水文学-2统计方法

1、水文统计简介 Hydrologic statistics,水文现象具有二重性： 水文现象包含着必然性(Inevitability),水文现象也包含着偶然性(Contingency) ，对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的规律一般称做统计规律。,1. 概述,水文分析计算常用到数理统计的方法, 预测流域内未来的河道来水量（径流量），以对流域或地区水资源开发利用进行合理规划； 弄清未来时期河流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。,这种对未来长期的径流情势（属随机变量）的估计，只能依据其统计规律，利用数理统计的方法进行“概率预估”。 所谓“概率预估”，即分析水文变量出现大过或小于某个数值的可

2、能性为多少。,2.1 概率和频率的基本概念 1)概率（Probability） 为了比较某随机事件出现（或不出现)的可能性大小，必然赋予一种量化的（以数量表示)指标，这个数量指标就是事件的概率。,2. 水文随机变量及其分布参数 Random variables d.,正态分布曲线的特点：,数学上可以证明： 正态分布的密度曲线在 处出现拐点，而且：,概率密度函数表达式：,3.2 皮尔逊 型分布 （Pearson Type III distribution）,式中, () 的伽玛函数, , , a 0：三个参数，与三个统计参数 有一定的关系，其表达式为：,可见，当以上三个参数确定后，P-III型密

3、度函数亦完全确定。,P-III型曲线的特点： 一端有限另一端无限的不对称单峰正偏曲线，很多水文变量均符合P-III型分布。,在水文计算中，一般要求出指定概率 P 所相应的随机变量的取值 xP，即求出的 xP满足下列等式：,按上式计算相当复杂，故实用中，采用标准化变换： 取标准变量(离均系数) ， 即 代入上式，, , a0 以相应的 和 关系式表示，简化后得：,被积函数含有参数 , Cs ，而 包含在 中，制成 对应关系表：,可见，只要已知指定概率 P 和三个统计参数，则可求出相应于P的随机变量的取值 xP,因此，由给定的CS 及P，从P-III型曲线离均系数值表，查出P 值，再依据均值和离差

4、系数，由下式可求出指定概率 P 所相应的随机变量的值 xP,已知: 某地年平均降雨量 =1000 mm, CV =0.5, CS =1.0,假定年降雨量符合P - III型分布 试求：P = 1% 的年降雨量。,【算例】,求解： 由 CS =1.0及P =1%，查附表1得P = 3.02,引入模比系数：,另一种求解方法：,由,由此建立 的 对应数值关系P-III型曲线模比系数 KP 值表,上例的解法： 由 CV = 0.5, CS = 1.0=2 CV ，P = 1%查附表2得:,P-III型曲线模比系数 KP 值表（附表2, P266）,随机变量统计参数在水文计算中起到十分重要的作用，但由于

5、水文随机变量的总体是无限的，这就需要在总体不知道的情况下，靠抽出的样本(观测的系列)去估计总体参数。,4. 水文随机变量系列统计参数的估计 Statistical parameters estimation,估算方法有： 矩法； 适线法； 极大似然法； 权函数法； ,4.1 矩法 Method of Moments,a.样本的算术平均值:,已知样本的随机系列：x1, x2, x3, xn，分别求样本的三个统计参数 。,b.样本标准差:,c.样本的离差系数:,注意：以上三个公式求到的参数是根据样本求参得到，故与相应的总体的参数是不相等的。,d. 样本的偏态系数:,根据统计学的证明可知： 由矩法求

6、到的样本平均值 为总体平均数的无偏估计量，然而CV , CS 则不是总体相应参数的无偏估计量，称为有偏估计量。故需要对参数CV , CS 进行修正，使其变成无偏估计量。,无偏估计量：,由统计学的定义，若 是未知数 的估计量，而且 ，则称 为 的无偏估计量。,(当 n 较大时),求 Cv , Cs 的不偏估计量的修正计算式：,用上述的无偏估算公式计算的很多同容量的样本的统计参值的均值，可望等于总体的同名参数。,4.2 现行水文频率计算方法配线法 (适线法) Curve fitting method,是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求出与经验点据拟合最优的频率曲线参数，这是一种较好的参

7、数估计方法，是我国估计某些水文变量（如径流量、降雨量等）频率曲线统计参数的主要方法。,有关的概念介绍：,1) 经验频率及经验频率曲线：,【例】已知某地年降雨量的观测资料(n=12)，并由大 到小排列，按 计算频率。 式中，P：大于或等于某一变量值 x 的经验频率； m：x 由大到小排列的序号，即在n 次观测资料中出现大于或等于某一值 x 的次数。,经验频率计算表：,n =12,其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。,由此得到经验频率分布曲线:,注意：样本的每一项的经验频率用公式P=m/n进

8、行计算，当m=n时，P=100%，说明样本的最末项为总体的最小值，这是不合理的。故必须进行修正，中国常采用下面的公式进行计算：,经验频率的计算公式：,这样，当m=n=12 时，,所谓的重现期是指某一随机事件在很长时期内平均多长时间出现一次（水文学中常称为“多少年一遇”）。即在许多试验中，某一随机事件重复出现的时间间隔的平均数，即平均的重现间隔期。 在水文分析中，重现期可以等效地替代频率。,2) 重现期 Recurrence interval/return period,a.当研究洪水或暴雨问题 水文上关心的是大于等于某洪水或某暴雨量发生的频率，因此，重现期指在很长时期N年内，出现大于等于某水文

9、变量XP 事件的平均重现的间隔期T ：,式中， T：重现期，以年计； P：大于等于某水文变量 XP 事件的频率，,频率P与重现期T关系的两种表示法：,NP为N年内大于等于XP 事件出现的次数。,表中12年中年降雨量大于等于990mm的次数为6次，即等于NP=1250%=6，可知该事件的重现期为： T=12/6=2年 可按下式计算重现期：,【例】,水文上关心的是小于xP的事件出现的频率及相应的重现期。 重现期指在很长的时期内(N年)出现小于某水文变量xP事件的平均重现间隔期。若水文变量大于等于xP的频率为P ，则小于xP事件的频率应为：1-P，在N年内小于xP事件出现的次数应为N(1-P)，因此

10、其重现期为：,b. 当研究枯水问题,表中年降雨量大于等于850mm的次数为11次，即等于 ，则小于850mm的降雨次数为1次，即等于 可知该事件的重现期为： T=12/1=12 (年) 亦可按下式计算：,(年),【例】,具体求解步骤： a 根据实测样本资料进行点绘纵坐标为随机变量X=x，横坐标为对应的经验频率P(X x)，经验频率计算公式为：,b 假定一组参数 ，可选用矩法的估值作为 的初始值,一般不求CS，假定 ，K为比例系数，可选 K1.5, 2, 2.5, 3.,3) 适线法（配线法）的步骤,已知：经验频率分布， 求：总体分布参数,1,2,d 根据选定的参数 ，由P-III型曲线离均系数

11、值表或P-III型曲线模比系数KP 值表，求出 xP P 的理论频率曲线，将其绘在有经验点据的同一张图上，看它们的配合好坏，若不理想，则修改有关的参数(主要调整CV 及K=CS /CV )，重复以上的步骤，重新配线；,c 选定线型，对于水文的随机变量，一般选P-III型;,e 根据配合的情况，选出一配合最佳的频率曲线作为采用曲线，则相应的参数作为总体参数的估值。, 适线法的实质是通过样本经验分布来推求总体分布，适线法的关键在于“最佳配合”的判别。,【水文学习题】,11在水文频率计算中，我国一般选配皮尔逊型曲线，这是因为 A、已经从理论上证明它符合水文统计规律 B、已支撑该线型的 值表供查用，使用方便 C、已制成该线型的KP值表供查用，使用方便 D、经验表明该线型能与我国大多数地区水文变量的频率分布配合良好,D,12甲乙两河，通过实测年径流量资料的分析计算，获得各自的年平均径流值 和离差系数如下： 甲河： Q甲100 m3/s， CV甲0.42； 乙河： Q乙500 m3/s ， CV乙0.25， 两者比较可知： A、甲河水资源丰富，径流量年际变化大 B、甲河水资源丰富，径流量年际变化小 C、乙河水资源丰富，径流量年际变化大 D、乙河水资源丰富，径流量年