数字信号4.ppt

1、1,离散傅里叶变换，是对有限长序列傅里叶变换的 有限点离散采样，开辟了频域离散化的道路，使数 字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行。,第四章 离散傅里叶变换(DFT),的快速算法,使信号的实时处理和设备的简化得以实现。,DFT在各种信号的处理中起着核心作用。 本章主要内容：DFT的定义，物理意义。 DFT的基本性质。频域采样和DFT的应用例子。,(无限长序列，有限长序列)。,4.1 引言,2,4.2 离散傅里叶变换的定义 4.2.1 DFT的定义 第2章中DFS变换对,令,，对于一个长度为M的有限长序列，定义,的N点离散傅里叶变换对为：,N称为DFT变换区间长度,3,证明：,由于,因而,

2、由此可见，离散傅里叶逆变换定义是惟一的。,4,例：,求：,解：变换区间N=8则,变换区间N=16则,由此可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的区值有关。,的8点和16 点DFT。,5,4.2.2 DFT和Z变换的关系,比较以上等式可得：,或,6,例：上例结果,上式表明序列,的N点DFT是x(n)的z变换单位圆上的N点等间隔采样。或者 是X（K）为x(n)傅里叶变换,上的N点等间隔乘样。,这就是DFT的物理意义,7,8,4.2.3 DFT的隐含周期性与DFS的关系 ,由于,9, 将x(n)以N为周期，进行周期延拓，成为周期序列,。则,.,隐含着周期性。,10,上进行N点等间距采样。

3、当自变量K超出DFT变换区间时，必然得到,以外区间上,的采样，且以N为周期重复出现，得到,例：比较,11,4.3离散傅里叶变换的基本性质及定理 4.3.1 线性性质,令,12,由于,4.3.2 隐含周期性,设：,13,4.3.3 循环移位性质,表示将：,序列按周期N延拓成周期序列，左移M位，再取,区间主值区。即为序列的循环移位。,1. 序列的循环移位,14,循环移位过程示意图N=5,15,2时域循环移位定理,为长度为N的有限序列。,则,可以用定义证明。,设,为 的循环移位，即,证明：,16,3. 频域循环移位定位 如果,令 ，则有,17,1. 复共轭序列的DFT 设,则,且,4.3.4 DFT

4、的共轭对称性,18,证明：,由,的隐含周期性，有,同理可得：,19,2. DFT的共轭对称性 FT的对称性是指关于坐标原点的纵坐标的对称性, DFT的对称性是指关于N/2点的对称性。,1) 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列,：有限长共轭对称序列，,：有限长共轭反对称序列，,即：,20,当N为偶数时，将上式中的n换成,，可得到：,21,任何有限长序列,都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对对称分量之和。,22,2) DFT的共轭对称性,其中,23,24, 有限长实序列DFT的共轭对称性。, 如果, 如果,25,实际中对实序列进行DFT。利用上述对称性质，可减少DFT运算量。 计算实序列的N点DF

5、T时：,应用方法：,利用DFT的共轭对称性，通过计算一个N点DFT，可以得到两个 不同实序列的N点DFT。,26,为两个实序列构成新序列,如下：,对,进行DFT，得到：,由公式求得：,所以,设,27,有限长序列,长度分别为,如果,则,4.3.5 循环卷积定理,设 N=8,28,设 N=8的时域循环卷积,29,称为（时域）循环卷积（可以用定义证明） 。,不同。,30,证明：,同样可证明频域循环卷积定理。,31,如果：,则：,式中,频域循环卷积定理,32,4.3.6 频率域采样,设任意序列,的Z变换为,在单位圆上对,等间隔采样N点得到：,也表示在区间,上，对,的傅里叶变换,的N点等间隔采样。,时域

6、采样,频域采样？,33,将,看作长度为N的有限长度序列,，即,关系,频域采样定理,34,将,代入上式,，得,式中，,35,所以,以上说明：,在单位圆上的N点等间隔采样,的IDFT，为原序列,以N为周期的周期延拓序列,的主值序列。,36,如果序列,的长度为M，则只有频域采样点数,才有：,即可由频域采样恢复原序列，否则产生时域混叠现象。 这就是所谓的频域采样定理。,长度为M，在频域,之间等间隔采样N点,则有,式中：,时，,用频域采样表示Z变换：,37,将上式代入Z变换表示式中：,令,称为内插函数,则,称用,的内插函数和内插公式,38,的内插函数公式,即得：,时，,的傅里叶变换,的内插函数公式，,当

7、：,39,进一步化简，可得,频域采样理论及有关公式可提供一种有可用的滤波器结构 和滤波器设计途径。,40,FFT 使DFT在数字通信、语音信号处理数值分析等 各个领域得到广泛应用。 DFT计算卷积和相关系数的基本原理； DFT对连续信号和序列进行谱分析等最基本的应用。,4.4 DFT的应用举例,4.4.1用DFT计算线性卷积.,设,41,计算框图：,在实际应用中，为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列 进行滤波处理，都需要计算两个序列的线性卷积。,都是有限长序列分别是N和M。,其中,线性卷积：,循环卷积：,设,42,其中,43,说明：,以L为周期的周期延拓序列的主值序列。,长度为,，因此只有

8、当循环卷积长度,以L为周期进行周期延拓才无混叠,线性卷积,现象。,此时取主值序列显然满足：,44,计算线性卷积的算法：,为有限长序列。其长度分别为N和M，计算L长度的循环卷积,当,时，其循环卷积就等于线性卷积，即,对于,用DFT(FFT)计算线性卷积框图如下：,点全部补上零。,设,45,例：已知,如图所示，用循环卷积法求线性卷积。,5,1,46,1,1,47,如果两个序列长度相等相差很大，MN时，短序列 需补很多零。需要占用存贮容量大。处理时间延时很大， 很难实时处理，如对语言信号和地震信号的实时处理，就 成问题了。解决方法是利用分段处理法。 分段处理是将长序列均匀分段，然后逐段处理，有重 叠

9、相加法和重叠保留法两种。下面主要介绍重叠相加法。,48,重叠相加法：,为无限长序列。将,均匀分段，每段长M。,式中,于是,设：,则：,49,上式中：,序列长度,序列长度,将重叠的部分进行相加。如图所示。,50,51,52,用DFT对连续信号进行谱分析。,信号的谱分析：就是计算信号的傅里叶变换。DFT是一种时域 和频域均离散化的变换，适合数值运算，是分析离散信号和系 统的有利工具。 对连续信号和系统，可以通过时域采样，应用DFT进行近似谱分析。,是,在频率区间,上的N点等间隔采样。,4.4.2 用DFT对信号进行谱分析,都为有限长序列。,由FT理论可知： 信号持续时间有限长，则其频谱无限宽。 若

10、信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。,连续信号,53,处理方法： 对频谱很宽的信号，为了防止时域采样后产生频谱混迭失真， 可用预滤波器滤除幅度较小的高频成分。fs 2fc,对于持续时间很长的信号，采样点数太多以致无法存贮和计算， 只好截取有限点进行DFT。去掉幅度很小的部分时间信号。 上述可见，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的，其近 似程度与信号带宽，采样频率和截取长度有关。工程角度看，滤除 幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。,54,设 ：连续信号,持续时间为,，最高频率为,FT：,对,以采样间隔,采样得,共采样N点，对,作零阶近似,，得,的连续周期函数，周期为

11、采样频率,55,对,在区间,上等间隔采样N点，采样间隔为F，,将,令,56,同样可以由,推导出,57,58,直接由分析结果,N个点离散采样点的谱特性。这就是所谓的栅栏效应。,要进行截断处理，还会产生频混和泄漏现象。,的全部频谱特性，而只能看到,如果，对,由课本上理想低通滤波器的单位冲激响应及频响函数可知，如 对信号进行截断处理，会发现，低频部分近似理想低通频响特 性，而高频部分误差较大，且整个频响都有波动。这些差别都 是截断所产生的。为了减少这种截断误差，可适当增长TP，增 加采样点数N，然后再进行DFT。 对连续信号进行谱分析，主要关心两个问题：谱分析范围和频率分辨率，分别与fs和F有关。,

12、59,增加谱分析范围，提高采样频率,频率分辨率：,谱分析范围：,当fs提高了，F变小，即频率分辨率变低； 如保持fs不变，增加采样点数N，F变小，即提高频率分辨率。,只有增加对信号的观察时间TP，才能增加N。,60,例：对实信号进行谱分析，要求,，,求,如果,不变要求谱分辨率增加一倍，求,解 ,在应用中，,甚至,可得到更好的频谱分辨率。,61,2.用DFT对序列进行谱分析,的N点等间隔采样。对序列,由此序列的FT 可利用DFT(即FFT)来分析计算。,由于DFT的隐含周期为N,式中：,因而可用 的频谱结构。,62,。,(1)如果截取长度M等于 的整个周期，即M=mN，m为正数，则,详情见p90

13、,63,设：,，,，,也能表示 的频谱结构。,64,（2）如果 的周期预先不知道。,将截取长度扩大1倍截取，得,比较,，如果二者的主谱差别满足分析误差要求，则,近似表示,进行DFT分析，直到主频谱差别达到要求为止。,的频谱。否则，连续扩大截取长度，,可先截取M点进行DFT，即,65,（3）在很多实应用中，并非整个单位圆上的频谱都很有定义。,例如，对于宽带信号往往只希望对信号所在的一段频带进分析，这时便 希望采样距离密集地在这段频带内进行，而带外部分可完全不予考虑。 另外，有时希望采样点不局限于单位圆上。 例如，语言信号处理中，常常需要知道系统极点所对应的频率，如果极 点位置离单位圆较远，则其单

14、位圆上的频谱很平滑，这时很难从中识别出 极点对应的频率。如果使采样点轨迹沿一条接近这些极点的弧线或圆周进 行，则采样结果将会在极点对应的频率上出现明显的尖峰，这样就能准确 地测定出极点频率。,可得N点频率样点。,在同心圆周上采样N点，,66, 在螺旋弧线线上采样，称为线性调频Z变换,前一种方法：计算序列,在半径为,的圆上的频谱,令,则,这种方法的计算量大。下面主要介绍CZT。,变换，,简称（CZT）。,67,3.,设序列,长度为N，要分析Z平面上M点频谱采样值，分析点为,式中A和W为复数，用极坐标形式表示为,式中，,为实数，当K=0时，有,A决定谱分析起点始点,的位置，,的值决定分析路径的盘旋

15、趋势，,则表示两个相邻分析点之间的夹角。,，,68,如果 ，随着K增大，分析点 以 为步长向外盘旋；,如下图所示：,将,代入Z变换公式得到,如果 ，随着K增大，分析点 以 为步长向内盘旋；,69,可以想象成其频率随时间线性增加的复指数序列，在雷达,令,则,当,系统中，这样的信号称作线性调频信号，用,故称上述变换为线性调频Z变换，简称,。,表示,70,用DFT（FFT）计算,变换的原理和实现步骤。,无限长序列,谱分析点数为M，只要 区间上的卷积结果。,因此 ，只要计算出 区间上的M个值就可以了。,无限长序列,原理：,71,取主值序列形成,用循环卷积计算线性卷积,要截取区间 上的 值，长度为(N+

16、M-1)。,y(n)的长度为N。V（n）长度为2N+M-2,（,而,在0,M-1区间上没有混叠。,以L为周期进行周期拓展，,的尾部要补 个零，可用循环卷积计算线性卷积。,72,（1）形成,序列,（2）,（3）,（4）,（5）计算,（7）,步骤：,（6）,73,总之， 变换用作谱分析时，具有灵活、适应性强 和运算效率高等优点。,（4）当 时， 均匀分布在单位圆上， 此时 变换就是序列的DFT。因此可说，DFT是 变换的特例。,（2）分析频率点 的起始点 及相邻两点的夹角 是任意的（即频率分辨率是任意的），因此可从任意频率上开始，对输入数据进行窄带高分辩率的谱分析。,与标准 DFT（FFT）算法相

17、比较，,（1）输入序列长度N和输出序列长度不需要相等。且二者均可为素数。,（3）谱分析路径可以是螺旋形的。,变换有以下特点：,74,误差造成：对连续信号采样和截断； 对非时限数据序列的截断。,采取措施，预滤波，,4有DFT进行谱分析的误差问题,（1）混叠现象：,以下分别对可能产生误差的三种现象进行讨论：,75,N点DFT是在频率区间0，2上对信号的频谱进行N点等间隔采样， 好象从N个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，称为栅栏效应。 有可能漏掉（挡住）大的频谱分量。,采取措施：增加频率采样点数和采样位置。对模拟信号提高采样频率，增加采样点数。,（2）栅栏效应：,76,对x(n)无限长序列的截断，才能用DFT对其进行谱分析。,（3）截断效应：