04第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法

1、电力系统分析基础Power System Analysis Basis（四）主讲人：栗然第四章复杂电力系统潮流的计算机算法基本要求：本章着重介绍运用电子计算机计算电力系统潮流分布的方法。它是复杂电力系统稳态和暂态运行的基础。运用计算机计算的步骤，一般包括建立数学模型， 确定解算方法，制定框图和编制程序，本章着重前两步。1. 建立数学模型： 节点电压方程、导纳矩阵的形成与修改2. 功率方程、节点分类及约束条件3. 迭代法计算潮流功率方程的非线性性质高斯塞德尔法用于潮流计算速度慢、易于收敛4. 牛顿拉夫逊法计算潮流原理：局部线性化直角座标法、极座标法、PQ分解法用于潮流计算速度快、但注意初值选择第

2、四章 复杂电力系统潮流的计算机算法n 电力网络方程指将网络的有关参数和变量及其 相互关系归纳起来组成的，反映网络特性的数 学方程式组。如节点电压方程、回路电流方程， 割集电压方程。相应有：n （1）节点导纳矩阵n （2）节点阻抗矩阵n （3）回路阻抗矩阵4.1 电力网络方程一、节点电压方程电力网网络元件：恒定参数发电机：电压源或电流源负荷：恒定阻抗代数方程一、节点电压方程以母线电压作为待求量213电力系统结线图注意：零电位是不编号的负荷用阻抗表示123E2E1电力系统等值网络一、节点电压方程电压源变为电流源y1212以零电位作为参考，根据基尔霍夫I2 电流定律y133y23yy20I1y301

3、0.I 1 = U 1 y10 + (U 1 - U2) y12 + (U 1 - U 3) y13.I 2 = U2 y20 + (U2 - U 1) y21 + (U2 - U 3) y23.0 = U 3 y30 + (U 3 - U 1) y31 + (U 3 - U 2) y32一、节点电压方程.I 1 = ( y10 + y12 + y13 )U1 - y12 U2 - y13 U 3.= Y 11 U1 + Y 12 U2 + Y 13 U 3.I.2 = - y21 U1 + ( y20 + y21 + y23 )U2 - y23 U3.= Y 21 U1 + Y 22 U2

4、+ Y 23 U 3.0 = - y31 U 1 - y32 U2 + ( y30 + y31 + y32)U 3.= Y 31 U 1 + Y 32 U 2 + Y 33 U 3一、节点电压方程其中互导纳自导纳Y11 = y10 + y12 + y13 Y22 = y20 + y21 + y23 Y33 = y30 + y32 + y33Y12 = Y21 = - y12 Y23 = Y32 = - y23 Y13 = Y31 = - y13一、节点电压方程n 个独立节点的网络，n 个节点方程Y11U&1Y21U&1+ Y12U& 2+ Y22U& 2+L+ Y1nU& n+L+ Y2nU&

5、 n= I&1= I&2M= I&nYn1U&1+ Yn2U& 2+L+ YnnU& n一、节点电压方程n 个独立节点的网络，n 个节点方程Y1n U&1 I&Y11Y12Y22MYn2LLOL1 Y2n U& 2 = I&2 Y21 M MMYnnM & &Yn1Un In 一、节点电压方程n 个独立节点的网络，n 个节点方程YU = I节点导纳矩阵节点i的自导纳节点i、j间的互导纳YYii Yij二、节点导纳矩阵Y 矩阵元素的物理意义：自导纳= 1节点i:加单位电压 Ui= Ii其余节点j: 全部接地Uj = 0节点 i 注入网络电流Yii0Y Uiiyi 0(Ui= 0, j i )j+

6、 y ijj=Yii二、节点导纳矩阵Y 矩阵元素的物理意义互导纳j i= 1if节点i:加单位电压 Ui其余节点j: 全部接地 Uj = 0由地流向节点j的电流稀疏性：当yij=0 时Yij=0 Ij= Yji Ui(U= 0, j i )j= Yji= - yijYij二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵中自导纳的确定U1y1221I2y13y23U&33y10y20U2y30I1I&3= (UI2YY= y+ y+ y22 U222122320=U = 0)13I2 = U2 y12 + U2 y23 + U2 y20二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵中互导纳的确定U1y1221I2y13y23U&33

7、y10y20U2y30I1I&3= I1Y U= - y12Y2(U1212=U= 0)13I1 = -U2 y12二、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 的特点阶数：等于除参考节点外的节点数n1. 直观易得2. 稀疏矩阵3. 对称矩阵对角元：等于该节点所连导纳的总和非对角元Yij：等于连接节点i、j支路导纳的负值三、节点导纳矩阵的修改不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行状况、变压器的投切或变比的调整等）改变一个支路的参数或它的投切只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因此仅需对原有的矩阵作某些修改。三、节点导纳矩阵的修改Y 矩阵的修改不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行状况、变压器

8、的投切或变比的调整等）Y = Y (0)+ DY Y= Y (0)+ DYijijij电力网三、节点导纳矩阵的修改Y 矩阵的修改Y11Y1n Y1222MY1i2iMY1 j2 jMLLOLOLOLLLOLOLOLLLOLOLOLYYYYY2n 21MMYYYYY= in i1i 2iiijY (0)MMYj 2MYn2MYjiMYniMYjjMYnjMYj1Yjn MMYn1Ynn 电力网三、节点导纳矩阵的修改Y 矩阵的修改（1）从原网络引出一条支路增加一个节点Y 增加一行一列（n1）（n1）=yik= YYkk Yyikki电力网= - yikkiikDYii= yik(0)= Y+ DY

9、Yiiiiii三、节点导纳矩阵的修改Y 矩阵的修改（2）在原有网络节点i、j之间增加一条支路Y 阶次不变DYii= DYjji= yij= - yyijDY= DYijjiij(0)= Y+ DYjYiiiiii(0)= Y= Y+ DYYijjiijij电力网三、节点导纳矩阵的修改Y 矩阵的修改（3）在原有网络的节点i、j之间切除一条支路Y 阶次不变iDYiiDYij= DYjj= DYji= - yij= yijyijjY= Y+ DY(0)iiiiiiY= Y= Y+ DY(0)ijjiijij电力网三、节点导纳矩阵的修改Y 矩阵的修改（4）在原有网络的节点i、j之间的导纳由yij改变为

10、yijDYii= yij- yiji= DYji= yij- yijDYij-yijyij-DYjj=yij(0)yijjY= Y+ DYiiiiiiY= Y= Y+ DY(0)ijjiijij电力网三、节点导纳矩阵的修改Y 矩阵的修改（5）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由k*改变为k*ijZk*:1ZZyT/k*ij1 - k*k* - 1yyTT2kk*ZTZ三、节点导纳矩阵的修改Y 矩阵的修改（5）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由k*改变为k*1 - k* ) - ( yT1 - k* )= ( yTDY+ y+ yiikTTk22kk*11= (-) yTk22k*k*

11、 - 1) - ( yT- 1) = 0= ( yT+ yk*DY+ yjjkTkTkk*= DY= -( yTyTDY-)kijijk*42功率方程及其迭代解法率方程和变量、节点的分类1、功率方程等值电源功率= PG1 + jQG1= PG 2 + jQG 2GGSG1SG 212= PL1 + jQL1等值负荷功率（a）简单系统SL1S= P+ jQL2L2L2U&1U& 2率方程和变量、节点的分类1、功率方程= PG1 + jQG1= PG 2+ jQG 2U& 2GGSG1SG 2U&11y122= PL1 + jQL1SL1= P+ jQSyy20L2L2L210（b）简单系统的等值

12、网络42 功率方程及其迭代解法率方程和变量、节点的分类1、功率方程U&1U& 21y212I&= I&- I&I1 = I- I2G2L2G1L1y10 y20S1 = SG1 - SS2 = SG 2 - SL2L1（c）注入功率和注入电流42 功率方程及其迭代解法率方程和变量、节点的分类1、功率方程 S *.I =Y UnI = U (P + jQ )*.U= Y(i = 1, 2,(4 - 28) ii*Uin)jijj =142 功率方程及其迭代解法率方程和变量、节点的分类1、功率方程nnPi= ei (Gijej - Bijf j ) +fi (G ijf j + Bijej ) j

13、 =1j =1(4 - 36)nnf j + Bij e j )Qi=fi (Gijej- Bij f j ) - ei (G ijj =1j =1nPi= Ui U j (Gij cosd ijj =1+ Bij sind ij ) (4 - 43)n- Bij cosd ij )Qi= Ui U j (Gij sind ijj =142 功率方程及其迭代解法率方程和变量、节点的分类2、变量的分类一个电力系统有n个节点，每个节点可能有4 个变量Pi,Qi ,ei, fi或Pi,Qi ,Ui, di,而上述功率方程只有2n个，所以需要事先给定2n个变量的值。根据各个节点的已知量的不同，将节点分

14、成三类：PQ节点、PV 节点、平衡节点。42 功率方程及其迭代解法率方程和变量、节点的分类2、变量的分类(1) 、PQ节点(Load Buses)已知Pi,Qi ，求,ei, fi（ Ui, di, ），负荷节点（或发固定功率的发电机节点），数量最多。(2) 、PV节点(Voltage Control Buses)已知Pi, Ui ，求,Qi, di, ，对电压有严格要求的节点， 如电压中枢点.(3) 、平衡节点（Slack Bus or Voltage Reference bus）已知Ui ， di,，求, Pi, Qi, ，只设一个。42 功率方程及其迭代解法率方程和变量、节点的分类2、变

15、量的分类设置平衡节点的目的 在结果未出来之前，网损是未知的， 至少需要一个节点的功率不能给定，用来平衡全网功率。 电压计算需要参考节点。42 功率方程及其迭代解法率方程和变量、节点的分类3、约束条件实际电力系统运行要求： 电能质量约束条件：Uimin Ui Uimax 电压相角约束条件|dij|=| di - dj | dijmax, 稳定运行的一个重要条件。Pimin Pi PimaxQimin Qi Qimax 有功、无功约束条件42 功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）设有方程组+ a12 x2+ a22 x2+ a32 x2+ a13 x3+ a23

16、 x3+ a33 x3= y1=y2=y3a11 x1a21 x1 a31 x142 功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）可改写为：x 1（y ax ax ）11122133a11x 1 （y ax ax ）22211233a22x 1 （y ax ax ）33311232a3342 功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）迭代格式： 1（y ax（k +1)x( k )ax( k )）11122133a11 1（ya（k +1)（k +1)( k )）xxax22211233a22 1（ya（k +1)（k +1)（k +1

17、)xxax）33311232a3342 功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）求解过程：假设变量（x1, x2, .,xn）的一组初值（）将初值x(代0) ,入x(迭0) ,代格, x式(0,)完成第一次迭代2n1将第一次迭代的结果作为初值，代入迭代公式，进行第二次迭代检查是否满足收敛条件： e| x(k +1)- x(k )|iimax42 功率方程及其迭代解法迭代收敛条件：| max e.(i = 1, 2,| x(k +1) - x(k ), n)ii同一道题可能存在多种迭代格式，有的迭代格式收敛，有的迭代式不收敛。下面讨论收敛条件：nj=1当迭代格式为

18、x(k +1)=+ gi = 1, 2,(k )bx, niijji定理n如果L = max | bij| 1n1inj =1= bij xij=1则迭代格式+ gii = 1,2,L,nxi对任意给定的初值都收敛。42 功率方程及其迭代解法例 已知方程组用高斯-塞德尔求解：（1）将方改写成迭3x1 + 2x1 x2 -1 = 0= 0 += 0.3333x(1)1313x- x x+ 2 = 0= 0 - 2 = -0.6667x(1)22123= 0.4815= -0.7737= 0.5817= -0.8167解（0.01）。x(2)1x(2)213程组( k += -+221)x( k

19、) x( k )x112x(3)31代公式：x(3)13x( k +1)=-2x( k ) x( k )212直到|x(k+1)-x(k)| 3（2）设初值；代= 入0 上述迭代公式= x(0)(0)x1242 功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）*SU&i若式中的a 对于Y 、x 对应U ，y 对应ijijiiii= S *UYU则对于第i个节点BBn+ BPi - jQiY U&Y U&=iiiijj*U ij =1 j i1 P - jQn ii j- YijU&j =1 j iU& i=*U iYii42 功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法（既

20、可解线性，也可解非线性方程）此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其 余为PQ节点，则有： P- jQ22( k )1( k +1)&( k )&=- Y- Y-L- YUU2UU2112332nn*Y22U 2( k )(1) P- jQ33( k )1( k +1)( k +1)&=- YU- Y-L- YUU3U3113223nn*Y33U 3( k )LL42 功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其 余为PQ节点，则有：1 P - jQii(k )(k +1)(k +1)&(k )&=-Y U-L-YU-

21、YUL-Y UUiii -1i-1ii +1i+1i11inn*YiiU i (k )LL P - jQnn(k +1)1(k +1)(k +1)&=-YU-YU-LUnYUnn -1n-1*n11n22YnnU n(k )42 功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其余为PQ节点，则有：计算步骤为：&（i0）&（i0）(i = 1,2,3,L, n)(1)UU1.00先假设一组，一般(2)计算U& i(i = 1,2,3,L, n)；(1)（k +1 e， (i = 1,2,3,L, n)，e为事先&）&( k )-

22、 U(3)检验Uii给定的允许误差；如该式不满足，则回到（2）。42 功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）对各类节点的计算和处理由于节点的类型不同，已知条件和求解对象不同，约束条件不同，在计算过程中的处理不同。（1） PQ节点：按标准迭代式直接迭代；（2） PV节点：已知的式Pp和Up，求解的是Qp，p；按 标准迭代式算出Up (k)， p (k)后，首先修正:U& p( k )然后修正= U pd p( k )p-1n*U*Up1 U 1 + Yj=2j+ Y( k +1)j = p(2)= ImU&I p( k ) = ImU&( k )( k )( k

23、 ) (Y( k )j)Qpipippp42 功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）对各类节点的计算和处理检查无功是否越限，如越限，取限值,此时：PVPQ( k ) Qp QpmaxQpmin( k )( k +1)然后再用Qp计算U p 1 P p- jQp( k )(k )(k+1)(k+1)&(k )&=-YU-L-Y-YL-YU pUUUpp-1p-pp+1p+1*p111pnnYppU p(k )(3)42 功率方程及其迭代解法例题：用G-S计算潮流分布 平衡节点131.17-j4.71U =1.00U3=1.11y13 5.88-j23.5y30y

24、12j0.332解：网络的节点导纳距阵为：7.05 - j28.21- 5.88 + j23.5 5.88 - j23.50-1.17 + j4.71Y11Y12 Y13Y= YYY = - 5.88 + j23.502223 -1.17 + j4.71B21Y31Y33 1.17 - j4.38 Y32PQ节点S2=-0.8-j0.6PU节点P3=0.4,设3= 1.1，0代,入式（1）求(0)2(0)(1)2UUU= 1.00,= 0(0)Q.203 P(0) - jQ(1)2U1 22 =- YU-YU 321123(0)2Y*U22- 0.8 +j0.6 - (-5.88 + j23.

25、5) 1.00 - 0 (1.10)1=5.88 - j23.5 1.00= 0.9680 - j0.0260 = 0.9683 - 1.539 P(1) (1)-jQ(0)1 33U 3=- YU-YU 231132(0)Y*33U 3 0.4 -j0.2 - (-1.17 + j4.71) 1.00 - 0 (0.9683 - 1.539)1=1.17 - j4.38 1.10= 1.1298 + j0.0484 = 1.13102.451修正U 为，再用式（2）计算：(1)d= U (1)3= 1.12.451U 333(1)(1)(1)*= ImU 3 (YU 3+ Y+ YQ(1)U

26、U 2 )33331132= - Im1.1 - 2.451 (1.17 - j4.38) 1.12.451 + 1.1 - 2.451 = 0.0685(-1.17 + j4.71) 1.00 + 1.1 - 2.451 0 0.9683 -1.539然后开始第二次迭代： P(1) - jQ( 2)2U1 22 =- YU-YU 321123(1)Y*22U 2- 0.8 + j0.6- (-5.88 + j23.5) 1.00 - 0 (1.12.451)1=5.88 - j23.5 0.96831.539= 0.9662 - j0.0260 = 0.9665 - 1.541 P(2) (

27、2)-jQ(1)1 33=- YU -YU 3U 231132(1)Y*33U 3 0.4 -j0.0685 - (-1.17 + j4.71) 1.00 - 0 (0.9665 - 1.541)1=1.17 - j4.38 1.1 - 2.451= 1.1011 + j0.0566 = 1.10262.940再修正U 为：(2)d= U = 1.12.940(2)33U 33 (2)(2)(2)*再计算Q(2)= ImU 3(YU 3+ YU + YU 2 )33331132= - Im1.1 - 2.940 (1.17 - j4.38) 1.12.940 +1.1 - 2.940 = 0.

28、0596(-1.17 + j4.71) 1.00 +1.1 - 2.940 0 0.9665 -1.541因此，第二次迭代结束时节点2的电压为U2= 0.9662 - j0.0260 = 0.9665 -1.541节点3的电压相位角为3=2.940,与之对应的节点3的无功功率为Q3=0.0596.三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）原理：设有非线性方程f ( x) = 0求解此方程。先给定解的近似值x(o)，它与真解的误差为Dx(0)，则真解x = x(0)+ Dx(0) , 将满足+ Dx(0) ) = 0f (x(0)按泰勒级数展开，并略去高次项f (x(0) ) + f (x(0)

29、 )Dx(0) = 042 功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）原理：Dxf ( x(0) )f ( x(0) )= -(0)x(1) = x(0) + Dx(0)修正f ( x(1) )Dx= -(1)f ( x(1) )x ( k +2 )x ( k +3 ) e 2x ( k +1 )x ( k )f ( x( k ) ) e1Dx( k )直至或42 功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线初值不当不收敛性方程）42 功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）非线性方程组：f1 ( x1 , x2 ,L, xn）=y1 f2

30、( x1 , x2 ,L, xn）=y2LLfn ( x1 , x2 ,L, xn）=yn42 功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）(0)，x(0)，L，x(0)。设近似解其近似解为x12n与精确解相差Dx1，Dx2，L，Dxn，则有：(0)(0)(0)+ Dx , x+ Dx,L, x+ Dx ）= yf ( x11122nn1(0)(0)(0)+ Dx , x+ Dx,L, x+ Dx ）= yf( x21122nn2LL(0)(0)(0)+ Dx , x+ Dx,L, x+ Dx ）= yf( xn1122nnn42 功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法（常

31、用于解非线性方程）将上式按泰勒级数展开f ( x (0) + Dx , x (0) + Dx ,L, x (0) + Dx ）i1122nn(0)）+ fi+L+ fif(0) , x(0) ,L, xDx+ f= y= f ( xDx+Dxii12n12niixxx12n00042 功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）由此可得(0)）+ f1+ f1Dx+L+ f1(0) , x(0) ,L, xDxDx= yf ( x112n12n1xxx12n000(0)）+ f2+ f2Dx+L+ f2(0) , x(0) ,L, xDxDx= yf ( x212n12n2x

32、xx12n000LL(0)）+ fn+ fnDx+L+ fn(0) , x(0) ,L, xDxDx= yf ( xn12n12nnxxx12n00042 功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）线性方程或修正方程组为 y(0)） f Dx (0) , x(0) ,L, x- f ( xff1112n 1 1 1 xn 1Lx1x20 00 y(0)） f Dx (0) , x(0) ,L, x- f ( xff22212n = 2 2 2 xnM Lx1x2M0 00 MMMOL f ff n Dx n n xnx1x20 n (0)(0)(0) yn - fn ( x

33、1, x2,L, xn）0042 功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）线性方程或修正方程组的矩阵形式为Df= JDxJfi的雅可比矩阵非线性代数方程的牛顿法迭代格式为：Dx(k )= -J (k ) -1 Df (x(k ) )x(k +1)= x+ Dx(k )(k )42 功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）计算步骤：（1） 将xi(0)代入，算出f，J中各元素，代入上式方程组，(0)解出xi；(0)(0)（2） 修正xi(1) xi xi，算出f，J中各元素，代入(1)上式方程组，解出 xi；Df (x(k ) ) e1 e 2 - -

34、 - (收敛判据)Dx(k )直至或注意：xi的初值要选得接近其精确值，否则将不迭代。42 功率方程及其迭代解法一、潮流计算时的修正方程式节点电压用直角坐标表示：U& i= ei + jfi S *Y= G+ jB= U Y B U Bijijij Bn(ei +jfi )(Gij -jBij )(ej -jf j ) = Pi +jQij=1(Gef+ B e)= P + jQ- Bf) - j(Gn)j =1(e+ jfiiijjijjijjijjii4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式e (Gef) +f(Gf+ Be)= Pn- Biijjijjiijjijjij =1f (Gef+ B e)= Qf) - e (Gn- Biijj