数学必修2第二章点直线平面之间位置关系

1、第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题一、选择题 1垂直于同一条直线的两条直线一定( ) a平行b相交c异面d以上都有可 能 2正四棱柱中，则异面直线所成角的余弦值 1111 dcbaabcd abaa2 111 adba与 为( ) abcd 5 1 5 2 5 3 5 4 3经过平面外两点与这个平面平行的平面( ) a可能没有b至少有一个c只有一个d有无数个 4点 e，f，g，h 分别为空间四边形 abcd 中 ab，bc，cd，ad 的中点，若 acbd，且 ac 与 bd 所成角的大小为 90，则四边形 efgh 是（ ） a菱形b梯形c正方

2、形d空间四边形 5已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 ， l，则( ) al 与 m，n 都相交bl 与 m，n 中至少一条相交 cl 与 m，n 都不相交dl 只与 m，n 中一条相交 6在长方体 abcd-a1b1c1d1中，abad2，cc1，则二面角 c1-bd-c 的32 大小为( ) a30b45c60d90 7如果平面 外有两点 a，b，它们到平面 的距离都是 a，则直线 ab 和平面 的位置关系一定是( ) a平行b相交c平行或相交dab 8设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是( ) a，m，nmnb，m，nmn cm，n，mn d，m，nm

3、n 9平面 平面 ，ab，cd 是夹在 和 之间的两条线段，e，f 分别为 ab，cd 的中点，则 ef 与 的关系是( ) a平行b相交c垂直d不能确定 10平面 平面 ，a，b，ab 与两平面 ， 所成的角 分别为和，过 a，b 分别作两平面交线的垂线，垂足为 a，b，则 4 6 abab 等于( ) a21b31 c32d43 二、填空题二、填空题 11下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线 ab，cd 所成角的大小为 d c a b (第 11 题) 12正三棱柱 abc-a1b1c1的各棱长均为 2，e，f 分别是 ab，a1c1的中点，则 ef 的长是 (第 12 题) a

4、 b c a1 b1 c1 e f 13如图，ac 是平面 的斜线，且 aoa，ao 与 成 60 角，oc，aa 于 a，aoc45，则点 a 到直线 oc 的距离是 (第 10 题) (第 13 题) 14已知正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的大小为 5 15已知 a，b 为直线，为平面，a，b，对于 a，b 的位置关系有下面五个 结论： 平行；垂直不相交；垂直相交；相交；不垂直且不相交 其中可能成立的有 个 三、解答题三、解答题 16正方体 ac1的棱长为 a (1)求证：bd平面 acc1a1； (2)设 p 为 d1d 中点，求点 p 到平面 acc1a1的

5、距离 17如图，abcd 是正方形，o 是该正方形的中心，p 是平面 abcd 外一点，po底 面 abcd，e 是 pc 的中点 求证：(1)pa平面 bde ； (2)bd平面 pac p o e c d b a (第 17 题) 18如图，在四棱锥 p-abcd 中，pd平面 abcd，pddcbc1，ab2，abdc，bcd90 (1)求证：pcbc； (2)求点 a 到平面 pbc 的距离 19如图，棱长为 1 的正方体 abcd-a1b1c1d1中， (1)求证：ac平面 b1d1db； (2)求证：bd1平面 acb1； (3)求三棱锥 b-acb1体积 20. 已知bcd 中，

6、bcd90，bccd1，ab平面 bcd，adb60，e，f 分别是 ac，ad 上的动点，且 (01) ac ae ad af d1 c1 b1 a1 c d b a (第 19 题) (第 18 题) (第 20 题) (1)求证：不论 为何值，总有平面 bef平面 abc； (2)当 为何值时，平面 bef平面 acd？ 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1d 解析：当垂直于直线 l 的两条直线与 l 共面时，两条直线平行；当这两条直线与 l 不共 面时，两条直线平行或相交或异面 2d 解析：当将 ad1平移至 bc1，连接 a1c1，a1bc1是异面直线 a1b 与 ad1所成的

7、角. 在a1bc1中，容易计算 a1bbc1，a1c152 由余弦定理得 cosa1bc1 5 4 3a 解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存 在 4c 解析：依条件得 ef ac，gh ac， ef gh 2 1 2 1 又 eh bd，fg bd， eh fg 2 1 2 1 abbc，efeh ac 与 bd 所成角的大小为 90， ef 与 eh 所成角的大小为 90 四边形 efgh 是正方形 5b 解析：对于 a，满足条件的直线 l 可以与 m，n 中一条相交；对于 c，若 l 与 m，n 都 不相交， l 分别与 m，n 共面， lm，ln

8、mn矛盾；对于 d，满足条件的直 线可以与 m，n 都相交 6a 解析：若设 ac，bd 交于点 o，连接 c1o，则 bdco，bdc1o coc1是二面角 c1-bd-c 的平面角tancoc1 bc cc1 3 3 coc130 7c 解析：当 a，b 两点在 同侧时，直线 ab 和平面 平行；当 a，b 两点在 异侧时，直线 ab 和平面 相交 8b 解析：对于 a，m，n，m，n 可以不垂直； 对于 c，m，n，mn，可以不垂直； 对于 d，m，nm， n，可以不垂直 9a 解析：设 a，c，b，d， 若 ab，cd 共面， acbd. e，f 分别为 ab，cd 的中点， efac

9、，且 ef，ac， ef 若 ab，cd 为异面直线，则过点 f 做直线 mnab，mn 交 于 m，交 于 n，则 mcnd f 为的 mn 中点efam，且 ef，am， ef 10a 解析：连接 ab，ab，于是aba，bab. 6 4 设 aba， abacosa，bbacosa 6 3 2 4 2 2 aba abab21 1 2 二、填空题二、填空题 1160 解析：将展开图恢复为正方体时，点 b，d 重合， ab，cd，ac 三条面对角线构成 等边三角形， 直线 ab，cd 所成角的大小为 60 125 如图，取 a1b1的中点 g，连接 fg，eg， fg1，eg 2， ef5

10、 13a 4 14 a b c o a (第 13 题) (第 10 题) a b c a1 b1 c1 e f g (第 12 题) 解析：如图过点 a 作 aboc，垂足为 b，连接 ab， 点 a 到直线 oc 距离是 ab 依条件得 aaa，aoa，aba 2 3 2 1 4 2 aba a 16 2 4 3 4 14 1460 解析：依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为 1，侧面等腰三角形底边上的高 为 2， 侧面与底面所成的二面角的余弦值是 2 1 侧面与底面所成的二面角的大小是 60 155 解析：依条件可知当 a，b 时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论 都有可能成立

11、 三、解答题三、解答题 16 证明：(1) aa1ab，aa1ad，且 abada， aa1平面 abcd 又 bd平面 abcd， aa1bd 又 acbd，aa1aca， bd平面 acc1a1 (2) dd1aa1，aa1平面 acc1a1， dd1平面 acc1a1 点 p 到平面 acc1a1的距离即为直线 dd1到面 acc1a1的距离. 也就是点 d 到平面 acc1a1的距离，设 ac bdo，则 do 的长度是点 d 到平面 acc1a1的距离 容易求出 doa p 到平面 acc1a1的距离为a 2 2 2 2 17证明：(1)连接 eo， 四边形 abcd 为正方形， o

12、 为 ac 的中点 e 是 pc 的中点， oe 是apc 的中位线 eopa eo平面 bde，pa平面 bde， pa平面 bde ab c a1b1 c1 p d d1 o (第 16 题) p o e c d b a (第 17 题) (2) po平面 abcd，bd平面 abcd， pobd 四边形 abcd 是正方形， acbd poaco，ac 平面 pac，po 平面 pac， bd平面 pac 18(1)证明： pd平面 abcd，bc 平面 abcd， pdbc 由bcd90，得 cdbc 又 pddcd， pd，dc 平面 pcd， bc平面 pcd pc 平面 pcd，

13、故 pcbc (2)解：(方法一)分别取 ab，pc 的中点 e，f，连 de，df， 则易证 decb，de平面 pbc，点 d，e 到平面 pbc 的距离相等 又点 a 到平面 pbc 的距离等于点 e 到平面 pbc 的 距离的 2 倍， 由(1)知，bc平面 pcd， 平面 pbc平面 pcd pddc，pffc， dfpc 又 平面 pbc平面 pcdpc， df平面 pbc 于 f 易知 df，故点 a 到平面 pbc 的距离等于 2 2 2 (方法二)：连接 ac，设点 a 到平面 pbc 的距离为 h abdc，bcd90， abc90 由 ab2，bc1，得abc 的面积 s

14、abc1 由 pd平面 abcd，及 pd1，得三棱锥 p-abc 的体积 vsabcpd 3 1 3 1 (第 18 题) (第 18 题) pd平面 abcd，dc平面 abcd， pddc 又 pddc1， pc 22 dcpd 2 由 pcbc，bc1，得pbc 的面积 spbc 2 2 va - pbcvp - abc， spbchv，得 h 3 1 3 1 2 故点 a 到平面 pbc 的距离等于2 19(1)证明： acbd，又 bb1平面 abcd，且 ac 平面 abcd， bb1ac. bdbb1b， ac平面 b1 d1db (2)证明：由(1)知 ac平面 b1d1db， bd1平面 b1d1db， acbd1 a1d1平面 a1b1ba，ab1平面 a1b1ba， a1d1ab1 又 a1bab1且 a1ba1d1于 a1， ab1平面 a1d1b bd1平面 a1d1b， bd1ab1， 又 acab1a， bd1平面 acb1 (3)解：(方法 1)1(11) cbbaacbb vv 11 3 1 2 1 6 1 (方法 2)(v正方体) 1 acbb v 2 1 3 1 6 1 20(1)证明： ab平面 bcd， abcd cdbc，且 abb