人教版初中数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax²的图像和性质》教学课件

1、22.1 二次函数的图像和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的 图像和性质,人教版 数学 九年级 上册,（1） 你们喜欢打篮球吗？,导入新知,（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？,素养目标,3.能根据图象说出抛物线y=ax的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.,1.正确理解抛物线的有关概念.,2.会用描点法画出二次函数y=ax的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax的开口方向与a的符号有关.,二次函数y=ax2的图象的画法,画出二次函数y=x2的图象.,9,4,1,0,1,9,4,1. 列表：在y =

2、 x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：,探究新知,2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）,3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象,探究新知,-3,3,o,3,6,9,当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：,x,y,二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.,这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴.,对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点.,探究新知,画出函数y=-x2的图象.,探究新知,根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.,1.yx2的图象是一条

3、抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点,二次函数y=ax2的图象性质,探究新知,说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.,1.y-x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点,探究新知,1. 顶点都在原点（0,0）;,3. 当a0时，开口向上； 当a0时，开口向下,2. 图像关于y轴对称;,探究新知,二次函数y=ax2的图象性质,观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a0)的关系是什么？,二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对

4、称.,x,y,O,y=ax2,y=-ax2,探究新知,二次函数y=ax2的性质,1.观察图形，y随x的变化如何变化？,探究新知,对于抛物线 y = ax 2 （a0） 当x0时，y随x取值的增大而增大； 当x0时，y随x取值的增大而减小.,探究新知,二次函数y=ax2的性质,2.观察图形，y随x的变化如何变化？,探究新知,对于抛物线 y = ax 2 （a0） 当x0时，y随x取值的增大而减小； 当x0时，y随x取值的增大而增大.,探究新知,二次函数y=ax2的性质,解：分别填表，再画出它们的图象，如图：,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,8,4.5,2,0.5,0,8,4.

5、5,2,0.5,在同一直角坐标系中，画出函数 的图象,探究新知,【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？,当a0时，a越大，开口越小.,探究新知,【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数 的图象,-8,-4.5,-2,-0.5,0,-8,-4.5,-2,-0.5,-8,-4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,探究新知,当a0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.,【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？,对于抛物线 y = ax 2 ，a越大，抛物线的开口越小,探究新知,位置开 口方向,对称性,顶点最值,增减性,开口向上,在x轴上方,开口向下,在x轴下方

6、,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称，对称轴是直线x0,顶点坐标是原点（0，0）,当x=0时，y最小值=0,当x=0时，y最大值=0,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,探究新知,（3）函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ;顶点是抛物线的最 点,（2）函数y=3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点 是 顶点是抛物线的最 点.,（1）函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),（4）函数y= 0.2x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 .,向上,y轴,(0,0),向下,y轴,(0,

7、0),高,低,填一填,探究新知,例1 已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式,m2+m,解: 依题意有:,m+10 ,m2+m=2 ,解得:m1=2, m2=1,由得:m1,因此 m=1,此时,二次函数为: y=2x2.,利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值,探究新知,已知 是二次函数，且当x0时，y随x增大而增大，则k= .,解： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0. 因此，,，解得k=2 .,2,巩固练习,1.,二次函数y = ax2的实际应用,二次函数y=ax2是刻画客观世界

8、许多现象的一种重要模型.,物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值）,质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值）,物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值）,探究新知,例2 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2， （1）求S与C之间的二次函数关系式； 即：S= （c0） （2）画出它的图象； （3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长； （4）根据图象，求出C取何值时，S 4cm2.,二次函数y=ax2与不等式的综合运用,注意自变量的范围,探究新知,解：（1）正方形的周长为Ccm， 正方形的边长为 cm，

9、S与C之间的关系式为S = ； （2）作图如右： （3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm （4）若S 4cm2，即 4，解得C 8,.,，或c-8(舍去）.,因此C 8cm.,探究新知,(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_ y2；(填“”“”或“”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和,巩固练习,2 已知二次函数y2x2.,(2)解：二次函数y2x2的图象经过点C， 当x2时，y2228. 抛物线和长方形都是轴对称图形，

10、且y轴为它们的对称轴， OAOB， 在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， S阴影部分面积之和2816.,巩固练习,二次函数yax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解,探究新知,已知抛物线y=ax2(a0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ） A.y10y2 B.y20y1 C.y1y20 D.y2y10,C,巩固练习,1.函数

11、y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 .,2.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 .,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),减小,减小,增大,增大,x,x,y,y,O,O,课堂检测,基础巩固题,3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .,k1,4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：,向上,向下,向下,向上,y轴,y轴,y轴,y轴,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,O,课堂检测,基础巩固题,已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围,解：在二次函数y=x2中，a=10 因此当x=0时，y有最小值. 当xm时，y最小值=0， m0,课堂检测,能力提升题,已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积,解：由题意得 解得 因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1) 直线y3x4与y轴相交于点C(0，4)，即CO4.两交点与原点所围成的三角形面积SABOSACOSBOC.在BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在ACO中，OC边