线性代数课件：2-3逆矩阵

1、2.3.1 逆矩阵,2.3 逆矩阵,上一节我们定义了矩阵的加法、减法和乘法,那么对于矩阵是否也能定义除法呢?,在代数运算中,如果数a0,其倒数a-1可由等式,，,，,来刻画.,矩阵的乘法逆元如何刻画?,，,，,定义2.3.1 设A是n阶方阵,若有一个n阶方阵B,使得,AB=BA=E （2.3.1）,则B称为A的逆矩阵,A称为可逆矩阵,或非奇异矩阵.,注 由定义可知,可逆矩阵一定是方阵, 并且它的逆矩阵亦为同阶方阵;定义中A与B的地位是等同的,所以B也是可逆矩阵, 并且A是B的逆矩阵.,，,，,定理2.3.1 若A是一个n阶可逆矩阵, 则它的逆矩阵是唯一的.,证 设A有两个逆矩阵B与C,即,AB

2、=BA=E, AC=CA=E.,于是,所以逆矩阵是唯一的. 证毕.,由于可逆矩阵的逆矩阵是唯一的,我们用A-1表示A的逆矩阵,，,，,下面研究在什么条件下方阵是可逆的,又如果A可逆,怎样求A-1?,定义2.3.2 设A=(aij)nn,Aij为的行列式|A|中元素aij的代数余子式,称,为矩阵A的伴随矩阵.,，,，,设A为n阶矩阵,由定理1.3.1和定理1.3.2,同理 A*A=|A|E,，,，,于是得到方阵A与它的伴随矩阵A*之间的重要关系式,（2.3.2）,，,，,定理 2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|0,且A可逆时,有,（2.3.3）,其中A*为A的伴随矩阵.,证 必要性

3、 因为A可逆,于是A-1存在,且,，,，,这样 |A|A-1|=|E|=1,因此 |A| O.,充分性 当|A| O时,由(2.3.2)得,于是矩阵A可逆,且,证毕.,，,，,求二阶方阵,的逆矩阵.,，,，,例2.3.1 求方阵,的逆矩阵.,，,，,解 因为,所以A可逆.由于,，,，,则,故,，,，,推论 设A与B都是n阶方阵,若AB=E, 则A, B都可逆,并且 A-1=B, B-1=A.,证 因为AB=E,所以|AB|=E=1,从而|A|0,|B|0.因此A,B都可逆.,由定理2.3.2,A-1,B-1存在.,在AB=E两端左乘A-1,得 A-1=B. 同理B-1 =A.,，,，,这个推论

4、指出,对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B,使得AB=E,则A,B可逆,且互为逆矩阵.在判断矩阵可逆时,该推论使用起来非常方便.,，,，,例2.3.2 设方阵A满足A2+3A-2E=O,证明A+E可逆，并求(A+E)-1.,，,根据定理2.3.2的推论,矩阵A+E可逆,且,，,证 由A2+3A-2E=O,有,即,于是,性质1 若A可逆,则A-1可逆,且(A-1)-1=A.,性质2 若n阶矩阵A,B都可逆, 则AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1.,性质2可以推广到多个可逆矩阵的情形.,设A1,A2,Am均为n阶可逆矩阵,则A1A2Am也可逆,并且,性质3 若A可逆, 则|A-1|=|A|-1.,

5、证 因为AA-1=E，所以|A|A-1|=1.于是 |A-1|=|A|-1.,性质4 若A可逆, 则(AT) -1=(A-1)T.,证 因为AT(A-1)T= (A-1A)T =ET=E,由定理2.3.2的推论,AT可逆,并且(AT) -1=(A-1)T.,性质5 若A可逆,数k0,则,性质6 若A可逆,且AB=O,则B=O.,性质7 若A可逆,且AB=AC,则B=C.,在矩阵乘法中,若AB=O,则一般不能推出A或B中至少有一个为零矩阵.但性质6说明,若AB=O,当A、B中有一个为可逆矩阵时,另一个矩阵必为零矩阵.性质7说明,对于可逆矩阵而言,矩阵乘法消去律成立.,，,，,例2.3.3 设A为

6、n阶可逆矩阵,证明:A的伴随矩阵A*可逆,并且,证 由公式(2.3.2) AA*=A*A=|A|E.因为矩阵A可逆,所以A*=|A|A-1.又,可逆,故A*可逆,且,，,，,利用矩阵的逆,可以给出第一章中克莱姆法则的另一种证法.由矩阵乘法,非齐次线性方程组（1.4.1）可写为,AX=b (2.3.4),其中,A=(aij)nn为线性方程组的系数矩阵,当|A|=D0时,矩阵A可逆,用A-1左乘（2.3.4）两边,得,即,（2.3.5）,这样就得到方程组 ( 1.4.1 ) 的解,并且这个解是唯一的.,我们还可以把上面的方法推广到一般形式的矩阵方程,AX=C,XA=C,AXB=C,其中A、B均为可

7、逆矩阵.则上述矩阵方程分别有唯一解,X=A-1C， X=CA-1， X=A-1CB-1.,例2.3.4解线性方程组,，,，,AX=b，,解 方程组的矩阵形式为,其中,由于,从而A可逆,应用（2.3.5）式,有,于是方程组的解为x=-2,y=3,z=1.,例2.3.4 解矩阵方程2X=AX+B,其中,解 由 2X=AX+B,得 (2E-A)X=B.因为,可逆,故,所以矩阵2E-A,2.3.2 正交矩阵,定义2.3.3 设A为实数域R上的方阵,如果它满足AAT=E,则称A为正交矩阵.,例如,均为正交矩阵.,正交矩阵的等价刻画：,定理2.3.3 实数域R上的方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A-1=AT.,正交矩阵的性质：,(1) 若A为正交矩阵,则|A|=1或|A|=-1；,(2) 正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵；,(3) 若A、B是同阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵;,(4) 正交矩阵的每行(列)元素的平方和等于1, 不同两行(列)的对应元素乘积之和等于0.,，,，,证 这里仅证性质(3)和(4).,（3）由于A,B是正交矩阵,所以AAT=E, BBT=E，从而,即AB为正交矩阵.,，,，,根据矩阵乘法与矩阵相等的定义,(4)设A=(aij)n正交矩阵,则,同理可证