数学物理方法第1讲

1、数学物理方法,2010. 3. 4,主要内容,第一章 数学物理定解问题 1.1 基本方程的建立 1.2 定解条件 1.3 定解问题的提法 1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简,第二章 分离变量法 2.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法 2.2 二维Laplace方程的定解问题 2.3 非齐次方程的解法 2.4 非齐次边界条件的处理,主要内容,第三章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 3.1 二阶常微分方程的级数解法 3.2 Legendre（勒让德）方程的级数解 3.3 Bessel（贝塞尔）方程的级数解 3.4 Sturm-Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值 问题,主要内容,

2、第四章 Bessel函数的性质及其应用 4.1 Bessel方程的引出 4.2 Bessel函数的性质 4.3 Bessel函数的应用 4.4 修正Bessel函数 4.5 可化为Bessel方程的方程,主要内容,第五章 Legendre 多项式 5.1 Legendre 方程及Legendre 多项 式的引出 5.2 Legendre 多项式的性质 5.3 Legendre多项式的应用 5.4 关联Legendre 多项式及其应用,主要内容,第六章 行波法与积分变换法 6.1 一维波动方程的DAlember(达朗贝尔) 公式 6.2 三维波动方程的Poisson公式 6.3 Fourier积

3、分变换法求定解问题 6.4 Laplace变换法解定解问题,主要内容,第七章 Green函数法 7.1 引言 7.2 Poisson方程的边值问题 7.3 Green函数的一般求法 7.4 用电像法求某些特殊区域的 Dirichlet-Green函数,主要内容,主要内容,三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数,分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法,波动方程、 热传导、 拉普拉斯方程,贝赛尔函数、 勒让德函数,回忆高数有关向量场内容,哈密顿算子,设向量场 A = P ( x, y, z ) i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z ) k,高斯公式,斯托克

4、斯公式,建立数学物理方程就是将物理规律“翻译”成数学,建模方法,(1) 微元法:,语言。,析邻近部分与这一小部分的相互作用，,分,物理规律,通过对表达式的化简、整理，,足的数学物理方程；,(2) 规律法:,组）用数学物理方程表示出来；,根据,用数学表达式来表示这个作用，,得到问题所满,在整个系统中分出一个小部分，,通常有三种方法：,就是将物理规律（比如Maxwell方程,（3）统计法:,满足的（广义）数学物理方程，,常用于经济、,社会科学等领域。,就是通过统计规律建立所研究问题,几个基本的数学物理方程,的倾角都很小，,一、均匀弦的微小横振动,设有一根均匀柔软的细弦，,平衡时沿直线拉紧，,且,除

5、受不随时间变化的张力及弦本身的重力外，,不受,其它外力的作用。,考虑此弦作微小横振动的规律。,所谓“横振动”是指全部运动出现在一个平面内，,且,弦上的点沿垂直于 x 轴的方向运动（如图）。,所谓“微小”是指运动的幅度及弦在任意位置处切线,略不计。,以致它们的高于一次方的项可以忽,速度变化很快，即,张力较大时弦振动的,因此可忽略 g，得,方程,称为一维波动方程。,如果在振动过程中，弦上还另受一个与弦的振动方,向平行的外力，,且假定在时刻 t 弦上 x 点处的外力,密度为 F(x, t),那么,经类似的讨论可得,x 处所受的外力。,自由项,称上方程为一维强迫振动方程。,一维波动方程还可用于描述高频

6、交流电传输过程中,电流和电压的变化规律（高频传输线方程）。,由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的,二、热传导方程,位置的变化。,物体内温度的分布。,所以，解决热传导问题都要归结为求,应用微元法，,在物体内任取闭曲面S，,所包围的体积,为V。,设 t 时刻物体内点M(x, y, z) 处温度为u(x, y, z, t) ,曲面元素,的法向量为,（由内指向外）。,据热学,中的 Fourier 实验定律，有,其中 k 是热传导系数。,即,负号是由于热量的流向和温度,梯度的正向，,的方向相反而产生的。,二、热传导方程,据热学中的 Fourier 实验定律，有,温度从,变到,所需热量为,热量守恒，因此,其中c 是物体的比热，r 是其密度。,因此,即,而,且,于是,方程,称为三维热传导方程。,若物体内有热源，其强度为F(x, y, z, t),则对应的热,传导方程为,一维和二维热传导方程分别为,恒温场内温度