求锐角三角函数值的策略

1、求锐角三角函数值的策略求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容，求锐角三角函数值的方法较多，解决时，要根据不同的已知条件，选择灵活的解题方法。一、利用定义求解例1、三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin的值是（ ）图1 (a) (b) (c) (d) 分析：由正方形网格可知角的对边的长为3，邻边的长为4，要求sin，只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可解：设的对边为a，邻边为b，斜边为c，则a=3，b=4，所以c=，所以sin=，选(c) 评注：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长，然后直接根据定义进行求值二、设参数求解例2、在abc中，c=9

2、0，sinb=，求tana的值分析：正切函数的定义，sinb=，可设ac=4k，ab=5k，再利用勾股定理，求出ab=3k，根据正切函数的定义可求出tana的值。解：在abc 中，c=90，sinb=，则设ac=4k，ab=5k，由勾股定理可求，bc=3k，所以tana评注：在直角三角形中，已知一个锐角的一个三角函数值，就可知道与此三角函数值有关的边的比值，若知道两条边的比值，就可求出与之对应的三角函数值，不需要知道具体的边长，所以当已知条件为某个角的三角函数值，求其它三角函数值时，可设参数表示出边长，然后再利用三角函数的定义求解。图2三、等角代换法例3、如图2，在矩形abcd中，deac于e

3、，设adeacd,且ab3，ad=4，则tanbac 等于多少分析：要求tanbac需求de、ae的长，但计算比较繁，而rtabc中的边易求出，而由条件易得ade=bac，所以只需求出tanbac即可。解：在矩形abcd中，deac于e，所以dea=b=90，bc=ad=3，由adbc，得dae=acb，所以ade=bac，所以tanbac=。评注：在一个图形中有多个直角三角形时，当所求的角的三角函数值计算比较麻烦或不易解决时，可考虑等角代换。四、化“斜”为“直”法例4、如图3，已知ad为等腰三角形abc底边上的高，且tanb=，ac上有一点e，满足aeec=23那么，tanade是（ ）图3

4、（a） （b） （c） （d）分析：要求tanade值，需要构造包含ade的直角三角形，为此需要过点作fead， 只要求得即可解：因为adbc于d，ab=ac，所以bad=cad，因为tanb=，b+cad=90，所以tan cad=，作efad交ad于f，则tan cad=，所以ef=，因为adbc，efad，所以ef/cb，又ae：ec=2：3所以af：fd=2：3，所以fe=，所以tanade=，故选（c）评注：当所要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找与某个直角三角形相等的角本采用了构造直角三角形的方法五、利用方程思想例5、如图4，abc中，c=90

5、，ac+bc=7（acbc），ab=5，则tanb=图4分析： 要求tanb，根据锐角三角函数的定义，则需要求到对边ac和邻边bc的长，因为知道斜边ab=5，且ac+bc=7，所以可以根据勾股定理进行计算解： 设ac=x，则bc=7-x，根据勾股定理，得x2+(7-x)2=52， 解得x=4，所以ac=4，bc=3，所以tanb=评注：本题的解题思路是根据已知条件确定b的对边和邻边的长，然后根据定义进行求值同时体现了方程思想在求三角函数值中的应用实际上，本题是一道填空题，不通过计算直接观察就可以解决因为斜边是5，且两条直角边的和为7，所以两条直角边的长分别是4和3六、数形结合法例6、已知tan=，求：的值分析：解决本题的关键是运用三角函数的定义由已知条件tan=，可设在rtabc，c=90，b=，则有ac=3k，bc=4k，可求出sin=，cos=，将其代入计算即可解：在rtabc中，令c=90，b=，由tan=，可设ac=3k，bc=4k，由勾股