精心整理二次函数专题讲座

1、 二次函数综合题一览抛物线中的面积问题1.的对称轴在轴的右侧，抛物线与轴交于q（0，-3），与轴的交点为a、b，顶点为p，spab的面积是8，求解析式。2.已知抛物线，为何值时，抛物线与轴无交点；若抛物线与轴交于a、b两点，与轴交于c点，且abc的面积为4，求的值3.抛物线与x轴的正半轴交于a、b，与y轴的正半轴交于点c，顶点m在第四象限，已知oa：ob=1：3，amb=90，samb=16。(1)求抛物线的解析式。(2)若抛物线上有一点p，使sapb=scmb，求p点的坐标。 4.已知抛物线与它的对称轴相交于点，与轴交于，与轴正半轴交于（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线交轴于是线段

2、上一动点（点异于），过作轴交直线于，过作轴于，求当四边形的面积等于时点的坐标5.如图，已知抛物线与x轴相交于a(x1,0)，b(x2,0)两点(其中x10，)，与y轴相交于点c，且acb=90，ab=2。若d点是c点关于x轴的对称点。(1)求c、d两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)设q(x，y)是抛物线上的点，使sqcd=3，求点q的坐标。6.抛物线的解析式满足四个条件：；求这条抛物线的解析式；设该抛物线与轴的两交点分别为、（在的左边），与轴的交点为，是抛物线上第一象限内的点，交轴于点，试比较与的大小.7.平面直角坐标系已知抛物线的对称轴为x=,设抛物线与y轴交于a点,与x轴交于b、c

3、两点（b点在c点的左边），锐角abc的高be交ao于点h求抛物线的解析式； 在（1）中的抛物线上是否存在点p，使bp将abh的面积分成1：3两部分？如果存在，求出p点的坐标；如果不存在，请说明理由8.已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点a()、b().（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为c,抛物线的顶点为d，试求出点c、d的坐标和bcd的面积；（3）若p是线段oc上的一点，过点p作ph轴，与抛物线交于h点，且直线bc把pch分成面积之比为2:3的两部分，请求出p点的坐标.9.已知二次函数的图象过点、（1）当这个二次函数的图象又过点时，求其解析式.（2）

4、设（1）中所求二次函数图象的顶点为p，求的值.（3）如果二次函数图象的顶点m在对称轴上移动，并与y轴交于点d，的值确定吗？为什么？10.已知开口向下的抛物线与轴交于m、n两点（点n在点m的右侧），并且m和n两点的横坐标分别是的两根，点是抛物线与轴的交点，不小于（1）求m和n两点的坐标；（2）求系数的取值范围；（3）在的取值范围内，当取得最大值时，抛物线上是否存在点p使得？若存在，求出所有满足条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由.11.如图二次函数的图象与轴只有一个公共点，与轴的交点为.过点的直线与轴交于点，与二次函数的图象交于另一点.若，求这个二次函数的解析式.baoyx12.如图，在直角坐

5、标系中，点a的坐标为（2，0），连结oa，将线段oa绕原点o顺时针旋转120，得到线段ob.（1）求点b的坐标；（2）求经过a、o、b三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点c，使boc的周长最小？若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点p是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么pab是否有最大面积？若有，求出此时p点的坐标及pab的最大面积；若没有，请说明理由.13.如图，已知抛物线与直线y=x交于a、b两点，与y轴交于点c，oaob，bcx轴(1)求抛物线的解析式。(2)设d、e是线段ab上异于a、b的两个动点(点e在点d的上方)，de，过

6、d、e两点分别作y轴的平行线，交抛物线于f、g，若设d点的横坐标为x，四边形degf的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值14.已知：抛物线与x轴交于、两点，且抛物线与y轴交于点c，（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上，点a的左侧，求一点e，使与相似，并说明直线经过（1）中抛物线的顶点d；（3）过（2）中的点e的直线与（1）中的抛物线相交于m、n两点，分别过m、n作x轴的垂线，垂足为m、n，点p为线段mn上一点，点p的横坐标为t，过点p作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点q，是否存在t值，使若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由

7、.抛物线与圆oyxabcmdp15.如图，已知两点、，以ab为直径作p与轴负半轴交于c点，求过a、c两点的直线解析式和过、三点的抛物线解析式；若点m是中抛物线的顶点，求abc的面积及直线mc的解析式；判定中的直线mc与p的位置关系，并说明理由。cbmyxadop16.如图所示，在直角坐标系中，o为坐标原点，a点坐标为，b点坐标，以ab的中点p为圆心，ab为直径作p，与轴的负半轴交于点c，抛物线经过a、b、c三点，其顶点为m 求此抛物线的解析式； 设点d是抛物线与p的第四个交点（除a、b、c三点外），求直线md的解析式； 判定中的直线md与p的位置关系，并说明理由。17.抛物线的顶点为m，与轴的

8、交点为a、b（点b在点a的右侧），abm的三个内角m、a、b所对的边分别为m、a、b。若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。（1）判断abm的形状，并说明理由。（2）当顶点m的坐标为（2，1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。（3）若平行于轴的直线与抛物线交于c、d两点，以cd为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。18.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点a；抛物线经过o、a两点.（1）试用含有字母a的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为d，以点d为圆心，以da为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分，若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在d内，且它所在的圆恰与od相切

9、，求d的半径长及抛物线的解析式；19.已知抛物线与轴交于a、b两点，点在轴的负半轴上，点b在轴的正半轴上，的长是的长的2倍，点为抛物线的顶点； （1）求此抛物线的解析式； （2）若点p在抛物线的对称轴上，且p与轴、直线bc都相切，求点p的坐标.20.已知抛物线与轴交于a、b两点，且点a在轴的负半轴上，点b在轴的正半轴上.（1）求实数的取值范围；（2）设oa、ob的长分别为、，且15，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，以ab为直径的d与轴的正半轴交于p点，过p点作d的切线交轴于e点，求点e的坐标.如图，在直角坐标系中，o是坐标原点，a（3，0）、b（m，）是以oa为直径的m上的两点，且t

10、anaob=,bhx轴，垂足为h（1） 求h点的坐标；（2） 求图象经过a、b、o三点的二次函数的解析式；（3） 设点c为（2）中的二次函数图象的顶点，问经过b、c两点的直线是否与m相切，请说明理由.注：抛物线yax2bxc（c0）的顶点为抛物线与相似三角形21.已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，是原点. 求这条抛物线的解析式； 设该抛物线与轴的交点为、（在的左边），问在轴上是否存在点，使以、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.yxoabmo122.如图已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点（1）求二次函数的解析式；

11、（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由cpbya23.如图所示，已知抛物线与轴交于a、b两点，与轴交于点c（1）求a、b、c三点的坐标（2）过点a作apcb交抛物线于点p，求四边形acbp的面积（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点m，过m作mg轴于点g，使以a、m、g三点为顶点的三角形与pca相似若存在，请求出m点的坐标；否则，请说明理由二次函数中的线段长度问题24.已知：抛物线yx2（a2）x9的顶点在坐标轴上（1）求a的值；（2）求a0时，该抛物线与直线yx9交于a、b两点，且a点在b点左侧，

12、求点a和点b的坐标；（3）p为（2）中线段ab上的点（a、b两端点除外），过点p作x轴的垂线与抛物线交于q线段ab上是否存在点p，使pq的长等于6，若存在，请求出p点坐标；若不存在，说明理由25.如图，已知 ，现以a点为位似中心，相似比为9:4，将ob向右侧放大，b点的对应点为c（1）求c点坐标及直线bc的解析式;（2）一抛物线经过b、c两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线bc绕b点旋转与抛物线相交与另一点p，请找出抛物线上所有满足到直线ab距离为的点p26.已知一抛物线经过o(0，0)、b(1，1)两点且解析式的二次项系数为 (a0(1)求该抛物线的

13、解析式(系数用含a的代数式表示)；(2)已知点a(0，1)，若抛物线与射线ab相交于点m与x轴相交于点n(异于原点)，求点m、n的坐标(用含a的代数式表示)；(3)在(2)的条件下，问：当a在什么范围内取值时，on+bm的值为常数？当a在什么范围内取值时，on-bm的值也为常数？27.如图，关于x的二次函数yx2-2mxm的图像与x轴交于a（x1，0）、b（x2，0 ） 两点（x20x1），与y轴交于c点，且bacbco（1）求这个二次函数的解析式；（2）以点d(，0）为圆心作d，与y轴相切于点o过抛物线上点e（x3，t）（t0，x30）作x轴的平行线与d交于f、g两点，与抛物线交于另一点h，

14、问：是否存在实数t，使得efgh=fg？如果存在，求出 t的值；如果不存在，请说明理由28.已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是，（其中为常数，且）（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当时，设与轴分别交于两点（在的左边），yxaobb与轴分别交于两点（在的左边），观察四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；（3）设上述两条抛物线相交于两点，直线都垂直于轴，分别经过两点，在直线之间，且与两条抛物线分别交于两点，求线段的最大值29.（06天津）已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为(2,4). （）试用含a的代数式分别表示b，c；（）若直线ykx4（k0）与y轴及

15、该抛物线的交点依次为d、e、f，且，其中o为坐标原点，试用含a的代数式表示k；（）在（）的条件下，若线段ef的长m满足，试确定a的取值范围。抛物线中的分类讨论30.已知：如图抛物线与y轴交于点c（0，4），与x轴交于点a、b，点a的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点q是线段ab上的动点，过点q作qeac，交bc于点e，连接cq。当cqe的面积最大时，求点q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点p，与直线ac交于点f，点d的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得odf是等腰三角形？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。31.如图抛物线yax2bxc

16、与x轴交于a、b两点（点a在点b左侧），与y轴交于点c，且当x0和x2时，y的值相等，直线y3x7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点m（1）求这条抛物线的解析式；（2）p为线段bm上一点，过点p向x轴引垂线，垂足为q，若p在线段bm上运动（点p不与点b、m重合），设oq的长为t，四边形pqac的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在线段bm上是否存在点n，使nmc为等腰三角形？若存在，请求出点n的坐标；若不存在，请说明理由32.关于x的二次函数的图象与x轴从左到右依次交于两点、，且（1）求k的值；（2）在（1）的条件下，在对称轴左侧

17、的二次函数图象上是否存在点m使锐角的面积等于3.若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）的条件下，在此二次函数的图象上是否存在的p，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由.33.如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且（1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由acbyx011obacdxy34.一开口向上的抛物线与x轴交于a（，0），b（m2，0）两点，记抛物线顶点为c，且acbc（1）

18、若m为常数，求抛物线的解析式；（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？（3）设抛物线交y轴正半轴于d点，问是否存在实数m，使得bod为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由35.已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点m的坐标（2）若点n为线段bm上的一点，过点n作x轴的垂线，垂足为点q当点n在线段bm上运动时（点n不与点b，点m重合），设oq的长为t，四边形nqac的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点p，使pac为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点

19、p的坐标；若不存在，请说明理由；36.在直角坐标系中，为坐标原点，、三点的坐标分别为，.点m和点在轴上（点m在点的左边），点在原点的右边，作，垂足为（点在线段上，且点与点不重合），直线与轴交于 求经过、三点的抛物线的解析式； 求点m的坐标； 设的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 过点作直线平行于轴，在直线上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.37.已知二次函数.（1）证明：不论a取何值，抛物线的顶点q总在x轴的下方；（2）设抛物线与y轴交于点c，如果过点c且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点d，问：qcd

20、能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；抛物线与平移38.已知抛物线，如果抛物线与轴两个交点都在轴左侧，且是满足上述条件的最大整数，求抛物线的解析式；求证中的这个抛物线与直线无公共点；怎样把直线沿着轴平移，使平移后的直线与中的这个抛物线只有一个公共点p？求p点的坐标。abcoxy39.如图已知抛物线与轴交于点，与轴交于点.（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；（2）设直线交轴于点在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与

21、线段总有公共点试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？抛物线与直线40.（04年天津）已知一次函数y12x，二次函数y2x21. 根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中：x-3-2-10123y12xy2x21观察第问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1y2均成立；试问，是否存在二次函数y3ax2bxc，其图象经过点（5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1y3y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由.41.（09年天津)已知函数

22、为方程的两个根，点在函数的图象上（）若，求函数的解析式；（）在（）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；42.已知二次函数的图象交x轴于、，交y轴的正半轴于点c，且（1）求此二次函数的解析式；（2）直线与（1）中所求的抛物线交于m、n两点，问是否存在b的值，使？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.43.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于a，b两点（点a在点b的左侧），与轴交于点c，点b的坐标为，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过b，c两点（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；（3）连结，求与两角和的度数1

23、oyx2344321-1-2-2-144.在平面直角坐标系中，p是第三象限角平分线上的点，二次函数的图象经过点p.（1）求这个二次函数的解析式；（2）问是否存在与抛物线只交于一点p的直线，若存在，求出符合条件的直线解析式；若不存在，请说明理由.二次函数与数形结合45.（07年天津）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ ）a. 2个b. 3个c. 4个d. 5个xyo1-1246.如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与轴相交于负半轴给出以下结论：； ； ； 其中正确结论的序号是 47.已知二次函数y=ax2+

24、bx+c（a0）的图象如图3所示，下列结论：abc0 2a+b0 4a2b+c0 a+c0，其中正确结论的个数为（ ）a.4个 b.3个 c.2个 d.1个oyxa(-2,4)b(8,2)48.如图，二次函数与一次函数的图像相交于则能使成立的取值范围_49.二次函数图象如图，对称轴为直线，当时函数值oyx为；时函数值为；当时函数值为；则、的大小关系是_抛物线与四边形：50.已知：抛物线与轴交于c点，c点关于抛物线对称轴的对称点为点.（1）求抛物线的对称轴及c、点的坐标（可用含m的代数式表示）；（2）如果点q在抛物线的对称轴上，点p在抛物线上，以点、为顶点的四边形是平行四边形，求q点和p点的坐标

25、（可用含的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长.51.如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为d点，与y轴交于c点，与x轴交于a、b两点， a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），oboc ，tanaco（1）求这个二次函数的表达式（2）经过c、d两点的直线，与x轴交于点e，在该抛物线上是否存在这样的点f，使以点a、c、e、f为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点f的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于m、n两点，且以mn为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图2，若点g（2，y）是该抛物线上一点，点p是直线ag下方的抛物线上一动点，当点p运动到什么位置时，apg的面积最大？求出此时p点的坐标和apg的最大面积. 图1 图2xyo12321a52.如