相似三角形典型模型及例题

1、1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）a字型、反a字型（斜a字型） （平行）（不平行）（二）8字型、反8字型 （蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑

2、通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型： 二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由a字型旋转得到8字型拓展gabcef共享性一线三等角的变形一线三直角的变形2：相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1：如图，梯形abcd中，adbc，对角线ac、bd交于点o，becd交ca延长线于e 求证： 例2：已知：如图，abc中，点e在中线ad上, 求证：（1）； （2） acdeb例3：已知：如图，等腰abc中，abac，adbc于d，cgab，bg分别交ad、ac于e、f求证： 1、如图，已知ad为abc的角平分线，ef为ad的垂

3、直平分线求证：2、已知：ad是rtabc中a的平分线，c=90，ef是ad的垂直平分线交ad于m，ef、bc的延长线交于一点n。求证：(1)amenmd; (2)nd=ncnb3、已知：如图，在abc中，acb=90，cdab于d，e是ac上一点，cfbe于f。求证：ebdf=aedb4.在中，ab=ac，高ad与be交于h，垂足为f，延长ad到g，使dg=ef，m是ah的中点。 求证：5 已知：如图，在rtabc中，c=90，bc=2，ac=4，p是斜边ab上的一个动点，pdab，交边ac于点d（点d与点a、c都不重合），e是射线dc上一点，且epd=a设a、p两点的距离为x，bep的面积为

4、y（1）求证：ae=2pe；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当bep与abc相似时，求bep的面积acbpde（2）双垂型1、如图，在abc中，a=60，bd、ce分别是ac、ab上的高求证：（1）abdace；（2）adeabc；(3)bc=2ed2、如图，已知锐角abc，ad、ce分别是bc、ab边上的高，abc和bde的面积分别是27和3，de=6，求：点b到直线ac的距离。（3）共享型相似三角形1、abc是等边三角形，dbce在一条直线上,dae=120,已知bd=1，ce=3，求等边三角形的边长.2、已知：如图，在rtabc中，ab=ac，dae=45求证：（1

5、）abeacd； （2）cadbef(4)一线三等角型相似三角形例1：如图，等边abc中，边长为6，d是bc上动点，edf=60（1）求证：bdecfd（2）当bd=1，fc=3时，求be 例2：（1）在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.若点在线段上（如图），且，求线段的长；若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；abcabcpq（2） 正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.abcdabcd例3：已知在梯形abcd中，adbc，adbc，且ad5，abdc2（1）如图8，p为ad上的一点，满足bpca求证；abpd

6、pc求ap的长（2）如果点p在ad边上移动（点p与点a、d不重合），且满足bpea，pe交直线bc于点e，同时交直线dc于点q，那么当点q在dc的延长线上时，设apx，cqy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当ce1时，写出ap的长cdabp例4：如图，在梯形中，点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结（1）求证：；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；（3）若，求的长 1、如图，在abc中，是边上的一个动点，点在边上，且(1) 求证：abddce；(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；(3) 当点是的中点时，试说明ade是什么三角形，并说明理由a

7、bcde2、如图，已知在abc中， ab=ac=6，bc=5，d是ab 上一点，bd=2，e是bc 上一动点，联结de，并作，射线ef交线段ac于f（1）求证：dbeecf； （2）当f是线段ac中点时，求线段be的长；（3）联结df，如果def与dbe相似，求fc的长3、已知在梯形abcd中，adbc，adbc，且bc =6，ab=dc=4，点e是ab的中点 （1）如图，p为bc上的一点，且bp=2求证：bepcpd； （2）如果点p在bc边上移动（点p与点b、c不重合），且满足epf=c，pf交直线cd于点f，同时交直线ad于点m，那么 当点f在线段cd的延长线上时，设bp=，df=，求关

8、于的函数解析式，并写出函数的定义域； 当时，求bp的长edcbap4、如图，已知边长为的等边，点在边上，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，（1）写出图中与相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4）若，试求的面积(5)一线三直角型相似三角形例1、已知矩形abcd中，cd=2，ad=3，点p是ad上的一个动点，且和点a,d不重合，过点p作，交边ab于点e,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。例2、在中，是ab上的一点，且，点p是ac上的一个动点，交线段bc于点q，（不与点b,c重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。1.在直角中，点d是bc的中点，点e是ab边上的动点，交射线ac于点f（1）、求ac和bc的长（2）、当时，求be的长。（3）、连结ef,当和相似时，求be的长。2.在直角三角形abc中，是ab边上的一点，e是在ac边上的一个动点，（与a,c不重合），与射线bc相交于点f.(1)、当点d是边ab的中点时，求证：(2)、当，求的值（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域3.如图，在中，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点设，的面积为（1）求关于的函数关