1.3.1单调性与最大（小）值

1、1.3.1 单调性与最大（小）值,第一课时 函数单调性的概念,问题提出,德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：,函数的单调性,思考1:当时间间隔t逐渐增 大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待 刚学过的知识? 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？,画出下列函数的图象，观察其变化规律：,1、从左至右图象上升还是下降 _? 2、在区间 _上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ ,f(x) = x,(-,+),增大,上升,1、在区间 _ 上，f(x

2、)的值随着x的增大而 _ 2、 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _,f(x) = x2,(-,0,(0,+),增大,减小,画出下列函数的图象，观察其变化规律：,图象在y轴左侧”下降“,图象在y轴右侧”上升“,思考：,如图为函数f(X)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1x2 时，f(x1) 与f(x2)的大小关系如何？,思考:我们把具有上述特点的函数称为增函数， 那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”？,对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)则称函数f(x)在区间D上

3、是增函数.,考察下列两个函数:,二者有何共同特征？,f(x) = -x,f(x) = x2(x0),思考：,如图为函数f(X)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1x2 时，f(x1) 与f(x2)的大小关系如何？,思考:我们把具有上述特点的函数称为减函数， 那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是减函数”？,对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1 f(x2)则称函数f(x)在区间D上是减函数.,一、函数单调性定义,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时

4、，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,1增函数,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,2减函数,如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.,二函数的单调性定义,（1）对于某函数，若在区间(0，+)上，当x1时， y1；当 x2时，y3 ，能否说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?,问题：,思考,（2）若x1，2，3，4，时，相应地 y1，3，4，6，

5、能否说在区间(0，+)上，y 随x 的增大而增大呢？,（3）若有n个正数x1 x2x3 xn，它们的函数值满足: y1 y2y3 yn能否就说在区间(0，+) 上y随着x的增大，而增大呢？,若x取无数个呢?,思考 :一般地，若函数 在区间A、B上是单调函数，那么 在区间 上是单调函数吗？,注意：,1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；,2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.,在 增函数 在 减函数,在 增函数 在 减函数,在(-,+)是减函数,在(-,0)和(0,+)是减函数,在(-,+)是增函数,在(-,0)和

6、(0,+)是增函数,例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？,解：函数y=f(x)的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中y=f(x)在区间-5,-2), 1,3)是减函数， 在区间-2,1), 3,5 上是增函数。,思考：观察反比例函数的图象 1 这个函数的定义域是什么？ 2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论,证明：函数f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数。,取值,定号,变形,作差,判断,三判断函数单调性的方法步骤,1 任取x1，x2D，且x1x2； 2 作差f(x1)f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。,证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则,由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0,又k0,于是,所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.,取值,定号,结论,归纳小结:,函数的