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P、Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长为_. 【解析】因为x2-y2=8，所以2a= 由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|= |QF2|-|QF1|= 所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|=,即|PF2|+|QF2|-|PQ|= 又因为|PQ|=7，所以|PF2|+|QF2|=7+ 因此,PF2Q的周长为 |PF2|+|QF2|+

9、|PQ|=14+ 答案：14+,双曲线的几何性质 【方法点睛】1.双曲线的几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注： (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点; (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线; (3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形.,2.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 (1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意 及判断焦点的位置； (2)已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时，若焦点不确定时， 因此离心率有两种可能. 【提醒】双曲线中a、b、c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆.

10、,【例2】(1)(2011福建高考)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432， 则曲线C的离心率等于( ) (A) (B) 或2 (C) 或2 (D) 或 (2)(2011北京高考)已知双曲线 (b0)的一条渐近线 的方程为y=2x,则b=_.,【解题指南】(1)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线.再由椭圆、双曲线的定义及离心率的定义即可求解 (2)利用双曲线方程与其渐近线方程之间的关系求出渐近线方程，比较两渐近线方程，即可求出b值.,【规范解答】(1)选A.|PF1|F1F2|PF2|=432， 可设|PF1|=

11、4k，|F1F2|=3k，|PF2|=2k，k0, 其中|F1F2|=2c=3k，c= 若圆锥曲线C为椭圆，则|PF1|+|PF2|=2a=6k， a=3k，,若圆锥曲线C为双曲线，则|PF1|-|PF2|=2a=2k, a=k, e的取值为 (2)令 得渐近线方程为y=bx.由已知可得b=2. 答案：2,【互动探究】在本例(1)中，若圆锥曲线为双曲线且c=6，其他条件不变，求双曲线的焦点到其渐近线的距离. 【解析】因为圆锥曲线为双曲线且c=6，又因为 |PF1|F1F2|PF2|=432， 所以|PF1|=16,|PF2|=8, 2a=16-8=8，即a=4,所以,当双曲线的焦点在x轴上时，

12、一个焦点为(6,0)，一条渐近线方程为 x-2y=0，焦点到渐近线的距离为 当双曲线的焦点在y轴上时，一个焦点为(0,6)，一条渐近线方程为2x- y=0，焦点到渐近线的距离为,【反思感悟】1.第一小题首先是讨论曲线的类型，然后再根据相应曲线的定义，求出离心率的值. 2.第二小题关键是利用双曲线的方程与其渐近线方程之间的关系求解.,【变式备选】已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F恰好是双曲线 的右焦点，且双曲线过点 则该双曲线 的渐近线方程为_. 【解析】抛物线y2=2px的焦点为 双曲线 的右焦 点为( 0)， 即p2=4(a2+b2).因为双曲线 过点,所以 9a2-4b2=p2=4(a

13、2+b2),8b2=5a2, 渐近线方程为y= 答案：y=,与双曲线有关的综合问题 【方法点睛】直线与双曲线的位置关系 判断直线l与双曲线E的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)代入双曲线E的方程F(x,y)=0，消 去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程. 即 消去y后得ax2+bx+c=0.,直 线 与 双 曲 线,方程特征,公共点个数,位置关系,a=0,a0 0,a0 =0,a0 0,1,2,1,0,直线与双曲线的渐近线平行，两者相交,相交,相切,相离,2.解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法 (1)当题目的条件和结论

14、能明显体现几何特征及意义时,可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(组),通过解不等式(组)求得参数的取值范围； (2)当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时,则可先建立目标函数,进而转化为求解函数的值域. 【提醒】解决直线与双曲线相交问题时，若涉及到弦的中点或斜率，一般用点差法求解.,【例3】(2012合肥模拟)已知双曲线C: (a0)与直 线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围. (2)设直线l与y轴交点为P，且 求a的值. 【解题指南】(1)将直线方程代入双曲线方程消去y，整理成关于x的一元二次方程,得a的范围，利用a的取值范围求解

15、; (2)设出A，B的坐标，利用(1)中一元二次方程的根与系数的关系求解.,【规范解答】(1)由双曲线C与直线相交于两个不同的点，知方 程组 有两个不同的解，消去y并整理得: (1-a2)x2+2a2x-2a2=0 , 解得0a 且a1, 双曲线的离心率 0a 且a1,e 即离心率e的取值范围为 (2)设A(x1，y1)，B(x2,y2),P(0,1), (x1,y1-1)= (x2,y2-1), 得 由于x1,x2是方程的两个根， ,即 消去x2， 得 解得a=,【反思感悟】双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系.解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线

16、方程联立组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入的思想解题.设直线与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线的斜率为k,则,【变式训练】已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12，-15)， 则E的方程为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选B.设双曲线的标准方程为 (a0,b0)， 由题意知c=3,a2+b2=9,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有： 两式作差得： 又AB的斜率是 即 所以4b2=5a2. 将4b2=5a2代入a2+b2=9得a2=4,

17、b2=5, 所以双曲线的标准方程为 故选B.,【易错误区】双曲线几何性质的解题误区 【典例】(2011山东高考)已知双曲线 (a0,b0) 和椭圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆 离心率的两倍，则双曲线的方程为_. 【解题指南】求椭圆焦点，即双曲线的焦点，由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b，然后写出双曲线的方程.,【规范解答】由题意知双曲线的焦点为( 0)、( 0)， 即c= 又因为双曲线的离心率为 所以a=2,故 b2=3，所以双曲线的方程为 答案：,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011安徽高考)双曲线2x2-y2=8的实轴长是( ) (A)2 (B) (C)4 (D) 【解析】选C.将双曲线2x2-y2=8化成标准方程 则 a2=4，所以实轴长2a=4.,2.(2012三明模拟)若双曲线 上的一点P到它的右焦 点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是( ) (A)4(B)12(C)4或12(D)6 【解析】选C.双曲线方程为 a=2，b=c=4. 又点P到右焦点的距离为8， 由双曲线的定义知点P到左焦点的距离为8-2a=8-4=4 或8+2a=8+4=12.,3.(2011湖南高考)设双