第2节诱导公式、同角三角函数的基本关系

1、2021新亮剑高考总复习三角函数与解三角形第四章第2节诱导公式、同角三角函数的基本关系1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲4目 录 最新考纲考向分析1. 理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sin =tan x.cos 2. 能利用单位圆中的三角函数线推导出, 的正弦、余弦、正切2的诱导公式利用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简求值以及恒等变换;解决三角形内的相关问题高考动态知识查缺补漏目 录一、诱导公式 5组数一二三四五六角2k+(kZ)+-2+2正弦sin -sin -sin sin

2、cos cos 余弦cos -cos cos -cos sin -sin 正切tan tan -tan -tan 口诀函数名不变, 符号看象限函数名改变, 符号看象限高考动态知识查缺补漏目 录二、同角三角函数的基本关系1.平方关系:sin2+cos2=1.2.商数关系:sin =tan + , .cos 23.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)(sin cos )2=12sin cos ; (2)sin =tan cos .6高考动态知识查缺补漏目 录查缺补漏高考动态知识【概念判断下列结论的正误(1)120角的正弦值是1,余弦值是-22(2) 同角三角函数关系式中的角 是任意角.(3) 六

3、组诱导公式中的角 可以是任意角.(4) 诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”中的“符号”与 的大小无关答案解析7目 录查缺补漏高考动态知识解析(1)错误.sin 120=sin(180-60) =sin 60= 3,2cos 120=cos(180-60) =-cos 60=-1.2(2)错误.在 tan =sin 中,k+,kZ.cos 2(3)错误.对于正弦、余弦的诱导公式角 可以为任意角,而对于正切的诱导公式 k+,kZ.2(4)正确.诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角 都看成锐角时原函数值的符号,因而与 的大小无关.8目 录查缺补漏高考动态知识【基础自测】1.(2020 届

4、黑龙江哈尔滨市月考)若 sin(+)=3,则cos + =().A42A.3B.-3C. 7D.- 74444sin(+)=-sin =3,cos +2=-sin =3.解析 44答案解析9目 录查缺补漏高考动态知识2.(2020 届江西奉新模拟)cos - 55 =().D6A.1B. 3C.-1D.- 32222解析cos 6答案解析10目 录查缺补漏高考动态知识1 3- =1,则 cos 3.(2020 届湖南娄底质检)已知 sin= 2.+ 26 - + + =,解析 3621cos + =cos - - =sin - =.62332答案解析11目 录查缺补漏高考动态知识 , ,sin

5、 = 3,则tan =(4.(2020 届闽粤赣十校联考)若 C).23B.- 3C.- 2A.- 2D. 222362解析, ,且sin =,cos =-,则tan =-.2332答案解析12目 录查缺补漏高考动态知识【易错检测】- 245.已知 sin +cos =, 0,则sin -cos 的值为 3. 34解析又 (sin -cos )2=1-2sin cos =9sin -cos =- 2.3答案解析13目 录查缺补漏高考动态知识4 36.设sin=4,且 是第二象限角,则 tan 的值为.252因为 是第二象限角,所以是第一或第三象限角.当是第一象限角解析22sin 224344时

6、,cos = ,所以 tan;当是第三象限角时,与 sin= 矛= 1-sin2 = 1- = 2 =cos 255232252盾,舍去.综上,tan=4.23答案解析1415目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1诱导公式及其应用 tan (+)cos (2+)sin -3 例 1(1)(2020 届太原质检)化简: 2= -1.cos (-3)sin (-3-)(2)已知 cos(75+)=1,则sin(-15) +cos(105-)的值是().D3A.1B.2C.-1D.-23333答案解析16考点探究素养达成高考真题目 录tan cos sin

7、-2+ +tan cos sin+ 22解析(1)原式=cos (3+)-sin (3+)(-cos )sin =tan cos cos =-tan cos =-sin cos =-1.(-cos )sin sin cos sin (2)因为 cos(75+)=1,3所 以 sin(-15) +cos(105-)=sin(+75) -90 +cos180-(+75)=-cos(75+)-cos(75+)=-2.317考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.诱导公式用法的一般思路:(1)化负为正,化大为小,化到锐角为止.(2)角中含有加减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.222.常见的互余和互

8、补的角:(1)常见的互余的角:- 与+;+ 与-;+ 与- 等.(2)常363644见的互补的角:+ 与2-;+ 与3- 等.33443.三角函数式化简的方向:(1)切化弦,统一名.(2)用诱导公式,统一角.(3)用因式分解将式子变形,化为最简. 18考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】13cos 2 + sin- 251.已知 f()=, 则 f -的值为 .22 cos (-)tan (-)33cos 2 + sin- -sin (-cos )解析因为 f()=2=(-cos ) -sin =cos ,cos (-)tan (-)cos 所 以 f - 25 =cos - 25

9、=cos -8- =cos=1.33332答案解析19考点探究素养达成高考真题目 录112.若sin- =,则cos = 3.+ 434解析因 为 sin - =1,4+ =cos3 4 2 4 4- =1.所以 cos-=sin3答案解析20考点探究素养达成高考真题目 录考点2同角三角函数的基本关系考向 1:“知一求二”问题例 2(1)(2020 届湖北调研)已知 0, ,tan = 2, 则 sin =(B).2A. B. C. D. 33632232). , , 则 sin(+)=(A(2)已知 cos =k,kR, 2A.- 1-2B. 1-2C. 1-2D.-k解析答案21考点探究素

10、养达成高考真题目 录解析(1)已知 0, ,tan = 2,由sin = 2,得sin = 2cos .2cos sin2+cos2=1,sin 0,cos 0,cos = 3,sin = 6.33(2)由cos =k, , ,得sin = 1-2,所以 sin(+)=-sin =- 1-2.222考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:弦切互化例 2 (1)(2020 届河南平顶山模拟)已知sin +3cos =5,则 cos2+1sin 2 的值是().A3cos -sin D.32A.3B.-3C.-355(2)(2020 届贵州七校联考)已知 sin +cos = 2,则 tan +c

11、os 的值为().Dsin C.1A.-1B.-2D.22解析答案23考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由sin +3cos =5,得tan +3=5,解得 tan =2,3cos -sin 3-tan 2则 cos2+1sin 2=cos2+sin cos =co s+sin cos = 1+tan =3.cos2 +sin2 1+ta n2 52(2)sin +cos = 2,(sin +cos )2=2,sin cos =1,2tan +cos =sin +cos =1=2.sin cos sin sin cos 24考点探究素养达成高考真题目 录考向 3:sin cos 与 si

12、n cos 关系的应用例 3已知 为第二象限角,sin ,cos 是关于 x 的方程 2x2+( 3-1)x+m=0(mR)的两根,则 sin -cos =().BA.1- 3B.1+ 3C. 3D.- 322解析答案25考点探究素养达成高考真题目 录解析因为 sin ,cos 是方程 2x2+( 3-1)x+m=0(mR)的两根,所以 sin +cos =1- 3,sin cos = ,22可得(sin +cos )2=1+2sin cos =1+m=2- 3,解得 m=- 3.22因为 为第二象限角,所以 sin 0,cos 0.因为(sin -cos )2=1-2sin cos =1-m

13、=1+ 3,所以 sin -cos = 1 + 3=1+ 3.22226考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.利用 sin2+cos2=1 可实现 的正弦、余弦的互化,利用sin =tan 可以实cos 现角 的弦切互化.2.对于 sin +cos ,sin -cos ,sin cos 这三个式子,知一可求二,若令 sin +cos =t,则2sin cos =-1,sin -cos = 2-2(注意根据 的范围选取正、负号),体现了方程思想2的应用.注意公式逆用及变形应用:1=sin2+cos2,sin2=1-cos2,cos2=1-sin2. 27考点探究素养达成高考真题目 录【针对

14、训练 2】1.已知 cos(-80) =k,则 tan 100=(). 1- 2 1- 2A.B.-C.D.- 1- 2 1- 2 1- 2解析cos(-80) =cos 80=k,sin 80= 1-2,tan 80=, 1- 2tan 100=-tan 80=-.答案解析28考点探究素养达成高考真题目 录-4 33+ =4,则tan =2.(2020 届山东枣庄调研)已知 是第二象限角,cos .253+ =4,sin =4.解析cos 255又 为第二象限角,cos =- 1-sin2=-3,5tan =sin =-4.cos 3答案解析29考点探究素养达成高考真题目 录3.(2020

15、届梅州模拟)已知 为锐角,且 tan(-)+3=0,则 sin 等于(B ).A.1B.3 10C.3 7D.3 531075解析因为 tan(-)+3=0,所 以 tan =3,sin =3cos .因为 sin2+cos2=1,所以 sin2= 9 .10又 为锐角,故 sin =3 10.10答案解析30考点探究素养达成高考真题目 录4.已知 sin cos =1,且53,则cos -sin 的值为().B 842A.- 3B. 3C.-3D.3224453,cos 0,sin sin ,cos -sin 0.解析42又 (cos -sin )2=1-2sin cos =1-21=3,8

16、4cos -sin = 3.2答案解析31考点探究素养达成高考真题目 录考点3例 5诱导公式和同角三角函数基本关系式的综合应用(1)(2020 届聊城模拟)已知 为锐角,且 2tan(-)-3cos + +5=0,2tan(+)+6sin(+)-1=0,则 sin 的值是(C).A.3 5B.3 7C.3 10D.15(2)已知7 是第三象限角103)cos (- (5 -)tan (2 -)sin 且 f()=,.cos- tan (-)2化简 f();若 tan(-)=-2,求 f()的值;若 =-420, 求 f()的值.答案解析32考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由已知可得-2

17、tan +3sin +5=0,tan -6sin -1=0,解得 tan =3.又 为锐角,故 sin =3 10.10(2)由题可得,f()=sin (-cos )(-tan )=-cos .sin (-tan )因为 tan(-)=-2,所以 tan =2,所以 sin =2cos .所以(2cos )2+cos2=1,所以 cos2=1.5因为 是第三象限角,所以 cos =- 5,所以 f()= 5.55因为 cos(-420) =cos 420=cos 60=1,所以 f()=-cos(-420) =-1.2233考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：利用同角三角函数关系式和诱导公

18、式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. 34考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】1.(2020 届唐山模拟)已知 sin 5+ =3,那么 tan 的值为(C).25A.-4B.-3C.4D.334345=cos =3,解析因为 sin+ =sin+ 225所以 sin =4,所以 tan =sin =4.5cos 3答案解析35考点探究素养达成高考真题目 录2.(2020 届唐山模拟)已知角 的终边在第三象限,tan 2=-2 2,则 sin2+sin(3-)cos(2+)- 2cos2=().DA.- 26B. 2C.-2D.2633=-2 2, 即

19、 2tan2-tan - 2=0,2tan 解析由 tan 2=-2 2 得 tan 2=1-ta n2解 得 tan = 2 或 tan =- 2.2又角 的终边在第三象限,所以 tan = 2,故 sin2+sin(3-)cos(2+)- 2cos2=sin2+sin cos - 2cos22222=sin+sin cos - 2co s=ta n+tan - 2=( 2) + 2- 2=2.( 2)2 +1sin2 +co s2 ta n2 +13答案解析36考点探究素养达成高考真题目 录数算分类讨论在三角函数式的化简求值中的应用在数算中涉及的问题需要分几个方面来计算时,必须进行分类讨论

20、,我们要能够确定分类的标准,做到既简洁又不重不漏.例如本节的三角函数值在不同的象限有不同的符号.- 3 例已知 (0,),sin +cos = 3-1,则 tan 的值为.2答案解析37考点探究素养达成高考真题目 录解析(法一)由 sin +cos = 3-1,两边同时平方得 sin cos =- 3.2tan 4sin cos =- 3,解得 tan =- 3或 tan =- 3.由 sin cos =sin2 +co s2 1+ta n2 43(0,),sin cos 0, ,|sin |cos |,2|tan |1,tan =- 3(舍去).故 tan =- 3.3(法二)同(法一)得

21、tan =- 3或 tan =- 3,(0,).3当 tan =- 3时,=2,sin = 3,cos =-1,满足条件;3223-1.当 tan =- 3时,=5,sin =1,cos =- 3,不满足 sin +cos = 3故 tan =- 3.622238考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】1.已知 kZ,化简:sin (-)cos (-1)-=.-1sin (+1)+cos (+)解析当 k=2n(nZ)时,sin (2-)cos (2-1)-=sin (-)cos (-)=-sin (-cos )=-1;原式=sin (2+1)+cos (2+)sin (+)cos -sin cos 当 k=2n+1