对流差分方程 毕业论文.ppt

1、对流占优扩散方程的特征差分法,班级：数应062 姓名：郑杰 指导老师：王传丽 2010.06.15,河南科技大学数学与统计学院2010届毕业生论文答辩,前 言,随着现代工业的发展和人类活动的加剧，污染物以及悬浮颗粒排入大气、江河、湖 泊和海洋中，它们在大气及水体中的变化过程都可以概括为对流扩散问题的各种数学模型。但是对于大部分对流扩散方程来说，很难找出它们的解析解，因此 ,对流扩散方程的数值解法就显的尤为重要。,内容简介,有限差分法的基础知识 中心显示格式和迎风格式及其收敛性分析 基于线性插值的一般特征差分法 基于双线性插值的特征差分法 数值算例,考虑一维对流扩散方程的初边值问题,其中a,v为

2、常数，v0。当a远大于v时，即为对流占优问题。 我们已经很熟悉对流方程和扩散方程的差分方法，两者结合起来就可以得到求解对流扩散方程的差分方法，但另一方面，对流扩散方程也有自己的特点，特别是所谓对流占优扩散问题，这类问题的差分方法引起了特别重视。,（1）,初值条件： 边值条件：,中心显示格式,下面我们利用以上基本知识推导出 对流占优扩散方程的常用差分格式： 时间导数用向前差商、空间导数 用中心差商来逼近，那么就得到了（1） 式的差分格式 （2） 显然，格式（2）的截断误差为 。如果v=0，那么（2）式就是对流方程的一个差分格式。我们知道，这是一个不稳定的差分格式。,下面对于 来讨论差分格式（2）

3、的稳定性，若令 那么差分格式（2）可改写为 （3） 容易求出这个差分格式的增长因子,其模的平方为 由差分格式稳定的充分条件 知： 差分格式（1）的稳定性限制为 （4） （5） 条件（5）即为扩散方程向前差商格式的稳定性条件。由于增加了对流项，因此时间步长增加了限制（4）式。,迎风差分格式,在一阶空间偏导数离散中采用单 边差商，那么逼近（1）式的迎风差 分格式为 容易看出，（6）式的截断误差为 。 为讨论区稳定性，可以把（6）式写成（2）式的形式，即,（6）,迎风差分格式的稳定性条件为 ： 迎风格式是一阶精度的差分格式，但在实际计算中还是经常采用的，特别是当对流项系数比扩散项系数大很多的情况，即

4、所谓对流占优扩散问题，采用中心格式已经不能很好计算问题的结果，而用迎风格式可以计算出问题的近似解。,基于线性插值的特征差分法,对于比较特殊的对流占优问题，由于方程呈现出双曲型方程的基本特性，需要考虑能反映双曲型方程的特征性质的数值解法特征有限差分方法正是这样一类方法。 考虑变系数对流占优扩散方程：,（7）,令 ，则与算子 相伴的特征方向为： 而且沿着特征方向导数为： 故（7）中的方程可以化为： （*）,假设已知第n层上各网点的值，欲求第n+1层上的数据。下面考察自点出发的特征线。并根据特征线斜率的不同取值可以分四种情况讨论：,下面着重讨论 的情况： 此时特征线与直线 交于点 ，可以用下列近似公

5、式逼近特征方向导数： 用二阶中心差商逼近扩散项：,分别记 为用差商近似替代特征方向导数的局部截断误差， 为用差商近似替代扩散项。于是有： 略去截断误差，则得到求解初边值问题（7）的特征差分格式： （8）,其中， 为以 为节点作线性插值的插值函数： （9） 用能量估计法可证明 格式是收敛的，整体 误差为 ， 且该格式是无条件稳 定（详细证明见 论文15-17页）。,基于双线性插值的特征差分法,取空间步长 ，节点 ， ，时间步长 ，节点 ， ，沿特征线作如下差商离散 （10） 这里 为点 的坐标， ，令 ， 则由 得 ，则知 并求得 于是由（10）式可以得到,为局部截断误差，记二阶中心差商 并对扩

6、散项用二阶中心差商来逼近 （11）,为二阶中心差商的局部截断误差，这样由（10）、（11）两式变得 （12） 其中 （13） （14） （15）,略去中的 ，则得到求解初边值问题的特征差分格式 （16）,格式(16)中的 由 四点的函数值通过双线性插值得到，我们令 ，其中 表示用 插值数据求得的双线性插值函数。关于插值函数 的构成，分两步进行，首先用 做线性插值得：,再用 作线性插值得：,最后用 和 ，作线性插值求出,即,代入（16）式可得具体的计算格式。 双线性插值的误差估计思想和基于线性插值的特征差分格式中误差估计大致相同，分析可知，基于双线性插值的特征差分格式的整体误差为 。以上讨论是 的情形，当 时，可类似进行讨论并得出相应的计算格式。,数值算例,考虑温度波传播的例子 初值 解析解：,现在取 。,结 论,中心显示格式对于非对流占优扩散方程，构造简单，利于编程。在处理对流占优方程时在数值陡峭处出现数值震荡。 迎风格式的稳定范围要大于中心显示格式，可以应用于对流占优方程。在本例中无数值震荡，误差与 同阶。 对流占优扩散方程有较强的双曲性质，