第6节 解三角形

1、2021新亮剑高考总复习三角函数与解三角形第四章第6节解三角形1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录 4最新考纲考向分析掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题正弦定理、余弦定理是解三角形的主要工具.高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、正弦定理、余弦定理在ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为ABC 外接圆的半径,则5定理正弦定理余弦定理内容 = =2Rsin sin sin a2=b2+c2-2bcco

2、s A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C变形(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ;222(3) abc= sin Asin Bsin C;(4) asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A2 + 2-2cos A=2;2 + 2-2cos B=2;2 + 2-2cos C=2.高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、三角形的面积公式S=1aha=1bhb=1chc(ha,hb,hc 分别表示 a,b,c 边上的高);222S=1ab

3、sin C=1acsin B=1bcsin A;222S=1(a+b+c)r(r 为ABC 内切圆的半径);2S= (R 为ABC 外接圆的半径);4S= (-)(-)(-) 其中 = 1 ( + + ) .26高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录三、在ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下: 7A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a=bsin A bsin Aab 解的个数一解_两解一解 一解高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录四、实际应用中的常用术语1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图).

4、2. 方向角相对于某正方向的水平角,如南偏东 30, 北偏西 45等. 3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点 B 的方位角为 (如图).4.坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比.8高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录1.三角形内角和定理:在ABC 中,A+B+C=,变形为+=-.2222.三角形中的三角函数关系(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin+=cos ;(4)cos+=sin .22223. 在ABC 中,sin Asin BABab,cos Acos BABaB,则必有 sin Asin B.(2)在ABC

5、 中,若 b2+c2a2,则ABC 为锐角三角形.(3)在ABC 中,若 A=60, a=4 3,b=4 2,则 B=45或 B=135.(4) 已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.(5) 在ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()(答案解析10目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识解析(1)正确.ABabsin Asin B.222(2)错误.由 cos A=+-0 知,A 为锐角,但ABC 不一定是锐角三角形.2(3) 错误.由 ba 知,BA.(4) 正确.由余弦定理可知该结论正确. (5)错误.当已知三个角时不能求三边.11目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【基础自测】1

6、.(2020 届武汉模拟)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知a=1,b= 3,A=30, 若 B 为锐角,则 ABC=(B).A.113B.123C.132D.141因为 a=1,b= 3,A=30, B 为锐角,所以由正弦定理可得 sin B= sin = 3,解析2则 B=60,所以 C=90, 则 ABC=123.答案解析12目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识2.(2020 届天津模拟)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知8b=5c,C=2B, 则 cos C=(A).A. 7 B.- 7C. 7D.2425252525解析sin C

7、=sin 2B=2sin Bcos B,cos B= sin = =4,cos C=cos 2B=2cos2B-1= 7 .故选 A.2sin 2525答案解析13目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识3.(2020 届广西模拟)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,ac=3,且a=3bsin A,则ABC 的面积等于().A A.1B.3D.3C.1224解析a=3bsin A,由正弦定理得 sin A=3sin Bsin A.又 sin A0,sin B=1.ac=3,3ABC 的面积 S=1acsin B=131=1.故选 A.2232答案解析14目 录查缺补漏高考动态知识

8、拓展知识4.(2020 届兰州实战考试)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若b2=ac,c=2a, 则 cos C=().BB.- 2A. 2C.3D.-34444解析由222222所以 cos C=+-=+2-4=- .故选22 24答案解析15目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【易错检测】5.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 cbcos A,则ABC 为(A).A.钝角三角形C.锐角三角形B.直角三角形D.等边三角形解析由已知及正弦定理得 sin Csin Bcos A,sin(A+B)sin Bcos A,sin Acos B+cos

9、Asin Bsin BcosA,sin Acos B0,cos B1,sin sin 20角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在.答案解析1718目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1利用正弦、余弦定理解三角形 例 1(1)(2020 届青岛模拟)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin A), 则 A=(C).A.3B.C.D.4346(2)(2020 届河南郑州质量检测)在ABC 中,ABC=90, 延长 AC 到点 D,使得3 2CD=AB=1.若CBD=30, 则 AC=.答案解析19考点探

10、究素养达成高考真题目 录解析(1)在ABC 中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=2b2-2b2cos A.又 a2=2b2(1-sin A),所以 sin A=cos A,即 tan A=1.又 A 是三角形内角,所以 A=.故选 C.4(2)设 AC=x(x0),在BCD 中,由正弦定理得 = ,sin sin 所以 BD=2sinBCD.又 sinBCD=sinACB=1,所以 BD=2.2-22cos(90+30),2在ABD 中,(x+1)2=1+ 化简得 x2+2x=2+4,解得 x3=2,所以 x=3 2,故 AC=3 2. 2 20考点探究素养达成高考真题目 录

11、方法总结：应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边:利用公式 a= sin ,b= sin ,c=sin 或其他相应变形公式求解.sin sin sin (2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式 sin A= 或其他相应变形公式求解.sin ,sin B= sin ,sin C=sin (3) 已知两边及其夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4) 利用式子的特点转化:如出现 a2+b2-c2=ab 形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 21考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】(2020 届洛阳第二次联考)如图,在平面四边形 ABCD 中,ABC 为锐角,A

12、DBD,AC 平分BAD,BC=2 3,BD=3+ 6,BCD 的面积 S=3( 2+ 3).2(1) 求 CD 的长;(2) 求ABC 的大小.解析(1)在BCD 中,S=1BDBCsin CBD=3( 2+ 3).22因为 BC=2 3,BD=3+ 6,所以 sinCBD=1.2因为ABC 为锐角,所以CBD=30.在BCD 中,由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BCBDcos CBD解析=(2 3)2+(3+ 6)2-22 3(3+ 6) 3=9, 解 得 CD=3.222考点探究素养达成高考真题目 录(2)在BCD 中,由正弦定理得 = ,即 2 3= 3,sin sin 30s

13、in sin 解得 sinBDC= 3.3因为 BC0,则ABC 是(A).A.锐角三角形C.钝角三角形B.直角三角形D.形状不确定解析A+B+C=,A+B=-C,tan(A+B)=tan(-C)=-tan C,tan +tan =-tan C,1-tan tan tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C0,tan A0,tan B0,tan C0,ABC 是锐角三角形.解析答案27考点探究素养达成高考真题目 录2.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c-acos B=(2a-b)cos A,则ABC 的形状为(A.等腰三角形C.等腰直角三

14、角形). B.直角三角形D.等腰或直角三角形解析因 为 c-acos B=(2a-b)cos A,C=-(A+B),所以由正弦定理得 sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,所 以 sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,所以 cos A(sin B-sin A)=0,所以 cos A=0 或sin B=sin A,答案解析所以 A=或 B=A 或 B=-A(舍去),所以ABC 为等腰或直角三角形.282考点探究素养达成高考真题目 录考点3三角形的面积问题例 3(2020 届湖南十校

15、联考)已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且acos C+ 3asin C-b-c=0.(1)求角 A 的大小;(2)若 AD 为 BC 边上的中线,cos B=1,AD= 129,求ABC 的面积.72解析29考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C=sin B+sin C,即 sin Acos C+ 3sin Asin C=sin(A+C)+sin C,即 sin Acos C+ 3sin Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C,则 3sin Asin C-cos Asin

16、C=sin C.又 sin C0,所以 3sin A-cos A=1,所以 sin(A-30) =1.2在ABC 中,0A180, 则-30A-300),则在ABD 中,AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B,2即129=25x2+49-25x71,解得 x=1 或 x=-1(舍去),4427=1acsin B=10 3.所以 a=7,c=5,故 SABC231考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式 S=1absin C=1acsin B=1bcsin A,一般是已知哪一个角就使用222哪一个公式;(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余

17、弦定理进行边和角的转化.32考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】1.(2020 届安徽合肥模拟)在ABC 中,A=60, AB=2,且ABC 的面积为 3,则 BC2的长为().BA. 3B. 3C.2 3D.22=1ABACsin A=12 3AC= 3, 所 以 AC=1,解析因为 SABC2222所以 BC2=AB2+AC2-2ABACcos 60=3.所以 BC= 3.故选 B.答案解析33考点探究素养达成高考真题目 录2.(2020 届贵阳模拟)已知在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足a=4,asin B= 3bcos A.若ABC 的面积 S=

18、4 3,则 b+c= 8.解析由正弦定理得 sin Asin B= 3sin BcosA,又 sin B0,所以 tan A= 3,所以 A= .由余弦定理,得 16=b2+c2-bc.3A=4 3,得 bc=16,所以(b+c)2=64,故 b+c=8.由 S=1bcsin2答案解析34考点探究素养达成高考真题目 录考点4正弦、余弦定理在平面几何中的应用例 4(2020 届河南八市联考)如图,D 是ABC 边 BC 上一点,2AB=3AC,BD=3,sinCAD=2sinBAD.(1) 求 DC 的长;(2) 若 AD=2,求ABC 的面积.解析(1)在ABD 和ADC 中,由正弦定理得 =

19、,=.sin sin sin sin 因 为 2AB=3AC,sinADB=sinADC,BD=3,sinCAD=2sinBAD,所以 DC=4BD=4.答案解析335考点探究素养达成高考真题目 录(2)在ABD 中,由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2ADBDcos ADB.在ADC 中,由余弦定理得 AC2=AD2+DC2-2ADDCcos ADC.因为 2AB=3AC,AD=2,BD=3,DC=4,cosADB=-cosADC,所 以 4(4+9+223cosADC)=9(4+16-224cosADC),解得 cosADC=2,所以 sinADC= 5,33=1(BD+DC)ADsi

20、n ADC=172 5=7 5.所以 SABC2233解析36考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：平面几何中解三角形问题的求解思路(1) 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦余弦定理求解;(2) 寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.易错警示:做题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边 角关系、平行四边形的一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合才能顺利解决问题. 37考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 4】(2020 届南宁模拟)如图,在ABC 中,B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上,3且 CD=2,cosAD

21、C=1.7(1) 求 sinBAD;(2) 求 BD,AC 的长.解析(1)由cosADC=1知 sinADC=4 3,7于 是 sinBAD=sin(ADC-B)7=sinADCc os-cosADCsin 33解析=4 31-1 3=3 3.72 721438考点探究素养达成高考真题目 录83 3sin (2)在ABD 中,由正弦定理得 BD= 14 =3.4 37sin 在ABC 中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=82+52-2851=49,2所以 AC=7.解析39考点探究素养达成高考真题目 录数算解三角形中的数学素养数算是解决数学问题的基本手段,数算是指在明

22、确运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.在解三角形时,利用正弦、余弦定理,结合三角函数的公式或特殊角的三角函数值,通过推理、计算等方式求解出所研究三角形的边角及面积等,这也体现了数40考点探究素养达成高考真题目 录例(2020 届陕西汉中高三模拟)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且2csin - =acos B+bcos A.2(1) 求角 A 的大小;(2) 若 2a=b+c,且ABC 外接圆的半径为 1,求ABC 的面积. - =acos B+bcos A,解析(1)2csin 22ccos A=acos B+bcos A.由正弦定理得 2sin Cco

23、s A=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C.2sin Ccos A=sin C.0C,sin C0,cos A=1.解析2又 0A,A=.413考点探究素养达成高考真题目 录(2)设ABC 外接圆的半径为 R,则 R=1,a=2Rsin A= 3,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc,3即 3=12-3bc,bc=3,ABC 的面积 S=1bcsin A=13 3=3 3.222442考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】(2020 届江西南昌高三摸底考试)已知锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c, 其

24、中 c=2 3,2sin 2- = 3.3(1) 若 a=2 2,求角 A 的大小;(2) 求ABC 面积的最大值.解析(1)由题意知 sin 2- = 3,C 0, ,322即 2C- - , 2 ,故 2C-=,即 C=.333333由正弦定理可得 2 2 =2 3 ,解得 sin A= 2.sin sin 23又因为 ac,所以 0AC= ,所以 A=.解析3443考点探究素养达成高考真题目 录(2)在ABC 中,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C,=1absin C3 3,则 12=a2+b2-abab,所以 SABC2当且仅当 a=b=2 3时,上式等号成立,所以ABC

25、 面积的最大值为 3 3.44考点探究素养达成高考真题目 录1.(2019 年全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=6,a=2c,B=,则36 3 ABC 的面积为.解析由余弦定理得(2c)2+c2-22cc1=62,2即 c2=12,解得 c=2 3或 c=-2 3(舍去),所 以 a=2c=4 3,=1acsinB=14 32 3 3=6 3.所以 SABC222答案解析45考点探究素养达成高考真题目 录2.(2018 年全 2 +2 - 2,则 C=().C4A.B.C.D.2346222=1absin C=+-=2 cos =1abcos C,解析SAB

26、C2442sin C=cos C,即tan C=1.C(0,),C=.4答案解析46考点探究素养达成高考真题目 录3.(2018 年全国卷)在ABC 中,cos= 5,BC=1,AC=5,则 AB=(A).25A.4 2 B. 30C. 29D.2 5解析cos = 5,252 253cos C=2cos-1=2-1=- .255在ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=52+12-251 - 3 =32,5AB= 32=4 2.答案解析47考点探究素养达成高考真题目 录4.(2019 年设(sin B-sin C)2=sin2A-sin (1)求 A;(2)若 2a+b=2c,求 sin C. 解析(1)由已知得 sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得 b2+c2-a2=bc.222由余弦定理得 cos A=+-=1.2因为 0A180, 所以 A=60.2解析48考点探究素养达成高考真题目 录(2)由(1)知 B=120-C,由题设及正弦定理得 2sin A+sin(120-C)=2sin C,即 6+ 3cos C+1sin C=2sin C,可得 cos(