3 2条件分布与随机变量的独立性课件

1、3.2条件分布与随量的独立性一、条件分布与独立性设X是一随量, A 是一随机，满足P( A) 0,称条件概率F ( x A)记X xA- x 0时,- x 0,设Y是另一随量, 且对于实数则Y y) = PX x Y y= PX x且Y yF ( xPY y= F ( x, y)FY ( y)同理,若P X x 0, 则y X x = PY y且 X x F ( yX x) =P YP ( X x )= F ( x, y)FX ( x)F ( x, y)= FX ( x) F ( y X x )= FY ( y)F ( x Y y)独立性:A与 B独立P( AB) = P( A)P(B)X x

2、与Y y独立P X x, Y y = PX xPY yF ( x, y) = FX ( x) FY ( y)定义3.6设随机向量( X，Y ) 的联合分布函数为F ( x, y), 如果对任意实数 x 与 y, 有F ( x, y) = FX ( x)FY ( y)则称随量X与Y相互独立.定义3.6设随机向量( X，Y ) 的联合分布函数为F ( x, y), 如果对任意实数 x 与 y, 有F ( x, y) = FX ( x)FY ( y)则称随量X与Y相互独立.此时PY y 0 时,Y y) =P X x Y y = P X x 且 Y yF ( xPY yF ( x, y) =FX (

3、 x) FY ( y)= F=( x)XF( y)F( y)YY同理，PX x 0时,F ( yX x) = FY ( y)定理3.1随量X与Y相互独立的充要条件是对任意实数集A与B,X A 与Y B 相互独立.即X与Y独立对任意实数集A与B,P X A, Y B= PX APY B定理3.2如果随量X与Y相互独立,则对于任意连续函数 g1 ( x) 和g2 (Y ) 也相互独立.g2 ( y), 随量g1 ( X ) 与量, 联合定义3.7分布函数为设 X1 , X2 ,., Xn是n个随F ( x1 , x2 ,., xn ) = PX1边缘分布函数为Xn xn x2 , x1 , X 2

4、F1 ( x1 ) =P X1Fi ( xi ) = P Xi x1 xi F2 ( x2 ) =P X 2i = 1, 2,., n x2如果对任 x1 , x2 ,., xn , 恒有F ( x1 , x2 ,., xn ) = F1 ( x1 )F2 ( x2 ). Fn ( xn )则称X1 , X2 ,., Xn 相互独立.量的条件分布与独立性二、离散型随定义其设( X，Y ) 是二维离散型随机向量,P X = xi ,Y = y j =概率分布为pi ji, j = 1, 2, 3,.若对某个 yj , 有P Y =y 0,则jP X = x 且 Y = y 记p= P X = x

5、Y =y=piji j=P Y=yijijpYjj称为在Y = y j 条件下, X的条件概率分布.此时，有= pYppi jjij定义固定的设( X，Y )是二维离散型随机向量, 若对( j = 1, 2, 3,.), 有P Y =y j 0, 则称y jppi j ,= P X = xY =y =i = 1, 2, 3,.ijijpYj为在Y =y j 条件下, X的条件概率分布.如设( X，Y )的概率分布为P X = 0 Y = 0 = P X = 0, Y = 0Y-102P Y= 0P X = 1, Y = 0P Y= 0X2 0.2=0.10.40.20.10.1010.330.

6、1P X = 1Y = 0=则在Y = 0 条件下，10.1 =0.33=X的条件概率分布为定义设( X，Y ) 是二维离散型随机向量, 若对(i = 1, 2, 3,.), 有P X = xi 0, 则称固定的 xi记= PP X = x 且Y = y pi jY =ypX = xi=ijP X = xi j ijp Xij = 1, 2,.为在X = xi条件下, Y的条件概率分布.此时，有pi j=p Xpij i例设X与Y的联合分布为写出X=0时，Y的条件分布.P Y = 0X = 0 解P X = 0,Y= 0 01= 0P X = 023P X = 0, Y = 1= 15= 2P

7、 Y = 1 X = 0 =P X = 0135P X = 0,Y = 2P Y = 23X = 0 =P X = 0X = 0Y012= 315135=25p05j03YX012010 2 31515 1 6 3151515例设X与Y的联合分布为写出X=1时，Y的条件分布.P Y = 0X = 1 解 1 152P X = 1, Y= 0P X = 11=1063P X = 1, Y = 1= 15= 3P Y = 1X = 1 =3X = 1 =P X = 1235P X = 1, Y = 2P Y = 2P X = 1 3 X = 1012Y= 15 =1p3532310j11010YX

8、012010 2 31515 1 6 3151515定理3.3设X与Y是离散型随量，其联合概率= P X = xi , Y =y j 分布为 pi j边缘(i, j = 1, 2, 3,.),XY分布分别为(i, j = 1, 2, 3,.), 则X与Y相互独p, pij(i, j = 1立, 2, 3,.).的充要条件是 pi j=XYppijYXy1y2.y j.x1 x2xip11p12.p1 j.p21p22.p2 j.pi1pi 2.p X1p X2p XipYpY.12pYj.pij例设X与Y的联合概率分布为且X与Y独立，求p，q1 4 + q = 1解2 15531 1=+p10

9、2212,解出 q =p =1015YX-110 1 15p 1 + p151q 1 5 1 + q521531012 4 + q151 + p2由联合分布,可求出边缘分布;但由边缘分布,如一般不能确定联合分布.YX012019191913119191913219191913131313YX012029190131029191321902913131313但若已知X与Y相互独立, 则可由边缘分布, 确定它们的联合分布.YXy1y2.y j.x1 x2xip= p X pYijijp X1p X2p XipYpY.12pYj.例量X与Y相互独立，概率分布分别为设随则以下结论正确的是(b) P X

10、 = Y = 1X = Y(a)(c)(d )P X = Y = 12以上都不正确.解 P X = Y =P X = 0,Y = 0+ P X =1,Y= 1= 1 + 1 = 1(c)442YX01011144114412121122Y01p1122X01p1122例 设随量 X与独Y 立,下表列出二维随机向量( X , Y ) 的联合分布律及边缘分布律的部分数值,将其余数值 填入空白处.YXy1y2y3P X = x = pXiix11181124124x218313844P Y = y j = pYj1612131三、连续型随量的条件分布与独立性定义y)记 f ( x, y)( xfX

11、Yf( y)YX的条件密度函数.称为Y =y 条件下,x)记f ( x, y)( yfYXf( x)X称为X = x 条件下, Y的条件密度函数.y x例 设X和Y的联合密度函数为0 x 1, - x y xf ( x, y) = 1, 0,其它求条件密度函数.x 0+解= 0,0 dy- 2 x,0 x 1其它+0 x 1= f X ( x) =-2 x,+f ( x, y)d y = 0,0 x 1时,= 0,x 10 dy-y+y = xf X ( x) =-f ( x, y)d y- x+x=+0 dy = 2 x0 dy1dy- xx 1xxxx f ( x, y)f X ( x)(

12、 yx ) =fYXy = - xy x例设X和Y的联合密度函数为0 x 1, - x y xf ( x, y) = 1, 0,y求条件密度函数.其它y = x0 x 1其它( x) = 2 x,解 1fxX0,y = - xf ( x, y) 不存在.( yx ) =当 x 0 或 x 1 时，f当0 x 1 时,YXf( x)X 1,- x y xy取其它值f ( x, y) =f ( x, y) = 2 x( yx ) =fYXf( x)2 x0,Xyy x0 x 1, - x y xf ( x, y) = 1, 0,求条件密度函数.y -1其它+解= 0,0 dx-f ( x, y)d

13、 x = 1 + y,-1 y 0+-f( y) = 1 - y,Y0 y 1y 1 y-1 y 0时，+0 dx= 0, (1,1)y-+fY ( y) =-f ( x, y)d x 1- yx1+=1dx +0 dx= 1 + y,y0 dx- y1 (1, -1)0 y 1时，y+y+1fY ( y) =-1dx +1=+0 dx= 1 - yf ( x, y)d x0 dx-yy x例0 x 1, - x y x 1,f ( x, y) = 0,求条件密度函数.其它+解y -1-1 y 0= 0,0 dx-f ( x, y)d x = 1 + y,1 - y,+( y) =fY0 y

14、1-y+ 0 dx = 0,y 1- 1x1 -1 y 1其它y ,fY ( y) = 0,- x y x求条件密度函数.y0 x 1,其它例f ( x, y) = 1 0解1 -1 y 1其它y ,fY ( y) = 0, 1xy ) =f ( x, y) 不存在.( x当y -1 或 y 1 时，f当-1 y 1时,X Yf( y)Y 1y x 1,yf ( x, y) 1 -f ( x, y)( xy ) = f X Y=f( y)1 -yx 1 或x y0,Y定理3.4设连续型随机向量(X，Y)的密度边缘密度分别为 f X ( x) 和 fY ( y),函数为f ( x, y),则X与

15、Y相互独立的充分必要条件是f ( x, y) = f X ( x) fY ( y)例设 D是由曲线y = x2 ,直线 y = 1及 y轴围成的图形在第一象限内的部分, 随机向量( X ,Y )有联合密度( x, y) D A x y,f ( x, y) = y = x2y其它0,11)求A的值;2)求X及Y的边缘密度；3)X与Y是否独立？D1 x例设 D是由曲线y = x2 ,直线 y = 1及 y轴围成的图形在第一象限内的部分, 随机向量( X ,Y )y = x2有联合密度yf ( x, y) = A x y,( x, y) D其它10,D1)求A的值;+解f ( x, y)dy1 =d

16、x1 x-= A x ydx dy +1x dx 1y=0dxdydyA0x 2R2 - DD A2 A6y2111=x=(1 -= AxdxA = 64dxx)2x200f ( x, y) = 6 x y,( x, y) D其它2)求边缘密度.0,y+y = x2解=x 00 dy0,1-f ( x, y)d y = +Df( x) =3x(1 - x),0 x 1x 1 x4X-0 x 1其它+3x(1 - x4),=0,0 dyx1x x=-0,0 x 1时,x2+1+f ( x, y)d y = -f X ( x) = -+0 dy+6 xydy0 dy2x1y211x2y=dy =

17、6 x6 x= 3 x (1 - x4 )x22f ( x, y) = 6 x y,( x, y) D其它2)求边缘密度.0,+ y 0= 0,解0 dy-+0 y 1 yyf( y) =y = x23 y2 ,f ( x, y)d x= Y1-+y 1 y=0, 3 y2 ,0 y 1其它0 dyD= -0,y0 y 1时,1x+0y( y) =+f+f ( x, y)d x0 dx0 dx6 xydxY-y0x2y= 6 yy= 3 y2x dx = 6 y200f ( x, y) = 6 x y,( x, y) D其它y = x2y10,3)X与Y是否独立？D解 已求出(X,Y)的边缘密度为3x(1 - x4 ),0 x 1其它xf X ( x) = 0,0 y 1其它y 3 y2 ,=f( y)Y0,3x (1 - x4 )3 y20 x, y 0y 0e,0 x 1,其它2 1,( y)= 2Xf X ( x) = Yf 0,Y0,( X ,Y ) 的联合密度；求:1)2)方程 t 2解：1)因为+ 2X t + Y = 0有实根的概率.X与Y独立,所以( X ,Y ) f ( x, y) =f X ( x) fY ( y)112- y0