第2章_矩阵的初等变换与线性方程组.ppt

1、第二章 矩阵的初等变换 与线性方程组,矩阵的初等变换,初等矩阵,矩阵的秩,线性方程组的求解,第一节 矩阵的初等变换,矩阵的初等变换,矩阵的等价标准形,解,将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程进行对比。,(1) 把方程组中第二个方程加上第一个方程的-2 倍，把第三个方程加上第一个方程的-1倍，得：,(2) 交换方程组中第二与第三个方程的位置，得,(3) 把方程组的第三个方程加上第二个方程的5倍，得,(4) 把方程组中的第三个方程两边同乘-1/19，得,(1),2.方程组进行了如下三种基本变换：,1. 方程组(1)的特点：自上而下看，未知量个数依 次减少，成为阶梯形方程组。,3. 由于这三种变换

2、都是可逆的，所以变换前后的 方程组是同解的。这三种变换称为同解变换。,说明：,(3) 把一个方程的常数倍加到另一个方程上去。,(2) 用一个非零常数乘某一个方程；,(1) 交换两个方程的位置；,由,得方程组的解为:,说明：,此题的求解过程分为两步：,(2) 回代求出方程组的解。,按顺序消元，使方程组变为同解的阶梯形方 程组；,称这种求解线性方程组的方法为高斯消元法。,对方程组的变换可转化为对其增广矩阵的行作相应的变换。注意不要打乱系数的排列顺序。,逐步向上求解,以下三种变换称为矩阵的初等行变换：,定义2.1,(1) 交换矩阵两行。,(2) 以非零数 k 乘矩阵某一行的所有元素。,(3) 把矩阵

3、某一行元素的 k 倍加到另一行对应 的元素上去。,(第 j 行的k 倍加到第i行上,记作 ),(第 i 行乘数 k , 记作 ),(对调 i, j 两行，记作 ),把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列变换。初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。,说明：,2. 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同 一类型的初等变换：,的逆变换是,的逆变换是,的逆变换是,3. 矩阵A经若干次初等变换化为B，记为,此时称A与B等价，记为,行等价。记为,列等价。记为,显然，等价关系满足：自反性，对称性，传递性。,例1,利用初等变换将,化为阶梯形矩阵。,解,=,即为行阶梯形矩阵。,特点：,(1) 可划出一条阶梯

4、线，线的下方全为零；,(2) 每个台阶只有一行，,称为行最简形矩阵。,特点：,在具备行阶梯形矩阵特点的同时，非零行的非零首元为1，且其所在列的其他元素全为0。,则称F为A的等价标准形。,定义2.3,若 矩阵A可经若干次初等变换化为形如,的矩阵，即,说明：,等价标准形的特点是其左上角为单位阵，其 余元素全为0。,2. 等价标准形由m,n,r三个数唯一完全确定，其 中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。,定理,任意一个矩阵总可以经有限次初等变换(行变换和列变换) 把它化为等价标准形。,例2 用初等变换化矩阵,为行最简形矩阵和标准形矩阵.,解,行最简形矩阵,标准形矩阵,例3 设,问：矩阵A 和B是否等

5、价？,先求 A、B的标准形,解,即,即,故,小 结,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同,3.矩阵等价的性质：,4. 阶梯形 最简形 标准形,练习,化矩阵 为行阶梯形,行最简形，标准形,作业：73页A-2,第二节 初等矩阵,初等矩阵的概念,初等矩阵与初等变换的关系,由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵,三种初等变换对应着三种初等矩阵：,定义2.4,称为初等矩阵。,(1) 交换矩阵两行。,(2) 以非零数 k 乘矩阵某一行的所有元素。,(3) 把矩阵某一行元素的 k 倍加到另一行对应 的元素上去。,(1) 交换 E 中第 i，j 两行(列) ，得到矩阵：,(2)

6、以非零数 k 乘E的第 i 行(列)，得到矩阵：,(3) 把E的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，得到矩阵：,(1) 初等矩阵的行列式都不为零，故初等矩阵都可,(2) 初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵。,注意：,逆，且各自的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵。,两者用不同语言来描述矩阵之间的同一种关系,如：,对A施行一次初等列变换，相当于用一个相应的,变换, 相当于用一个相应的m 阶初等矩阵左乘A；,定理2.2,n 阶初等矩阵右乘A。,如：,表示交换矩阵A的i，j两行。,设初等矩阵,解,例1,可逆矩阵经初等变换后仍为可逆矩阵。,设矩阵B是通过对A施行一次初等行变换而得,到的，即,或,由于初等矩阵可逆

7、，若A可逆，则B可逆。,定理2.3,证,或,定理2.4,由于任意矩阵A都可经有限次初等行变换化为,即一定存在n阶初等矩阵,行最简形，,使得,。若可逆,则F 可逆，,从而F必为单位矩阵,即,充分性,若A通过一系列初等行变换可化为单位矩阵E,于是A可逆,推论,由定理2.4，有,即,同理,初等变换法,用初等变换法求逆矩阵时，不必先考虑逆矩阵是否存在。若变换过程中，与A等价的矩阵中有零行，就可断定矩阵A不可逆。,说明：,解,利用矩阵的初等行变换解矩阵方程 AX=B,利用矩阵的初等列变换解矩阵方程 XC=D,例3,解,定理2.5,2. 初等变换法求逆矩阵,小 结,3. 初等行变换解矩阵方程 AX=B,4

8、. 初等列变换解矩阵方程 XC=D,上述四个等式中哪个成立？,作业：73页A-3.4,第二节 初等矩阵,初等矩阵的概念,初等矩阵与初等变换的关系,由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵,三种初等变换对应着三种初等矩阵：,定义2.4,称为初等矩阵。,(1) 交换矩阵两行。,(2) 以非零数 k 乘矩阵某一行的所有元素。,(3) 把矩阵某一行元素的 k 倍加到另一行对应 的元素上去。,(1) 交换 E 中第 i，j 两行(列) ，得到矩阵：,(2) 以非零数 k 乘E的第 i 行(列)，得到矩阵：,(3) 把E的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，得到矩阵：,(1) 初等矩阵的行列式都不为零，

9、故初等矩阵都可,(2) 初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵。,注意：,逆，且各自的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵。,两者用不同语言来描述矩阵之间的同一种关系,如：,对A施行一次初等列变换，相当于用一个相应的,变换, 相当于用一个相应的m 阶初等矩阵左乘A；,定理2.2,n 阶初等矩阵右乘A。,如：,表示交换矩阵A的i，j两行。,设初等矩阵,解,例1,可逆矩阵经初等变换后仍为可逆矩阵。,设矩阵B是通过对A施行一次初等行变换而得,到的，即,或,由于初等矩阵可逆，若A可逆，则B可逆。,定理2.3,证,或,定理2.4,由于任意矩阵A都可经有限次初等行变换化为,即一定存在n阶初等矩阵,行最简形，,使得,。若可逆

10、,则F 可逆，,从而F必为单位矩阵,即,充分性,若A通过一系列初等行变换可化为单位矩阵E,于是A可逆,推论,由定理2.4，有,即,同理,初等变换法,用初等变换法求逆矩阵时，不必先考虑逆矩阵是否存在。若变换过程中，与A等价的矩阵中有零行，就可断定矩阵A不可逆。,说明：,解,利用矩阵的初等行变换解矩阵方程 AX=B,利用矩阵的初等列变换解矩阵方程 XC=D,例3,解,定理2.5,2. 初等变换法求逆矩阵,小 结,3. 初等行变换解矩阵方程 AX=B,4. 初等列变换解矩阵方程 XC=D,上述四个等式中哪个成立？,作业：73页A-3.4,第三节 矩阵的秩,矩阵秩的概念,矩阵秩的计算,定义2.5,位于

11、这些行列的交叉点上的,个元素按原来的次序组成的k 阶行列式, 称,为矩阵A 的一个k 阶子式。,说明：,特别地,n阶方阵A只有一个n阶子式，即,如,列构成的三阶子式为：,比如选定1，2，3行和1，2，4,定义2.6,如果矩阵A中有一个 r 阶子式,称为矩阵A的秩，记作,或,即：,如,注意：,(1) 规定零矩阵的秩为零。,(2) 秩为r 的矩阵可能有等于零的r，r -1阶子式。,1用矩阵秩的定义求矩阵的秩,方法：,例1,解,计算A的3阶子式，,例2,解,说明：,行阶梯形矩阵非零行的行数就是矩阵的秩,2用初等变换求矩阵的秩,，则,矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,定理2.6,即若,说明：,(1) 任

12、意矩阵经初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵非零行的行数即为原矩阵的秩。,(2) 矩阵的行阶梯形不唯一，但阶梯形中非零行的行数唯一，即矩阵的秩唯一，由此，矩阵的标准形唯一。,设A是 矩阵，B是m 阶满秩矩阵，,C是n阶满秩矩阵，则必有：,证 因为B阶m满秩矩阵，所以矩阵B可逆,从而B可分解为有限个初等矩阵的乘积，,由定理2.6，,同理可证:,推论：,可以看做对A施行有限次初等行变换，,利用初等行变换化矩阵B为行阶梯形矩阵：,解,例4,解,分析：,例5,解,则这个子式便是A的一个最高阶非零子式.,例5 设A =,试讨论 x 为何值时,有R(A)=1 ?,解,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概

13、念,2. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换化为行阶梯形，行阶梯形矩阵非零行的行数就是矩阵的秩),(寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,小 结,作业：74页A-5.6,第四节 线性方程组的求解,线性方程组的基本概念,线性方程组解的判别,(1),说明：,若线性方程组有解，则称它是相容的；否则称为不相容的。,(5),对方程组的增广矩阵施行初等行变换,解,则(2)的同解方程组为：,“回代”求出解：,此方程组有无穷多组解。,令 ，则方程组,的解为：,(C为任意常数),例2 讨论方程组,的解。,对方程组的增广矩阵施行初等行变换,解,原方程组的同解方程组为：,最后一个方程为矛盾方程，说明方

14、程组无解，即原方程组是不相容的。,方程组的解的情况可以归结为：有惟一解，有无穷多解和无解三种情况。,问题：,定理,n元线性方程组,(1) 无解的充要条件是,(2) 有惟一解的充要条件是,(3) 有无限多解的充要条件是,证,增广矩阵B经初等行变换可化为行最简形：,前n列由方程组的系数矩阵A变换得到。,情形1,，即 时，方程组无解；,情形2,且r n，即 时，,对应的方程组为：,的自由变量。,可任意取值，称为方程组(*),(*)的一个解，也就是方程组 的一个解，,从而方程组有无穷多组解。,(个数为n-r),令自由未知量：,方程组的一般解为：,( 为任意常数 ),情形3,且r = n，即 时，,对应

15、的方程组为：,即原方程组有惟一确定的一组解。,设齐次线性方程组,的系数矩阵为A，,推论,方程组有惟一解，即零解；,方程组有无穷多解，即有非零解。,例3 设线性方程组,为何值时方程组有解？有解时，求出所有的解,方程组可变形为：,解,对其系数矩阵施行初等行变换：,当,时，,，方程组有无穷多解，,对应的方程组为：,即,( 为任意常数 ),当,时，,，方程组有无穷多解，,对应的方程组为：,( 为任意常数 ),1、对于含参数的矩阵作初等变换时，若需要对某些因式作变换，应注意因式可以等于零，必须对因式等于零的情况另作讨论.,2、求解一般线性方程组可分如以下几步进行： (1) 写出方程组的增广矩阵。 (2) 将方程组的增广矩阵经过初等行变换，化 为行阶梯形，判断方程组是否有解。若无 解，停止；否则进行下一步。,注意：,(4) 把第(3)步所得每个方程改写为用自由变量 表示基本变量的形式，即得方程组的一般 解。,(3) 继续对增广矩阵施行初等