自动控制原理自控原理0201

1、“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型控制系统微分方程的建立非线性微分方程的线性化拉普拉斯变换传递函数 动态结构图系统的脉冲响应函数典型反馈系统的几种传递函数12018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型关于系统数学模型的几个基本概念系统 相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。静态系统(static systems)/稳态系统 当前输出仅由当前的输入所决定的系统。(静态方程或方程组)动态系统(dynamic systems) 当前输出不仅由当前输入决定，而且还受到过去输入的影响的系统(系统内部有储能或/和耗能元件，所以输出对输

2、入表现出一定的运动惯性)。本课程研究的主要对象。 (微分方程或微分方程组)数学模型(mathematical models) 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。描述系统运动规律的数学表达式。分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。一旦系统的数学模型被推导出来，就可以采用各种分析方法和计算机工具对系统进行分析和综合。22018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型 建模modeling建立系统数学模型的过程，即用数学模型来表示系统的输入与输出之间的因果关系的过程。也是寻求系统数学模型的过程。 建立数学模型的方法分为解析(anal

3、ytical)法和实验(experimental)法解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号，单位脉冲信号，正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识(identify)出系统的数学模型。32018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型线性定常系统(linear time-invariant systems)系统参数是集中、定常(时不变)、描述系统的动力学模型是线性的(方程中各变量之间是代数相加关系，包含变量的每一项的系数均与其它变量无关)，这种系统就是

4、线性定常系统。对线性定常系统的分析可以采用叠加原理。非线性系统(nonlinear systems)时变系统(time-variant systems)线性定常动态系统是经典控制理论研究的主要对象。42018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型数学模型形式1. 输人一输出描述(外部描述)把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来。例如，微分方程式(或差分方程)、传递函数、脉冲过渡函数(脉冲响应函数)、频率特性等。2. 状态变量描述(内部描述)不仅可以描述系统的输入、输出之间的关系，而且还可以描述 系统的内部特性，特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变 系

5、统、线性系统和随机控制系统，等等。包括状态方程和输出方程。3. 图形化描述：方框(块)图模型(动态结构图)、信号流图用比较直观的方框图来进行描述，每个方块表示组成系统的一个具体单元，有向线段表示信号的流向。信号流图与方框图本质上相同。52018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型从另一角度来分，系统模型可分为：微分方程(时域)传递函数(复域/频域)同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。本课程中所采用的数学模型以微分方程、传递函数及方框图为主。状态空间模型是现代控制理论的内容。本章先介绍建立微分

6、方程的一般方法和步骤，然后介绍传递函数、脉冲过渡函数、系统的动态结构图。62018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型2.1 控制系统微分方程的建立基本步骤：1)分析各元件工作原理,确定各变量之间关系，确定系统和各元件的输入、输出变量；2)建立输入、输出量的动态联系：即从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理或化学规律，列出各变量之间的量化关系(一般为一个一阶微分方程组)；3)消去中间变量，得到整个系统的输入、输出变量之间的微分方程。4)标准化微分方程(包括降阶、线性化等)72018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型820

7、18年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型92018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型F(t)ky(t)Mf102018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型比较上述两个具有不同物理背景的系统，可以看出，二者具有形式相同的数学模型。112018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型2.2非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。122018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求

8、解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化确有必要。 对弱非线性的线性化如图(a)，当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对(b)和(c)，当死区或间隙很小时(相对于输入信号)，同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。图(d)所示的非线性为强非线性，只能用第七章中的方法进行分析、处理。132018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型 平衡位置附近的小偏差线性化若输入和输出关系为如下所示的非线性:142018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型152018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型162

9、018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型传递函数预备知识:拉普拉斯变换(Laplace Transform)对于利用微分方程表达的数学模型形式，手工求解是很麻烦的。 利用拉普拉斯变换，可将微分方程转换为代数方程，使求解大为简化。另外，在此基础上，可以进一步得到系统的传递函数，即下面将要介 绍的描述系统输入输出特性的数学模型，也是古典控制理论的基本工 具。通常，利用拉氏变换求解系统时域响应的步骤如下：(1)(2)(3)(4)获得系统的常微分方程；获得该常微分方程的拉普拉斯变换； 求得系统输出变量的拉普拉斯变换； 求系统输出变量的拉氏逆变换。下面对拉氏变换作一简单介绍

10、。172018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型一、拉普拉斯变换定义182018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型192018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型二、拉普拉斯变换对照表在掌握了求拉普拉斯变换的方法以后，并不需要每次都去推导所求函数的拉普拉斯变换，通常可以利用拉普拉斯变换表得到给定函数的拉氏 变换。常用函数的拉普拉斯变换对照表参见：董景新，赵长德，熊沈蜀，郭美凤. 控制工程基础. 清华大学，2003.8 (第二版)的附录A。下面是一些常用的、必须牢记的Laplace变换对。202018年10月5

11、日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型212018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型三、拉氏变换的性质222018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型232018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型242018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型252018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型262018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型四、拉氏逆变换(反变换)272018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控

12、制系统的数学模型五、用拉氏变换解线性定常微分方程282018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型书后习题2-12-4。292018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型2.3 传递函数(Transfer function)一、传递函数的概念及定义在控制理论中，为了描述线性定常系统的输入输出关系，最常用的函数是所谓的传递函数。传递函数的概念只适用于线性系统。线性定常系统的传递函数定义为：系统初始条件为零时(输入、输出量自身及其各阶导数在初始时刻的值均为零，即系统在初始时刻是静止的)，系统输出量的拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。G (s )

13、= Y (s )X(s)Y(s)X (s )302018年10月5日星期五G(s)“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型312018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型二、微分方程及传递函数之间一一对应322018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章自动控制系统的数学模型332018年10月5日星期五“自动控制原理”第二章 自动控制系统的数学模型三、关于传递函数的几点说明：1) 传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；2) 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关。传递函数表达了系统本身的特性。它用系统参数来表示系统输入与输出之间 关系。它不能表明系统的物理结构，许多物理性质不同的系统，可以有相 同的传递函数。这是用黑箱法对系统进行描述的一种方式。也称作I/O描述、外部描述、等价描述。3) 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统 来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章。）4) 传递函数是关于复变量s的有理真分式，即它的分子、分母的阶次满足： nm，因为任何物理系统的能量有限，内部存在摩擦，具有惯性。5) 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨 迹中详述。6) 传递函数