保险精算学3-生命表

1、第三章 生命表,英汉单词对照,死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表,Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables,第一节 生命表的概念和种类,一、定义 生命表又称为死亡表、寿命表、死亡率表，它是根据已往一定时期内，各种年龄的死亡统计资料编制成的、由每个年龄死亡率所组成的汇总表，是一种描述寿命分布的工具。 1662年，Jone Graunt根据伦敦瘟疫时期

2、的洗礼和死亡名单，写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。 1995年，我国编制了第一张寿险行业经验生命表，即“中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”，实现了从无到有的飞跃。,二、特点与构成,1、特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法） 2、构成 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率） 主要项目：一般有

3、5列。 X列：按周岁计算的各年龄。 qx列：各年龄间的死亡概率。 lx列：到x岁尚生存的人数。 dx列：各年龄间的死亡人数。 列：x岁人的余命的平均值。,三、用途和分类,1、用途： 生命表是过去经验的总结，而在寿险中，保险金的给付、责任准备金的提取、保单现金价值的估计、保单红利的分配都与被保险人的死亡率息息相关，因此反映了被保险人生命规律的生命表对于寿险经验有着非常重要的作用。,2、分类,按照计算死亡率的资料来源不同： 国民生命表：源于人口普查资料，反映一个特定时期内全国人口的寿命分布情况。 经验生命表：源于寿险公司的承保经验，反映被保险人群的寿命分布情况。 经验生命表的分类 按应用范围不同：

4、 寿险生命表vs年金生命表 按性别不同： 男性生命表vs女性生命表 按统计范围不同 检选生命表vs终极生命表vs综合生命表,四、各类生命表之间的关系,国民生命表与经验生命表 死亡率经验死亡率国民 寿险生命表与年金生命表 死亡率年金死亡率寿险 男性生命表与女性生命表 死亡率女性死亡率男性 检选生命表与终极生命表 死亡率随承保期的增加而增加 检选生命表基于签单年龄而设计 由于验体效力的作用，在相同的年龄段，死亡率签单死亡率终极,思考：一般情况下，保险公司更愿意使用国民生命表还是经验生命表，为什么？,因为国民生命表中的调查对象没有经过保险公司的风险选择，其反映的死亡率一般情况下与经验生命表中的死亡率

5、不同经过体检、核保等程序，被批准的保单中的被保险人的平均健康状况要优于全体国民，经验生命表所反映的死亡率也相对较低，基于稳健经营的考虑，因此保险公司使用的是经验生命表。,第二节 生命表基本函数,初始年龄为0岁，初始人数l0，极限年龄w=105，lw=0 一、生命表中的各类人数 1、dx：x岁的人在未来一年内（x岁x+1岁之间）死亡的人数。 2、tdx：x岁的人在x岁x+t岁间死亡的人数。 3、lx：从初始年龄0岁到满x岁还生存的人数。,二、生命表中的各类概率,1、qx：x岁的人在xx+1岁之间死亡的概率。 2、tqx：x岁的人在xx+t岁之间死亡的概率。 3、px：x岁的人在1年后仍生存的概率

6、。 4、tpx：x岁的人到x+t岁仍生存的概率。 5、 ：x岁的人在未来t年到t+m年之间死亡的概率。,例3-1 根据中国人寿保险业经验生命表（2000-2003，非养老金-男）中的数据，计算以下概率：（1）4岁的人在5岁前死亡的概率；（2）4岁的人2年后还活着的概率；（3）4岁的人活过30岁的概率；（4）4岁的人在30至35岁间死亡的概率。,（1） q4=0.000358 （2）2p4=p4 * p5=p4 * （1-q5） =（1-0.000358）*（1-0.000323） =0.999319 （3）26p4=l30/l4=984635/997762 （4）（l30-l35）/l4=（9

7、84635-979738）/997762,三、生命表中的各类时间,1、tLx：x岁的人在xx+t岁间的生存人年数。 人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人年。 在死亡均匀分布的假设下，xx+t岁间死亡的人数tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有： 2、Tx：x岁的人群未来累积的生存人年数。 在死亡均匀分布假设下：,3、平均余命(生命期望值) ：X岁人群未来的平均剩余寿命。 简约平均余命：x岁人群未来生存的整年数。 完全平均余命：x岁人群未来生存的平均时间，含非整年的月份数。,第三节 生命函数（生存分布）,一、新生儿的生命

8、函数 年龄是人出生后存活时间的度量，是一个连续随机变量，设新生儿未来死亡年龄为X，其分布函数为： F(x)表示新生儿在x岁前死亡的概率，即xq0 设 ， 这是新生儿活到x岁的概率，即xp0，s(x)就是生存函数。 新生儿在xz岁间死亡的概率为： E(x)表示x的期望值，即新生儿的平均寿命。,二、x岁余命的生命函数,T(x)：x岁的人未来能生存的时间。其分布函数为： T(x)的生存函数（x岁的人在t时间内存活的概率）： X岁的人在x+tx+t+m间的死亡概率：,三、死亡效力（死亡力/死力）,死亡效力：描述瞬间死亡强度的指标。定义为： 关系式：,四、整值剩余寿命与平均余命,在寿险精算中，年龄变量通

9、常取整数，定义K(x)为T(x)的整数部分，表示x岁的人未来存活的整数年数，也称为x岁的人的整值剩余寿命，有： K(x)是离散随机变量，概率分布函数为： 设S(x)为x岁人在其死亡年度中所活过的不足一年的部分。 S(x)是（0，1）上的连续分布，有：,K(x)的期望值是简约平均余命： T(x)的期望值是完全平均余命： 两种余命之间的关系： 死亡均匀分布假设条件下，有：,例3-2 当20 x 25时，死亡效力为0.001，试计算：20岁的人在22岁24岁间死亡的概率。,例3-3,思考：人们寿命的延长对寿险业的经营有哪些影响？,第四节 分数年龄的生命函数,一、分数年龄资料的使用背景 生命表提供了整

10、数年龄上的寿命分布，但有时我们需要分数年龄上的生存状况，于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据，选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况。 二、求解的基本原理 主要运用插值法求解,三、有关死亡分布的常用假设,1、均匀分布假定(线性插值) 2、常数死亡力假定(几何插值) 3、Balducci假定(调和插值),四、三种假定下的分数年龄概率函数,例3-4 已知分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：,第五节 生命表的编制,生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，不过编制这种生命表需要纵向追踪一批人从生到死的全部过程，而且在实际中很难取得完整的原始资料，同时该表也只是历史的追述，不能说

11、明现在某个时期的死亡水平，因此，一般不采用实际同批人方法编制生命表。 通常采用假设同批人方法编制，即把某一时期各个年龄的死亡水平当做同时出生的一批人在一生中经历的各个年龄时的死亡水平看待，从而描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平。,步骤一、粗死亡率的估计,1、数据收集：规定一组生命和某一被称为观测期的期限，并在观测期内对改组生命进行观测。 观测的不完全：在xx+1岁这一观测过程中，对于哪些在观测期开始前已进入x岁的生命，观测是不完全的（某些生命在观测前可能已死亡）；在观测期结束后进入x+1的生命，观测同样不完全；另外，在观测期间新进入或离开的生命，观测也不完全。 2、初步估计死亡率：根据“死

12、亡数的期望值等于观测到的死亡数”这一要求，可采用矩估计、极大似然估计等方法估计粗死亡率。,步骤二、死亡率曲线的修匀和附加安全幅度,1、在观测误差存在的情况下，上一步骤所得的死亡率不能消除异常波动，即可能出现某些年龄死亡率特别大，或某些年龄死亡率特别小的情况。 2、真实的死亡率应当落在一条随年龄增长而平稳上升的平滑曲线上，因此需要按某种标准对粗死亡曲线进行修匀。 3、修匀后的曲线还需消除正常的随机波动现象，即对修匀死亡率附加一个安全幅度。 死亡率过高的随机波动不利于年金投保人； 死亡率过低的随机波动不利于寿险投保人。,步骤三、死亡率曲线的补正和生命表的估计,保险公司在估计死亡率时，由于缺乏大年龄和小年龄投保人的经验数据，难以采用统计方法得到其估计值，因此通常运用数学插值补正法得到完整的死亡率曲线。 在得出一年内的死亡率之后，运用以下公式得到生命函数s(x)的估计值：,1990-1993中国寿险经验生命表的编制,1994年，中国人民保险公司正式展开编制工作。 编制过程：资料收集和整理、调查表的填报与数据录入、经验资料的计算机处理、经验资料分析、基本死亡率的计算、死亡率补整修匀等