保险精算学1-2-精算概述与利息理论基础

1、保险精算学,教学内容,利息理论及应用 基本概念 应用之一：年金 寿险精算 生命表概述 保费计算 责任准备金计算 保单的现金价值与红利计算 非寿险精算（边文龙博士主讲） 损失模型 费率厘定 责任准备金计算,成绩组成,出勤情况和上课参与程度 不定期考勤机会+多次上课参与机会 占总成绩的20% 课后作业完成情况 每次抽查部分学号 占总成绩的20-40% 期末考试 闭卷笔试 占总成绩的40-60%,教学参考书,教材：保险精算（第二版），李秀芳等，中国人民大学出版社 寿险精算实务，李秀芳 主编，中国精算师资格考试用书，中国财政经济出版社 保险精算通论，卓志 主编，西南财经大学出版社,第一章 精算基础知识

2、,精算科学的发展历程 精算师职业与工作环境 精算工作的基础流程 精算考试体系,一、精算科学的发展历程,1、精算 一门应用各种数理模型来估计和分析未来不确定事件（风险）产生的影响（特别是财务方面）的科学。它以概率论和数理统计为基础，是与经济学、金融学及保险理论相结合的应用与交叉性的学科。,？,2、精算源于寿险业的发展： 17世纪初，复利理论研究结果发表奠定了保险和养老金资产投资的研究基础； 1657年，荷兰数学家哈根斯(Huygens)发表关于概率计算的文章奠定了精算科学的概率基础； 1662年，格兰特(Graunt)运用英国的死亡数据研究了一组人的死亡和生产规律奠定了生命表的基础； 1693年

3、，英国天文学家哈雷(Hally)编制了第一张生命表精算学诞生！ 1756年，英国数学家道森(Dodson)将精算思想正式引入寿险经营； 1764年，爱德沃(Endward)创办伦敦公平人寿保险社世界上第一家人寿保险公司。,3、精算科学的现状与应用,从人寿和年金保险中对人口死亡率的估计扩展到在非寿险、养老金和社会保障中的应用。 保险领域：研究人寿、健康、财产、意外伤害、退休等事故的出险规律、损失的分布规律、保费的厘定、保险产品的设计、准备金的提取、盈余的分配、基金的投资、资产负债管理、偿付能力管理等。 社会保障领域：研究养老、医疗、失业、生育、工伤等保障的成本与债务分配方案以及基金投资方案等。,

4、1、专门职业 通过专门知识的学习和长期的从业训练，在某个特定劳动服务领域获得从业垄断权，从而能够唯一为该领域消费者解决信息不完全问题、提供高质量服务的职业。,二、精算师职业与工作环境,？,运用精算学知识分析研究经济风险的专职从业人员。他们被称为金融、保险、投资和风险管理的工程师，通过对风险损失的预先评价，对风险事件做出预先的财务安排，保证风险经营的财务稳健性。,？,2、精算师,3、精算师的工作领域,寿险和养老金业务非寿险、健康保险、社会保障银行、投资、公司财务、金融工程等。 在英国，40%的精算师就职于保险公司，45%的就职于与风险评估相关的咨询公司，7%就职于其他金融机构。,4、精算师的工作

5、职责,在保险公司，精算师主要就职于产品开发部、精算部、财务部等，工作职责主要有经验数据分析、新产品设计、保费定价、负债评估、利润分析等。,经济和商业环境 职业环境,三、精算工作的基础流程,发现问题,解决问题,监控并反馈经验,四、精算考试体系,1、如何才能成为合格的精算师？ 在中国，重要的途径就是通过职业资格考试来获取精算师资格。 三项基本素质： 职业道德+专业素质+沟通能力,2、中国的精算职业制度,我国保险法规定，保险公司必须聘用经保险监督管理机构认可的精算专业人员，建立精算报告制度。 1999年保监会组织了中国首次精算师资格考试，2006年中国精算师协会正式成立。 中国精算师的职业制度基本思

6、路在考试认可制度下，取得精算师考试合格证书仅是精算师职业制度的开端： 须申请注册，在取得执业证书才能从业 应加入中国精算师协会，每年参加职业培训 保险公司聘请首席精算师，或首席精算师离职都应报保监会备案,3、主流精算师资格考试体系介绍,1）中国精算师考试课程 第一层次，准精算师考试：9门必考课程（现已增设非寿险方向），目的在于考察考生对保险精算的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保险精算实务。 第二层次，精算师考试：10门课程，3门必考、2门选考课程，3门必考课程内容主要涉及保险公司运营管理、财务、投资以及中国保险业法规、税收、财务制度等。 考生在通过全部课程的考试后，要请一名资深的中国精算师指

7、导，在专业领域工作两年，并有一篇专业报告，经答辩合格后，方取得精算考试合格证书。,2）北美精算师考试SOA,ASA（准精算师）资格：要求完成初级教育课程考试（包括P、FM、MFE、MLC、C五门考试和三门VEE课程）、精算实践基础课程（FAP）和准会员职业课程（APC），才能获得准会员资格。 发展中国家折扣计划（Examination and Study Material Fee Discount Program）：申请折扣可先登录网站， 打开Examination and Study Material Fee Discount Program网页下载申请表，然后传真到指

8、定电话，过一段时间，SOA会发一封信件到EMAIL邮箱，里面有相应的折扣号以及报考内容。,第二章,利息理论及应用,第一节 基本概念,积累值（终值A） 现实值（现值P or 本金S） 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息力,Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest,汉英名词对照,一、单利与复利,1、利息的定义 某人在银行开设一个账户并存入10 000元，之后他

9、没有动用过这个账户，1年后，他结清账户得到了10 200元。这个数目可以看做是本金10 000元和利息200元。这里所说的利息就是银行在账户存在期间因使用此人的资本而对他支付的报酬，也可以认为是一个附加的补偿。 定义：利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。 利率：单位本金在单位时间（1个计息期）所赚取的利息与本金的比率即有效利率，简称利率。常用百分数表示。,2、单利,1）定义：假定一个单位本金的投资在每一个计息期所得到的利息是相等的，而利息并不用于再投资，按这种形式增长的利息称为单利。

10、某人在银行存入100元，如果单利的年利率为6%，那么每年他将得到6元。1年后账户里有106元，2年后有112元 2）单利的计算公式：I=Pin 其中，P表示本金，i表示利率，n表示计息期，I表示利息 单利的本利和=本金+利息=P+I=P+Pin=P(1+in) 3）基本特征：利息本身不再赚取利息利息受益水平在下降！,3、复利,1）定义：将本金所产生的利息加入本金，以本利和作为计算各期利息的一种计息方法。 某人在银行存入100元，如果复利的年利率为6%，那么1年后账户的本利和为106元，这106元作为第2年的本金，到第2年末，账户的本利和为106（1+0.06）=112.36元 2）复利利息的计

11、算公式：第一年末 =Pi 第二年末=P(1+i) i 复利的本利和：第一年末 =P(1+i） 第二年末= P(1+i)+P(1+i) I 第n年末= P(1+i)n,计息期n=1时，两者本利和相等； 计息期n1时，复利的本利和要大于单利的本利和（按复利计算，利息还要产生利息）； 在利率不变且初始本金一定的条件下，按照单利计算时，每期的利息额是常数，而按复利计算每期的利息额非常数，但利息增长率为常数。,4、单利与复利的区别,二、复利的终值和现值,1、复利的终值 终值：若干计息期后包括本金和利息在内的积累值，又称本利和。用A 或者 表示。 1元经过n年后变成(1+i)n元(1+i)n为1元n年后的

12、终值 P元经过n年后变成P(1+i)n元（同理） 复利终值公式 = P (1+i)n,例1-1.某人将10 000元进行投资，在年利率是8%的情况下，投资5年后的终值是多少？,解：已知P=10 000，i=8%，n=5，得,2、复利的现值 现值：指未来一定时间的特定资金按照复利计算的现在价值，或是为取得将来一定本利和现在所需要的本金。用P 或者 表示。 假定各年利率水平不变，1元经过n年变成(1+i)n元，那么反过来，多少钱经过n年变成1元呢？ 答案： 复利现值公式,三、利率与贴现率,1、利率 实际利率：是指某时期期末得到利息的金额与此时期开始时投资的本金金额之比。 如果在每个计息周期内利息支

13、付的次数不止一次，就涉及到另外一个概念“名义利率”。 例如：假设银行贷款利率8%，借款人如果从银行借得期限为1年、金额100元的贷款，那么1年的利息额是8元。如果银行要求借款人在年末支付8元利息，那么上述贷款利率就是实际利率。如果银行要求每半年支付4元，那么8%就是名义利率。,原因：如果每半年支付一次利息，尽管全年支付的利息总额仍是8元，但由于平均支付时间提前，使得借款人的实际利息成本增加。即，每半年支付4元利息时，每年则计息2次，每半年的实际利率为4%经过2个半年后，贷款的本利和为 100（1+0.04） （1+0.04）=108.16元 相当于1年的实际利率为8.16%。 8%为名义利率,

14、名义利率。如果在一个计息周期内利息支付的次数不止一次，那么名义利率就等于分段周期内的实际利率乘以利息支付的次数。 假设一笔投资的年名义利率为8%，每个季度结转一次利息，那么每季实际利率为8%4=2%，由于按每季实际利率计算的年末积累值应等于按年实际利率计算的年末积累值，因此有(1+2%)4=1+i，从而年实际利率为 i=(1+2%) 4-18.24%8%,名义利率与实际利率的关系 ：1年结转m次利息的名义利率 ：每次结转利息的实际利率 ： 1年结转m次利息的名义利率的年末累积值 ：实际利率i的年末累积值,由名义利率表示的实际利率为 由实际利率表示的名义利率为,例1-2. 某人准备按照10%的年

15、利率存入银行614元，每半年结转1次利息，试计算其5年后的本利和。（两种解法）,解法一 每半年的实际利率为10%2=5% 5年一共包含10个半年 因此，614(1+5%)10 1000元,解法二 先求出实际利率 再用复利终值公式求解,2、贴现率,某人用他未到期的1元，从银行换得（1-d）元的现值。这就相当于银行用（1-d）元的投资，在期末可以累积到1元，在期末赚d元的利息。 d：贴现率 实际贴现率的定义：一定时期内利息与期末累积值的比率（期初付利息）。,利率与贴现率的关系,二者计算基础不同 例如，某人用一张1年后到期的面额100元的票据去银行兑现，银行只给他90元，即预先扣除贴现值10元，那么

16、贴现率为10100=10%。银行期初支出90元，期末票据到期后可得到100元，这90元产生的利息为10元，利率为1090=11.11%。注意：虽然利息和贴现值相同，但利息是由银行在期末收取，贴现值是有持票人在期初收取（负值）；利率是利息与期初本金（现值）的比率。贴现率是贴现值与期末累积值（终值）的比率。 因此，利率表明资本在期末获得利息的能力，贴现率说明资本在期初获取利息的能力。,用贴现率表示利率： 用期末得到的利息按贴现因子v向期初贴现，得到期初预收的利息d 期末的1元在期初的现值可表示为v，v为贴现因子，也可表示为（1-d）,换算关系,四、利息力,关于利率的讨论是基于一个时期的，度量的是资

17、本在一定时期内获得利息的能力 为了掌握资本在任意一个时点获得利息的能力，需要引入“利息力”或“利息强度”的概念。 累积函数：期初的1元本金在t时刻的累积值 。 基本公式： 复利条件下：,1、利息力的定义,利息力是确定时点上的利息强度，也就是在无穷小时间区间上的利息。可以用累积函数的相对变化率来表示。,常 数,利息力是确定时点上的利息强度，也就是在无穷小时间区间上的名义利率水平，证明如下：,2、利息力与累积函数的关系,上式表明：累积函数可由利息力和时间长度唯一表示。,金额A(t)在dt时期内因利息力作用 而赚取的利息，将其积分即得到 n个度量期所赚取的利息总额,3、常数利息力,理论上，利息力可以

18、是变化的；实际上，利息力通常是常数。 从上式和复利累积函数 可知：,当利息力为常数时，利率也为常数； 利息力度量的是每个时点上的利息强度，实际利率度量的是一个时期的平均利息强度，所以当每个时点上的利息强度为常数时，这一时期的平均利息强度必为常数；反之则不保证！,4、思考：单利条件下的利息力,单利条件下的利息力如何表示，与复利条件下的利息力有何不同？ 单利条件下的利息力是时间的减函数，复利条件下的利息力与时间无关。,五、利息问题求解,1、利息问题求解四要素 原始投资额（本金） 投资时期长度 利率（含计息方式） 本金在投资期末的累积值,复利条件下的基本公式：,2、求解原则,本质：只要知道四要素中的

19、三个，就能求出第四个要素 分析工具：现金流量图 现金流 参考时点 方法：根据现金流特征进行分析建立求值方程 原则：在任意时间参考点，求值方程等号两边的现时值相等,3、求本金,例1-3 某人为了能在第7年末得到10元款项，他愿意在第1年末付出1元，第3年末付出4元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，请问X=？,以第7年末为时间参考点：,以第8年末为时间参考点：,还可以其它时间为参考点，请自行练习,4、求累积值,例1-4 某人现在(0时点)投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以1年结转2次利息的名义利率5%复利计息，后3年以恒定利息力3%计息。

20、请问到第7年末此人的投资可以获得多少钱？,解：,5、求利率,例1-5 某人1995年1月1日在银行账户上存入2000元，1998年1月1日又存入3000元，其间一直没有取出款项，到2000年1月1日其账户余额为7100元，请计算存款的实际年利率。,线性插值法,函数f(i)是i的增函数，如果能够找到一个i，使得上述函数值为0，那么此i就是要求的未知利率。 假设先设定两个关于i的粗估计值，分别记做i1和i2（ i1i2 ），并且函数值满足： 由于f(i)是i的增函数，所以未知利率i一定落在i1和i2之间。 该方法假设，在区间（ i1，i2 ）内，f(i)近似呈线性变化，区间（ i1，i2 ）的距离

21、越短，这种近似程度越好，所得的结果越准确。因此有：,6、求时间,例1-6 期初的2000元，按照每年结转4次利息的年名义利率5%投资，请问经过多长时间可以得到4000元？,求翻倍时间的粗略方法：72法则,作业1-1，假定i12分别为12%和6%，请问在这两种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要多少年？（请分别用精确法和72法则求解，比较求解结果）,第二节 年 金 汉英名词对照,年金 支付期 期末付年金 期初付年金 永续年金 变额年金 递增年金 递减年金,Annuity Payment period Annuity-immediate Annuity-due perpetuity Varyi

22、ng annuity Increasing annuity Decreasing annuity,一、年金的定义与分类,定义 按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。 分类 支付时间与支付金额是否确定：确定年金vs风险年金 支付期限长短：定期年金vs永续年金 支付周期不同：年付年金、月付年金连续年金 每期支付时点不同：期初付年金vs期末付年金 开始支付的时间不同：即期年金vs延期年金 每次付款金额是否相等：等额年金vs变额年金,二、基本年金,基本年金 相等的时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 代表种类

23、 付款时刻不同：期初付年金/期末付年金 付款期限不同：定期年金/永续年金,1、基本年金图示,0 1 2 3 - n n+1 n+2 -,1 1 1 - 1 0 0-,1 1 1 - 1 0 0 0-,1 1 1 - 1 1 1-,1 1 1 - 1 1 1-,期末付永续年金,期初付永续年金,期末付定期年金,期初付定期年金,2、基本年金的现值,期末付年金现值 期初付年金现值 期末付永续年金现值 期初付永续年金现值,例2-1一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换年名义利率9%，求此项年金的现时值。,例2-2 某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年

24、实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该是多少？ 设每年初的租金为R：,（思考）例2-3 有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年末发出5万元奖金，问在年实际利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？,此题为一个期末付永续年金问题,（思考）例2-4 有一笔10000元的贷款，为期10年。如果年实际利率为6%，比较下面三种还款方式，哪种支付的利息总额最多？ （1）在第10年末一次性偿付所有本息 （2）每年末支付当年的利息，在第10年末再偿付本金 （3）10年内每年偿付相等的金额，在第10年末刚好付清 已知：1.0610=1.7909，,（1）第10年末的累计值

25、10000 1.0610 =17909 利息总额=17909-10000=7909 （2）每年年末支付利息为 10000 0.06=600 10年共支付利息总额为600 10=6000 （3）期末付定期年金，每年年末偿付金额A： 10年共偿付的总金额为13590，利息总额为3590,3、基本年金的终值,期末付年金终值 期初付年金终值,4、现值与终值之间的换算关系,期末付定期年金现值与终值之间存在倒数关系，如下： 如何证明？,作业2-1，请同学们证明：,5、年金在任意时点上的值,年金在支付期限开始前任意时点上的值（延期年金） 延期m个时期的期末付定期（n期）年金的现值 延期m个时期的期末付永续年

26、金的现值 延期m个时期的期初付定期（n期）年金的现值 延期m个时期的期初付永续年金的现值,年金在支付期限内任意时点上的值 求解方法：可将原来的年金分解成两个新的年金，一个由该时点之前的付款组成，另一个由该时点之后的付款组成，因此，原来的年金在该时点上的值等于第一个年金的终值加上第二个年金的现值。,例2-5 某企业从银行获得一笔贷款，年实际利率为6%。假设企业每年末向银行偿付20000元，10年后可以还清贷款的所有本息。如果企业打算在5年零3个月时一次付清所有贷款本息，试计算企业应该一次性偿付多少。,再计算3个月的复利累计值，即为题目所求,分析：这实际是要计算10年期的期末付年金在5年零3个月末

27、的值。可以先计算年金在5年末的值，再计算它在5年零3个月末的值。,该年金在5年末的值可以表示为前5年付款的终值与后5年付款的现值之和。,年金在支付期限结束后任意时点的值 求解方法：可以先计算年金的终值，再按年金支付期限末到该时点的时间长度，计算其复利累积值即可。,补充： 之间的换算关系,三、一般年金,1、等额支付条件下的一般年金 （1）利息结转周期等于年金支付周期，但各时期利率不相同的情况可变利率年金 利息结转周期：结转一次利息所需的时间长度。比如每月结转一次利息，则利息周期为一月。 年金支付周期：支付一次年金所需的时间长度。比如每年支付一次，则支付周期为一年。 解题的关键：参考时点，现金流量

28、图,（）每笔年金支付款项都以其支付时的利率计算,以i1,i2,it分别表示第1,2,t期的利率。 期末付年金的现值： 期初付年金的现值： 期末付年金的终值： 期初付年金的终值：,（）每笔年金支付款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算,期末付年金的现值： 期初付年金的现值： 期末付年金的终值： 期初付年金的终值：,换算关系式： （请大家自行推导）,例2-6 某人每年年初向一基金投资1000元，为期5年。如果该基金前两年的年收益率为5%，后三年的年收益率为6%。计算该项投资在第5年末的价值。,前两年的投资在第5年末的价值： 后三年的投资在第5年末的价值： 该项投资在第5年末的总价值：,思考：如果

29、收益率保持5%不变，该项投资在第5年末的价值是多少？如果收益率保持6%呢？请将这两个结果与题目所求结果比较。,例2-7 某人每年年初向一基金投资1000元，为期5年。如果前两年的投资按年实际利率5%计算，后三年的投资按年实际利率6%计算。计算该项投资在第5年末的价值，并把结果与例2-6比较。,前两年的投资在第5年末的价值： 后三年的投资在第5年末的价值： 该项投资在第5年末的总价值：,（2）各时期利率相同，但利息结转周期不等于年金支付周期的情况,（）每个支付周期结转k次利息（结转周期支付周期）,n:总的利息结转次数,k:每个支付周期的利息结转次数,n/k 表示年金的支付次数,例2-8 某人在前

30、两年的每年年初向一基金存入1000元，在后三年的每年年初存入2000元。如果该基金每月结转一次利息，月实际利率为0.5%，试计算该项投资在第5年末的价值。,这是一个每年支付1次、每年结转12次利息的期初付年金问题。 对应的年实际利率为： 本题可看为两项年金之和，第一项是从现在开始每年年初存入1000元，为期5年，到第5年末的价值为 ；第二项是从第3年开始每年年初存入1000元，为期3年，到第5年末的价值为 。 该项投资在第5年末的总价值为：,方法二：建立新的年金公式，每个支付周期的实际利率为i，利息结转总次数为n，支付总次数为n/k,例2-9 对于例2-8，请按新建的年金公式法重新计算结果。,

31、本题可看为两项年金之和，第一项是从现在开始每年年初存入1000元，为期5年；第二项是从第3年开始每年年初存入1000元，为期3年。对于第一项年金，总的利息结转次数为n1=60，对于第二项年金，总的利息结转次数为n2=36。而每个支付周期的利息结转次数k=12，由期初付年金的终值公式可知：,（）每个利息结转周期支付m次年金（结转周期支付周期）,0,第m次每次支付,第2m次每次支付,第nm次每次支付,计息,支付,1,2,n,n:总的利息结转次数,m:每个利息结转周期包含的支付次数,nm 表示年金的支付次数,i:每个利息结转周期的实际利率,方法一：利率转换,例2-10 一笔50000元的贷款，计划在

32、今后的5年内按月偿还，如果每年结转2次利息的年名义利率为6%，试计算每月末的还款金额。,年实际利率为： 月实际利率为： 期末付年金的支付次数有512=60次，设其每次支付金额为X，则有：,方法二：建立新的年金公式,例2-11 对于例2-10，请按新建的年金公式法重新计算结果。,根据题意可知，总的利息结转次数n=52=10，每个利息结转周期（半年）的年金支付次数m=6，每个利息结转周期的实际利率i=3%。设每月还款金额为X，那么每半年的还款就是6X，根据期末付年金公式可得：,例2-12 某人现在投资20000元，希望在今后的每月末领取100元，并无限期领取下去，那么年实际利率应该为多少？,期末付

33、永续年金问题，每个利息结转周期支付m=12次，每个支付周期末领取100元，则每个利息结转周期（每年）领取1200元，设年实际利率为i，有：,m趋于无穷大时的特例：连续年金,定义：在一个利息结转周期内支付次数趋于无穷时的年金，也就是连续不断进行支付的年金。 连续年金在现实生活中并不存在，但可以将一些支付频率很高的年金，比如每日支付一次的年金，近似考虑为连续年金。 对于连续年金，期初与期末融为一点，即无所谓期初付或期末付。,假定总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的实际利率为i，在每个利息结转周期内连续支付的年金的支付总量为1元，那么：,连续年金的现值 连续年金的终值 连续年金与基本年金的关系,

34、例2-13 当利息力为多少时,有,2、非等额支付条件下的一般年金：变额年金,（1）等差年金 （）递增年金：假设一项年金在第一期末支付1元，第二期末支付2元，第n期末支付n元，那么此项年金是按算术级数递增的期末付年金，其现值： 其终值：,（）递减年金：假设一项年金在第一期末支付n元，第二期末支付n-1元，第n期末支付1元，那么此项年金是按算术级数递减的期末付年金，其现值： 其终值：,例2-14 某人希望购买一项年金，该年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，那么该年金的现价应该为多少？,该年金可以表示一项等额年金（每年年末付款900元）

35、和一项递增年金（每次增加额为100元）之和。 原年金 1000 1100 1200 1800 1900新等额年金 900 900 900 900 900新递增年金 100 200 300 900 1000由此可得原年金的现值：,例2-15 一项年金在第一年末付款1元，以后每年付款额增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，付款额每年递减1元，直至最后一年付款1元。试写出该项年金的现值表达式。,该年金可视为一项n年期的递增年金与一项延期n年的（n-1）年期的递减年金之和。其现值为：,（2）等比年金：一项年金在第一年末付款1元，在第二年末付款(1+r)元，在第三年末付款(1+r)2元，在第n年末付款

36、(1+r)n-1元，那么该项年金就是按几何级数增长的，又称等比年金，其中公比(1+r)0。当r0时，年金是递增的，当r0时，年金是递减的。设其现值为A：,从上面公式看出，当ri时，极限发散，永续年金不存在现值。 该年金的终值可通过现值与终值的关系式（F=(1+i)nA）求得，请自行求解。,作业2-2 一项年金第1年末付款1元，从第2年开始每年年末付款增加1元，直至第10年末付款10元，然后保持在每年年末付款10元的水平，一直到第20年末为止。试写出该项年金的现值表达式。 作业2-3 某项期末付永续年金的第一年末付款额为5000元，以后每年末的付款额是前一年的1.05倍，如果年实际利率为8%，试

37、计算该项永续年金的现值。,第三节 资本预算（投资收益分析）汉英名词对照,贴现资金流 收益率 再投资率 时间加权利率 币值加权利率,Discounted cash flow yield rate Reinvestment rate Time-weighted rates of interest Dollar-weighted rates of interest,一、投资收益分析的基本方法,如何评价一个 项目的收益水平？,如何从多个项目中选择 合理的项目进行投资？,1、收益率法,定义：收益率又称内涵报酬率(IRR)，它是使得未来资金流入的现值与资金流出的现值相等时的利率，也可以定义为使得资金净流入

38、的现值为零时的利率。 求解原理： 决策原则： 单个投资项目决策：投资项目的收益率大于或等于投资者要求的收益率时，该项目可行；否则就不可行。 多个投资项目决策：各个项目的收益率要大于投资者要求的收益率，且选择收益率最大的投资项目。 借款决策：如果向别人借款，应选择收益率最小的方案，即借款成本最小的方案。,例3-1 某人今年30岁，最近看重了一套商品房，房价80万，另外还需缴纳保险费、印花税等税费2.5万，共计82.5万。现有两套方案可供选择：方案一：分期付款买房零首付，向银行贷款82.5万，期限30年，每月末还款5000元。方案二：租房策略每月末向房东支付租金3500元，一直租到死亡为止（假设此

39、人预期今后还能活50年，即80岁时死亡）试比较两种方案。,设两种方案的内涵收益率分别为IRR1和IRR2（均为年名义利率）,方案一： 方案二：,由于IRR2IRR1，因此采用租房策略是合理的。,思考：当月租金等于多少时，这两种方案对此人是一样的？,思路：基于方案一的IRR1求方案二的月租金R。,2、净现值法,定义：根据所要求的收益率得到的资金净流入的现值。 求解原理： 特点：大多数情况下，净现值是利率的单调减函数，利率（所要求的收益率）越高，净现值越小。 决策原则： 单个投资项目决策：项目净现值大于或等于零时，项目可行；否则则不行。 多个投资项目决策：项目的净现值不能小于零，并且选择净现值最大

40、的投资项目。 借款决策：如果向别人借款，应该选择净现值小于零的方案，且净现值越小越好。,例3-2 已知条件同例3-1，但此人要求贷款成本不能超过5%，请大家为他选择合适的方案。,由于NPV10 , NPV20 ，因此租房策略是可取的。,方案一： 方案二：,小结：,当存在唯一的IRR时，收益率法和净现值法是等价的，即在比较相同的项目时，两种方法会得到相同的结论。 设i为所要求的收益率，则有： 净现值法需要确定所要求的收益率，其计算复杂程度低于收益率法（收益率法很多时候要通过计算机求解），从而也相对优于收益率法。,3、收益率（IRR）的唯一性,例3-3 某人在第一年初向一基金投资1000元，在第一

41、年末不仅提走年初投资的1000元，还从基金中借出1150元，在第二年末他向该基金偿还了1155元。试计算该项投资的收益率。 该题的资金净流入如下 时间： 0 1 2 净流入：-1000 2150 -1155,假设收益率为IRR，可建立方程如下：,在多重收益率的情况下，无法评价项目的可行性。,（1）多重收益率出现的原因：在收益率是高次方程的解的情况下，它的值可能不唯一。 （2）收益率唯一的判断准则： 如果资金净流入只改变过一次符号（正负方向），那么收益率是唯一的。（此判断准则较粗糙） 如果用收益率来计算各年资金净流入的累积值，该累积值始终为负，直到最后一年末才为零，那么此收益率是唯一的。,（3）

42、当收益率不是唯一时，净现值不再是利率的单调减函数，因此也无法用净现值法评价项目的优劣。,二、再投资收益率,在对多个不同投资期限的项目进行选择时，不仅要比较他们的收益率，还应知道他们的再投资收益率。 以前上课讲到的复利，都是假设再投资收益率等于利率。 现实生活中，很多时候再投资收益率不等于初始收益率： 如果债券的利息不按时取出，那么债券发行人通常以某一较低利率计息或不计息； 投资者即使取出债券利息进行再投资，所得的再投资收益率也不一定等于债券的息票率或定价时的利率。,例3-4 有两个投资方案可供我们选择：A方案：实际利率为10%，为期5年B方案：实际利率为8%，为期10年假设两项方案的期初投入本

43、金都相等，投资期间没有现金流进、出，所面临的风险也相当，并且均是在到期时一次性支付本息，请问我们应该选择哪项投资？,A、B方案的资金积累过程,可见，只有当五年后的再投资利率6.036%时，方案A才优于方案B。否则，我们应该选择方案B。 本例子可以算是一个本金的再投资问题。,假设后面五年的再投资利率为j，如果方案A和方案B是没区别的，那么，应该有：,例3-5 期初投资1元，投资期限为n年，年实际利率为i。若每年的利息按年实际利率j进行再投资，试计算：这项投资第n年末的累积值；该项投资的年平均实际收益率。,这是一个利息的再投资问题。由题目可知，这项投资在每年末可以产生i元的利息，在n年投资期内，这

44、些利息收入构成了一个每年末支付i元的n年期等额期末付年金，此年金的实际利率为j，因此其终值为：,在第n年末还有1元的本金返还，因此整个投资在n年末的累积值为：,假设该项投资的年平均实际收益率为x，则应有：,x、i、j之间具有如下关系：,当i=j时，即再投资收益率等于原始投资的利率，那么可以得到复利的累积值公式：,例3-6（练习）某人在年初向你贷款10000元，年实际利率为9%，为期3年，所还贷款的再投资收益率为6%，现有以下三种还款方式：（1）每年年末还一次，每次还款额相等（2）每年末将本年的利息给贷款人，本金在第3年末归还（3）第3年末将本金和利息一次性还给贷款人请比较上述三种还款方式中贷款

45、人的投资收益率。,方式（1）每年的还款额：所有还款在第3年末的累积值：设贷款人的投资收益率为i1，则有：,方式（2）每年的利息：所有利息在第3年末的累积值：设贷款人的投资收益率为i2，则有,方式（3）对于一次性还款方式，再投资收益率就等于收益率，即：,结论：,如果再投资收益率小于（初始）利率，那么还款速度越慢，投资者（贷款者）的实际收益率就越大； 反之，如果再投资收益率大于（初始）利率，那么还款速度越快，投资者（贷款者）的实际收益率就越大； 还款速度越快，再投资就越重要；反之，初始投资就越重要。,第四节 债务偿还汉英名词对照,分期偿还方法 分期偿还表 偿债基金 偿债基金表,Amortizati

46、on method Amortization schedule Sinking fund Sinking fund schedule,一、债务偿还方式,分期偿还： 借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。 偿债基金： 借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。,二、分期偿还法,常见分期偿还类型 等额分期偿还 变额分期偿还 递增分期偿还 递减分期偿还 分期偿还五要素 还款时期 每次还款金额 每次偿还利息 每次偿还本金 未偿还贷款余额,1、等额分期偿还最基本、应用最广泛的一种分期偿还法,（1）每

47、次还款金额 假设贷款本金为L0，期限n年，年实际利率i，每次还款金额R，则有：,（2）未偿还贷款余额 定义：截止计算日尚未偿还的贷款本金。 假设L0为期初的未偿还贷款余额（即贷款本金）， L1为第一期末的未偿还贷款余额， L2为第二期末的未偿还贷款余额， Ln为第n期末的未偿还贷款余额（ Ln=0）。 注意：第k期末的未偿还贷款余额是在第k次付款后计算的，也因此等于第k+1期初的未偿还贷款余额。 计算方法 过去法：基于过去已偿还的贷款计算未偿还的贷款余额，即从原始贷款中减去过去已经偿还的贷款则可得未偿还贷款余额。 将来法：基于将来要偿还的金额计算未偿还余额，即把将来需要偿还的总金额折现成计算日

48、的现值就可得未偿还贷款余额。 方法选择 上述两种方法是等价的，但实际应用时，如果已知将来的付款金额和付款次数，那么用将来法较简便；反之，过去法较简便。,A、过去法：,每期期初贷款余额： L0， L1， L2， Ln （ Ln =0） 每期的利息： iL0， iL1， iL2，,， iLn（ iLn=0） 每期偿还金额：R 各期偿还的贷款金额=每期偿还金额-当期的利息： R- iL0， R- iL1 ， R- iL2， R- iLn 各期期末的未偿还贷款余额 =各期期初的贷款余额-各期当期偿还的贷款金额 第1期末： 第2期末： 第3期末： 第k期末：,原始本金的累积值,所有已偿还款项的累积值,B

49、、将来法：,第k期末，将来还需偿还（n-k）次，那么未偿还贷款余额则为：,请自行证明用过去法和将来法计算的同一时点的未偿还贷款余额是相等的。（提示：利用L0和上述两种 Lk公式）,（3）每次偿还利息和每次偿还本金 每次偿还的金额R中，既有对贷款本金的偿还，又有当期利息的支付。 设第k期初未偿还贷款余额为Lk-1，那么第k期末应该支付的利息Ik为： 在当期偿还的总金额R中，偿还的贷款本金Pk为： 其中：k=1，2，3,n,2、分期偿还表：以“每年年末等额偿还1元，期限n年的贷款”为例,3、结论,在等额分期偿还法中，借款人偿还的贷款金额是逐期递增的。即：借款人在初期偿还的本金较少，而在后期偿还的本

50、金较多。 由于每期的还款金额是固定的，因此借款人支付的利息金额是逐期递减的。,例4-1 一笔100000元的贷款，5年还清，每年末还款一次，每次还款额相同，年实际利率为6%。请计算： （1）每次偿还的金额 （2）各期的未偿还余额 （3）在每次还款金额中的利息和本金,每次的还款金额：,三、偿债基金法,常见偿债基金类型 等额偿债基金 变额偿债基金 偿债基金六要素 还款时期 每期偿还利息 每次存入偿债基金金额（储蓄额） 每期偿债基金所得利息 偿债基金累积额 未偿还贷款余额（贷款净额）,注意： 偿债基金名义上归借款人所有，但借款人不能动用这笔资金，往往由贷款人控制； 偿债基金的利息也用于偿还贷款本金； 偿债基金的利率与贷款利率并不一定相等。,1、等额偿债基金,假设（已知条件） L：初始贷款本金 n：贷款期限 i：贷款利率 j：偿债基金利率 （1）每