2 2随机变量的数字特征

1、2.2随量的数字特征描述随的数字特征.量的某种特征的量, 称为随量常用的数字特征有: 数学期望、方差、矩 、协方差、相关系数等.一、离散型随量的数学期望例 为了评价技术水平, 某厂检查了某工人100天加工零件的情况.发现该工人在100天中有32天没出废品; 有30天每天出一件废品;有17天每天出两件废品; 有21天每天出3件废品.问: 该工人平均每天出几件废品?解该工人在100天中加工的废品总数为0 32 + 1 30 + 217 + 3 21 = 12（7平均每天的废品数为:件1( 0 32 + 1 30 + 217 + 3 21 ) = 1.2710032+ 2 172130= 0+1+

2、3 100100100100假如检查了他 n天的生产情况,设在 n天中有n0天 出0个废品;有n1天 出1个废品, 有n天2出2个废品,有 n天3出3个废品, n0+ n1 + n2 + n3 = n这 n天出的废品总数为平均每天出废品数为0 n0+1 n1+ 2 n2+ 3 n31( 0 n+ 1 n+ 2 n+ 3 n)0123n= 0 n0+ 1 n1+ 2 n2+ 3 n3nnnn平均每天出废品数为1 ( 0 n+ 1 n+ 2 n+ 3 n)0123nnnnn= 0 0+1 1+ 2 2+ 3 3 nnnnn当n充分大时,频率接近每天出0个废品的概率 0 nn0n1n2n3 p p

3、p p0123nnnn故平均每天出废品数为: 0 p0+ 1 p1+ 2 p2+ 3 p3设X表示该工人每天出废品的个数X 03 1p12p2p0p3他平均每天出废品数为:EX = 0 p0+ 1 p1+ 2 p2+ 3 p3 ,称为X的数学期望.定义2.6设离散型随P X = xn =量 X 的概率分布为:n = 1, 2, 3,.pn如果级数 xn pn 绝对收敛, 则称该级数的值为n随量 X 的数学期望, 记作 EXEX = xn pn即n如果级数 xn pn 不绝对收敛,即级数 xn pn发散,nn则称随量X 的数学期望不存在.说明:当 X只取有限个值时,X的数学期望必存在:即 X x

4、1 时x2p.xk pp1k 2+ x2 p2+ . + xkEX = x1 p1pk当X取可数无穷多个值：X x1 时x2p.xnp p绝对收敛12n xn pnEX 存在n xn pn+ . 收敛=p1 + . +x1x2p2xnpnn xn pn = x1 p1+. 收敛, 此时,+ x2 p2 + . + xn pnn+ x2 p2 + . + xn pn + .EX = x1 p1即 X x1 时x2p.xk当 X只取有限个值时,X的数学期望必存在: pp1k 2+ x2 p2+ . + xk pkEX = x1 p1当X取无穷多个值时,即 X x1 时x2p.xnp p12n xn

5、 pnEX 存在绝对收敛n xn pnpn + . 收敛=p1 +p2 + . +x1x2xnn xn pn = x1 p1+ x2 p2 +. + xn pn +. 收敛,此时,n+ x2 p2 + . + xn pn + .EX = x1 p1若 xn pnn发散,则即使 xn pn 收敛,nEX 也不存在.例 若X服从01分布:1 求 EX0X 1 -pp ,解EX = 0(1 - p) +1p =p例 在掷骰子的试验中, X 表示掷的点数, 求 EX 16 216316416516解X 11 66 EX = 1 1 + 2 1 + 3 1 +4 1 + 5 1 + 6 1666666=

6、 1( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 3.56例甲,乙两人射击一次, 得分的分布是甲:乙:试比较二人的技术.解EX =1 0.4 + 2 0.1 + 3 0.5= 2.1EY = 1 0.1 + 2 0.6 + 3 0.3= 2.2乙得分的平均值比甲的平均值多乙的技术好.Y123p0.10.60.3X123p0.40.10.5例其中r.v.X的分布为0 p 1,求 EXq = 1 - p,= x= p + 2 pq + 3 pq2+npqn-1 +.+解pxpnnnnn=1n=11+ . + nqn-1 + . )=p nqn-1=p=p(1 + 2q + 3q2(1 -

7、 q)2n=1 EX 存在，EX = n=1=p 1 = 1= 1xpnnp2ppn = x 1时 x= ( x)n xn-1nn=1n=1n=1= ( x + x2 + x3 + . + xn + .) = x = 1 1 - x(1 - x)2X123.n.Pppqpq2pqn-1二.连续型随量 的数学期望定义2.7设X是连续型随量,X f ( x),+如果-为随xf ( x)dx 绝对收敛, 则称此无穷积分的值量X 的数学期望, 记作 EX , 即+EX = - x f ( x)dx说明: 对连续型随量Xf ( x)+绝对收敛EX 存在xf ( x)dx-+收敛-x f ( x) dx

8、收敛xf ( x)dx-+此时,+EX =- xf ( x)dx+收敛,若发散则即使xf ( x)dx,x f ( x) dx-EX 也不存在.+绝对收敛EX 存在xf ( x)dx-+收敛-x f ( x) dx 收敛xf ( x)dx-+此时,+EX =- xf ( x)dx+收敛,若发散则即使xf ( x)dx,x f ( x) dx-EX 也不存在.若f ( x) 只在有限区间不为零，则f ( x)+-x f ( x) dxa+bb=0dx +f ( x)dx +x0dxa-baEX 存在.求 EX例 已知b 上的均匀分布,a x b其它r.v.X a,1解,f ( x) = b -

9、aX x f ( x) dx0, xb - a+ab+EX =dx +-=0dx +0dxb-a- a2 1b - a 1b - a2= 1b2= b + axbb=xdxb - a222aay =f ( x) 1b-a均匀分布的数学期望等于该随量 取值区间的中点.ab+le-lx ,x 0x 0例 设连续型随求EX.+量X f ( x) = 0,0+-l=le解x0dx +xx f ( x) dxEX =dx-0-+0-lx0-lxx-l=de= -exdxxe0 1+l 0= xe-lx-l0lx)xd(e+l=1y = f ( x)=1 e-lx= - 1 e-lx+00+lllo0量函

10、数的数学期望三、随离散型:EX = xn pnnY = g ( X )EY =E g( X ) = g( x1 ) p1+ .+ g( x2 )p2+ . + g( xn ) pn= g( xn ) pnn -12 018114例 已知随量 3 X148 1求 X和2的数学期望. X + 2解 E ( X 2 ) = (-1)2 1 + 02 1 + 12 1 + 22 3 = 24884E =1 X + 2 1 + = 1 + 1 + 3 = 471111 -1 + 2 4 1 + 2 4 0 + 2 8 2 + 2 896连续型:设 X是连续型随量,X f ( x), Y = g( X )

11、,+=g( x) f ( x)dxEY例Eg( X )-b 上的均匀分布,求 EX 21r.v.X a,1解y = f ( x),a x bX f ( x) = b - ab-a其它a0,abx2b - a+bEX 2 =+2f ( x)dx0dxdxx0dx-ab 1b - a 1b - a= 1b3- a3 = a2 + ab + b2x3bb=xdx =2b - a333aa例2p上的均匀分布, 求E(sin X ),r.v.X 0,E( X - EX )2 1 ,0 x 2pf ( x) = 2p解X 其它 0,y =f ( x) 1 2p+()=Esin Xsin xf ( x)dx

12、-2p02psin x2p+0=+0dxdx0dx-2p0 1 2p 1 2p2p 1 =cos x2p0=(-cos x)sin xdx= 02p02p0例2p上的均匀分布, 求E(sin X ),r.v.X 0,E( X - EX )2 1 ,0 x 2pX f ( x) = 2p解其它 0,y = f ( x) 1 2pE ( X - EX )2+= E ( X - p)22p0()2=x - pf ( x)dx-( x - p)212p+2p0dx +dx +0= 0dx =( x - p)2 dx2p2p2p00-p 3( x - p)3+ p 3 = 1 p 2112p=0=2p2

13、p333四、数学期望的性质1.如果 c 是一个常数, 则 E (c ) = cX c ,证 EX =c 1= c 1 E (aX ) = aEX对离散型随2.证量X.+x2 p2+. + xn pn+ .EX = x1 p1E (aX ) = a x1 p1+ a x2 p2 + . + a xn pn + .= a( x1 p1 + x2 p2+ . + xn pn量X+ .)= aEXf ( x)对连续型随+-+()f ( x)dx = aEXax f ( x)dx = aEaX=x-Xx1x2x3.xn.Pp1p2p3.pn.aXaxnax3ax2ax1E ( X + b) = EX +

14、 b3.证对离散型随量+ x2 p2 + . + xn pn+ .EX = x1 p1E ( X + b)= ( x1+ ( x2 + b ) p2 + . +( xn + b ) pn + .+ b ) p1= ( x1 p1 + x2 p2 + . + xn pn+ .)+(b p1+ . + b pn + .)+b p2= EX + b( p1)= EX + b+ p2 + . + pn + .Xx1x2x3.xn.Pp1p2p3.pn.X + bx2 + bx1 + bxn + bx3 + bE ( X + b) = EX + b3.证对连续型随+量 X f ( x)()( x +X +b=b) f ( x)dxE- xf ( x) +bf ( x) dx+=-+= -xf ( x)dx +-b f ( x)dx+f ( x)dx = EX + b= EX+b-四、数学期望的性质1.如果 c 是一个常数, 则 E (c ) = cE (aX ) = aEXE ( X + b) = EX + b设 a1 , a2 是任意实数，g1 ( x),g2 ( x)为任意实函数2.3.4.如果 E g1 ( X ), E g2 ( X ) 均存在，则E a1 g1 ( X ) + a2 g2 (