第1节 合情推理与演绎推理

1、2021新亮剑高考总复习推理与证明、算法初步与复数第十一章第1节合情推理与演绎推理1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录4最新考纲考向分析1. 了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会合情推理在数学发现中的作用.2. 了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”,能运用 “三段论”进行一些简单的演绎推理合情推理与演绎推理中,单独命题的情况很少,我们在解题过程中常用的类比方法有平面图形与立体图形的类比,解题方法的类比等,在近几年高考中案例推理考查较多高考动

2、态知识拓展知识查缺补漏目 录一、合5类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种特征,推出这类事物的 全部 对象都具有这种特征的推理由 部分 到 整理 ,由个别到 一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理由 特 殊 到 特 殊高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、演绎推理1. 定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到 特殊 的推理.2. “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的 一般原理;(2)小前提所研究的特殊 情况;(3)结论根据一般原理,对

3、特殊情况做出的判断.6高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录归纳推理的一般步骤:(1) 通过观察个别情况发现某些相同性质;(2) 从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题. 7高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”)(1) 归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.(2) 在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )(3)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数,若数 m 是 3 的倍数,则 m 一定是 9 的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.()(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式

4、,结论就一定正确.()答案解析8目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识解析(2) 错误.类比时,平面中的三角(3) 正确.3 的倍数不一定是 9 的倍数,大前提错误,故(4) 错误.演绎推理未必正确.目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【基础自测】1.由“半径为 R 的圆的内接矩形中,正方形的面积最大”,推出“半径为 R 的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是(A.归纳推理C.演绎推理B).B.类比推理D.以上都不是解析类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).所以由“半径为 R 的圆的内接矩形中,正方形

5、的面积最大”,推理出“半径为 R 的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是类比推理.答案解析10目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识2.已知数列an中,a1=1,当 n2 时,an=an-1+2n-1,依次计算 a2,a3,a4 后,猜想 an 的表达式是(A.an=3n-1 C.an=n2C).B.an=4n-3D.an=3n-1解析依题意得 a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想 an=n2.答案解析11目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识13.“因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提),而 y=是指数函数(小前31提),所以函数 y=是增函数(结论)”,上面推理的错误在于().A3

6、A. 大前提错误导致结论错误B. 小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误D.大前提和小前提错误导致结论错误解析“指数函数 y=ax 是增函数”是本推理的大前提,它是错误的,导致结论是错误的.答案解析12目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【易错检测】4.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:“我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市.”乙说:“我没去过 C 城市.”丙说:“我们三人去过同一城市”.由此可判断乙去过的城市为 A.解析由题意可推断,甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,又三人去过同一城答案市,说明甲去过 A,C 城市,而乙没去过 C 城市,说明

7、乙去过 A 城市.由此可知,乙去过的城市为 A.解析13目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识5.在平面几何中,ABC 中ACB 的角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为=.把这个结论类比到空间,在三棱锥 A-BCD 中(如图),平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交=于 E,则得到类比的结论是.解析由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 = .答案解析1415目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲.目 录考点 1归纳推理考向 1:数字(式子)的归纳例 1 (1)将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列 5,9,14,20,为“梯形数列”.根据图形的构

8、成,此数列的第 2016 项为(D).A.10082016C.10102016B.10092016D.10102017(2)把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙所示的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成 一列,得到一个数列an,若 an=2015,则 n=1030答案解析16考点探究素养达成高考真题目 录有 2+3+4+(n+2)=(+4)(+1)解析(1)由给出的 3 个图形可知,第 n 个图形2点,因此数列的第 2016 项为20202017=10102017.2(2)图乙中第 k 行有 k 个数,第 k 行最后的一个数为

9、k2,前 k 行共有(+1)个数.2由 4444=1936,4545=2025 知 an=2015 出现在第 45 行,第 45 行第一个数为 1937又2015-1937+1=40,则第 45 行第 40 个数为 2015,2所以 n=44(44+1)+40=990+40=1030.217考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:图形的归纳例 2 如图,图、图、图、图分别包含 1,5,13 和 25 个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形,则第 n 个图包含的单位正方形的个数是(C).A.n2-2n+1C.2n2-2n+1B.2n2+2D.2n2-n+1分析根据图、图、图、图分别包含 1

10、,5,13 和 25 个互不重叠的单位正方形,寻找规律,结合等差数列的性质,求和得出结论.解析设第 n 个图包含 an 个互不重叠的单位正方形,图、图、图、图分别包含 1,5,13 和 25 个互不重叠的单位正方形,a1=1,a2=5=1+4=1+41,a3=13=1+4+8=1+4(1+2),a4=25=1+4+8+12=1+4(1+2+3),答案解析由此类推可得,an=1+41+2+3+(n-1)=1+4(-1)=2n2-2n+1,经检验满足条件.218考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,

11、同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比 数列等.2.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.19考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】1.有一个奇数组成的数阵排列如下:则第 30 行从左到右第 3 个数是 .解析观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第 30 行的第 1 个数是1+4+6+8+10+60=30(2+60)-1=929.又第 n 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大22n,第 3 个数比第 2 个数大 2n+2,所以第 30 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 60,第3 个数比第 2 个数大

12、 62,故第 30 行从左到右第 3 个数是 929+60+62=1051.答案解析20考点探究素养达成高考真题目 录2.如图,第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来(nN*),则第 n-有n(n+1) 个顶点.2(n3,nN*)解析由已知中的图形我们可以得到,当 n=1 时,顶点共有 12=34(个),当 n=2 时,顶点共有 20=45(个), 当 n=3 时,顶点共有 30=56(个), 当 n=4 时,顶点共有 42=67(个),由此我们可以推断第 n 个图形共有顶点(n+2)(n+3)个, 所以第 n-2 个图形共有顶点 n(n+1)个.答案解析21考点探究素养达成高考真题目

13、 录考点 2类比推理例 3 设ABC 的三边长分别为 a、b、c,ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= 2.+类比这个结论,可知若四面体 P-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 r,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 r=(C).B. 234A.C.D.1 +2 +3+41 +2 +3+41+2+3 +41 +2 +3+4解析将ABC 的三条边长 a、b、c,类比四面体 P-ABC 的四个面的面积 S1、S2、S3S4,将三角形面积公式中的系数1,类比三棱锥体积公式中的系数1,从而可知选 C.23证明如下:以四面体各面为底,内切球球心 O 为顶点

14、的各三棱锥体积的和为 V,答案V=1S1r+1S2r+1S3r+1S4r,r=3.33331 +2+3+4解析22考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：类比推理的分类:23考点探究素养达成高考真题目 录【针对训已知命题:在平面直角B 在椭圆上,顶点 A,C 分别为椭圆的左、右焦2命题类比到双曲线中,设双曲线的方程为 2 2 -2 =1(a0,b0),A |= 顶点 A,C 分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为 e,则解析在双曲线中,设ABC 的外接圆的半径为 R,则|AB|=2Rsin C,|AC|=2RsinB,|BC|=2Rsin A,则由双曲线的定义得 |-| =2a,|AC|=

15、2c,则双曲线的离心率答案e= = |= sin ,即|sin -sin |=1.|-|sin -sin |sin 解析24考点探究素养达成高考真题目 录考点3演绎推理例 4 数列an的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1=+2Sn(nN*).证明:(1)数列 是等比数列;(2)Sn+1=4an.从条件和结论入手寻找三段论,有时前一个三段论的结论是后一个三段论的条件.分析解析(1)an+1=Sn+1-Sn,an+1=+2Sn,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 即 nSn+1=2(n+1)Sn. +1=2 ,又1 =10,(小前提)+11故是以 1 为首项,2 为公比的等比数列

16、.(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知 +1=4 -1(n2),Sn+1=4(n+1) -1=4-1+2Sn-1=4an(n2),(小前提)-1-1-1+1又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)解析25考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：演绎推理的一般模式为三段论,三段论推理的依据是:如果集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中的所有元素都具有性质 P.应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大

17、前提,小前提,然后再找结论.26考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练1.下列三句话按“三段论”模式排列By=cos x(xR)是三角函数;三角函数是周期函数;y=A.B.C.D.解析“三角函数是周期函数”是大前提,“y=cos x(xR)是三角函数”是小前提,“y=cos x(xR)是周期函数”是结论,故选 B.答案解析27考点探究素养达成高考真题目 录2.某国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的,是因为(A.大前提错误 C.推理形式错误C).B.小前提错误D.非以上错误解析大前提“鹅吃白菜”本身正确,小前提“参议员先生也吃白菜”

18、本身也正确,但不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能类比,所以不符合三段论推理形式,所以推理形式错误.答案解析28考点探究素养达成高考真题目 录逻辑推理演绎推理中的创新问题与演绎推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点,解决此类问题时,一定要读懂新定义的本质含义及符号语言,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当的转化,注意推理过程的严密性.29考点探究素养达成高考真题目 录例一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2xn(nN*),其中 xk(k=1,2,n)称为第 k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1或者由 1 变为 0)

19、.已知某种二元码 x1x2x7 的码元满足如下校验方程组: 7 = 0, 7 = 0, 7 = 0.4 21 5 3 3 6 6 5答案解析其中运算定义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用上述校验方程组可判定 k 等于 5.30考点探究素养达成高考真题目 录解析因为 x4x5x6x7=1101=001=01=10,所以二元码 1101101的前 3 位码元都是对的;因为 x2x3x6x7=1001=101=11=0,所以二元码 1101101 的第 6、7 位码元也是对的;因为 x1x3x5x7

20、=1011=111=01=10,所以二元码 1101101 的第 5 位码元是错误的,所以 k=5.31考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 A(a,b),若函数 f(x)满足xa-1,a+1,都有 yb-1,b+1,就称这个函数是点 A 的“限定函数”.给出以下函数:y=1x,y=2x2+1,2y=sin x,y=ln(x+2).其中是原点 O 的“限定函数”的是 .解析-1,1,要判断是否是原点 O 的“限定函数”,只要判断x-1,1,是否都有 y对于,y=1x,由 x-1,1可得 y - 1 , 1 -1,1,则是;222答案对于,y=2x2+1

21、,由 x-1,1可得 y1,3-1,1,则不是;对于,y=sin x,由 x-1,1可得 y-sin 1,sin 1-1,1,则是;对于,y=ln(x+2),由 x-1,1可得 y0,ln 3-1,1,则不是.解析32考点探究素养达成高考真题目 录1.(2019 年全国卷)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为(A.甲、乙、丙C.丙、乙、甲).AB.乙、甲、丙D.甲、丙、乙答案解析33考点探究素养达成高考真题目 录解析若甲预测正确

22、,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故 3 人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意.34考点探究素养达成高考真题目 录2.(2019 年全国卷)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5-1 5-1 0.618,称为黄金分割比例 ,著名的“断臂维22纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5-1.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105 cm,头顶至脖子下端2的长度为 26 cm,则其身高可能是(B ).A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm解析设人体脖子下端至肚脐的长为 x cm,