第六节 曲面与曲线

1、第六节一、曲面曲面与曲线曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) = 0有下述关系：（1） 曲 面S 上任一点的坐标都满足方程；（2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；那么，方程F ( x, y, z) = 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形以下给出几例常见的曲面.建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R例 1的球面方程.设M ( x, y, z)是球面上任一点，解| MM0 |= R根据题意有(x - x0 )+ ( y - y)+ (z - z)

2、22200= R(x - x0 )+ ( y - y)+ (z - z)= R222200所求方程为特殊地：球心在原点时方程为 x2 + y2 + z2 = R2例 2 求与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点的全体所组成的曲面方程.解设M ( x, y, z)是曲面上任一点，| MO |= 1 ,根据题意有| MM0 |2+ y2 + z 2x 2= 1,(x - 2)2 + ( y - 3)2+ (z - 4)222 24 2116()2x +y + 1+ z + 3 =.所求方程为39例 3 已知A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求线段AB 的垂直平分面的方程.

3、设M ( x, y, z)是所求平面上任一点，根据题意有| MA |=| MB |,(x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 3)2解(x - 2)2 + ( y + 1)2 + (z - 4)2 ,=2 x - 6 y + 2z - 7 = 0.化简得所求方程方程z = ( x - 1)2 + ( y - 2)2- 1的图形是怎样的？z例4z -1解根据题意有用平面z = c 去截图形得圆：( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 1 + c(c -1)c当平面z = c 上下移动时， 得到一系列圆oy1 + c圆心在(1,2, c)，半径为半径随c 的增大而增大.x图形

4、上不封顶，下封底以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程（讨论旋转曲面）（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论柱面、二次曲面）1. 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:播放柱面举例zz平面= 2xyy2ooyy = xxx抛物柱面从柱面方程看柱面的特征：只含x, y 而缺z的方程F ( x, y) = 0 ，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy 面上曲线C. （其他类推）y2z2+c2= 1实例/ x轴椭圆柱面b2x22

5、- yz=1/轴/ y 轴双曲柱面a2x2b2= 2 pz抛物柱面2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴播放旋转过程中的特征：zM1 (0, y1 , z1 )f ( y, z) = 0y dM如图设 M( x, y, z),(1)z = z1（2）点M 到z 轴的距离oxd =+ y2=| y|x21将 z = z,y= + y2x2代入11f ( y1 , z1 ) = 0f ( y1 , z1 ) = 0将 z = z,y= + y2x2代入11f (+ y2 ,z)= 0,x2得方程yoz 坐标面上的已知曲线 f (

6、 y, z) = 0 绕z 轴旋转一周的旋转曲面方程.同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) = 0绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程为f (y,+ z2 )= 0.x2直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，例 5所得旋转曲面叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角a 0 a p 叫圆锥面的半顶2 角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为a的圆锥面方程zzyoz 面上直线方程为z =y cota圆锥面方程解M(0, y , z)111ooyyxx+ y2 cotaM( x, y, z)z = x2例6将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程x 2z

7、 2（1）双曲线-= 1分别绕a 2c 2x轴和 z轴；+ z2x2y2旋转双曲面-= 1x绕轴旋转a2x2c2+ y2z2-c2= 1绕 z 轴旋转a2 y22+ z= 1绕y轴和 z2c22a（）椭圆轴； x = 0+ z2y2x2旋转椭球面绕y 轴旋转+= 1a2x2c2+ y2z2+c2= 1绕z 轴旋转a2 y2 = 2 pz绕 z 轴；3（）抛物线x = 0+ y2 = 2 pzx2旋转抛物面3.小结曲面方程的概念 F ( x, y, z) = 0.旋转曲面的概念及求法.柱面的概念(母线、准线).思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？(1) x = 2

8、;(3)y = x + 1.+ y2 = 4;x2(2)思考题解答方程平面解析几何中空间解析几何中x = 2平行于y 轴的直线平行于yoz 面的平面x2 + y2 = 4圆心在(0,0)，半径为2 的圆以z 轴为中心轴的圆柱面y = x + 1斜率为1的直线平行于z 轴的平面练习题一、填 空题：1、与 Z 轴和点A(1 , 3 ,-1)等距离的点的轨迹方程是 ；2、以 点O(2 ,-2 , 1)为球心，且通过坐标原点的球面方程是 ；+ y2 + z 2 - 2 x + 4 y - 4z - 7 = 0 的球心是3、球 面： x 2点 ，半径R = ；x2y2z2=1，当a = b 时，曲面可由

9、4、设 曲面方程+a2b2c2xoz 面上以曲线 绕 轴旋转面成，或由yoz 面上以曲线 绕 轴旋转面成 ;5、若 柱面的母线平行于某条坐标轴，则柱面方程的特点是 ；y2面 x-+ z = 1是由 绕 轴放26、曲 4置一周所形成的；面(z - a)2 = x 2+ y2 是由 绕 7、曲 轴旋转一周所形成的；8、方 程x = 2 在平面解析几何中表示 在空间解析几何中表示 ；+ y2 = 4x 29、方 程在 平 面 解 析 几 何 中 表 示 ， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示 .二、画 出下列各方程所表示的曲面：1、( x - a )2 + y2 = ()2 ；a22x 2 +

10、z 2=1 ；2、943、z = 2 - x 2 .练习题答案一、1、z 2 - 2 x - 6 y + 2z + 11 = 0；+ y2+ z 2- 4 x + 4 y - 2z = 0；3、(1,-2,2),4； 2、x 2x 2 + z 2y2 + z 2x 2y2= 1, z,b2= 1, z,+a 2= 1, y, 4、a 2c2c2b2y2 + z 2=1, y ； 5、不含与该坐标轴同名的变量； b2c2y2-= 1, y ；2 6、xoy 面上的双曲线x4 7、yoz 面上的直线 z =y + a, z ； 8、平行于 y 轴的一条直线,与yoz 面面平行的平面； 9、圆心在原

11、点,半径为 2 的圆,轴为z 轴 ,半径为 2 的圆柱面.2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2

12、. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所

13、成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴2. 旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴1. 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:1. 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:1. 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过

14、程:1. 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:1. 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:1. 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:1. 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:1. 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:1. 柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成