指数函数综合应用

1、1设 a 0 且 a1 ，函数y a2 x2ax1在1,1 的最大值是14，求a的值。【答案】 a1 或 a 33试题解析：令 ta x (a0, a1) ，则原函数化为yt221(t1)22(t0)t2 分当 0a1时， x1,1 ,ta xa, 13分a此时 f(t ) 在 a, 1上为增函数，所以f ( x) maxf (1 )( 11) 22146分aaa所以 a11分(舍）或 a753当 a1时， x1,1 ,t a x1, a 8分a此时 f(t ) 在 1, a上为增函数，所以f ( x) maxf (a)(a1)221410分a所以 a5(舍）或 a3 11分综上 a1或 a3

2、12分3考点： 1，函数单调性 2，函数奇偶性.3 ，换元法 .2已知函数定义域为试卷第 1 页，总 20 页.，若对于任意的，都有，且.时，有.（ 1）判断并证明函数的奇偶性；试卷第 3 页，总 20 页.（ 2）判断并证明函数的单调性；（3）设,若.,对所有恒成立,求实数的取值范围 .【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析（ 3）试卷第 5 页，总 20 页.试题解析：（ 1）因为有，令，得，所以.，令可得：试卷第 7 页，总 20 页.所以，所以为奇函数 .（2）是定义在.上的奇函数,由题意则，试卷第 9 页，总 20 页.由题意时，有.，.是在上为单调递增函数;（3）因为在试卷第 11

3、页，总 20 页.上 为 单调 递增 函数 ， 所 以在上的最大值为.，所以要使1,即0 恒成立.令得：考点：（ 1）函数奇偶性的证明。 （2）函数单调性的证明。 （ 3）运用函数思想及函数性质解决恒成立问题。试卷第 15 页，总 20 页.3（本小题满分 12 分）已知函数ex1f ( x)ex1（ 1）判断 f ( x) 的奇偶性（ 2）判断 f ( x) 在 R 上的单调性，并用定义证明（ 3）是否存在实数t ，使不等式f (xt )f ( x2t 2 )0 对一切 x1,2 恒成立？若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（ 1） f (x) 的奇函数（ 2） f (

4、 x) 在 R 上是增函数，证明见解析（ 3） 2 t 1试题解析：（ 1） x Ref ( x)e分（ 2）任取 x1， x2 R，且 x1x2，则x11exf (x)f (x) 是奇函数3x11exf (x1 )f (x2 )2(ex1ex2 )， x1x2， ex1ex2， (ex11)(ex21)0 ，(ex1 1)(ex2 1) f （x ） f （x ） 0，即 f （ x ）f （ x）， f （ x）在 R 上是增函数6分1212（ 3）假设存在实数t 满足条件由 f （ x）是 R上的奇函数，不等式f （ x t ） f （x2 t2） 0 可化为 f （ x t ） f（

5、x2 t 2），即 f （x t ） f （ x2 t 2），又 f （ x）是 R 上的增函数，f （ x t ） f（ x2 t2）等价于 x t x2t 2，即 x2 x t 2 t 0 对一切 x1,2恒成立，即 ( x2x)mint 2t9分即 2 t 2t 解得2t1综上所述，存在2t1使不等式f （ x t ） f （ x2 t2） 0对一切 x1,2 恒成立12分考点： 1、函数的奇偶性判断；2、函数单调性的证明；3、关于含参数的恒成立问题；2、用定义证明函数的单调性，一般的思路是：设点，作差，变形，判断符号，3、含参数的恒成立问题一般采用参变分离的方法4已知 f (x) 是定

6、义在1,1 上的奇函数，且f (1)1 ，若 m,n1,1 , mn 0 时，有 f (m)f (n)0mn（ 1）证明 f (x) 在1,1上是增函数；（ 2）解不等式 f (x 21)f (3 3x) 0（ 3）若fx)t22at1对x1,1, a1,1恒成立，求实数t的取值范围(.【答案】（ 1）详见解析（ 2） x1, 4（ 3） t2或t2或t03【解析】试 题分 析 ： （ 1） 利 用 定 义 法 任 取1 x1x2 1得f (x1)f ( x2 )f (x1)f ( x2 )f ( x1 )f ( x2 ) ( x1x2 )因为x1x2f (x1 )f ( x2 )0即可证明f

7、 (x1)f ( x2 ) （ 2 ）根据函数单调性确定x10, x1 x2x2x213x31x21 1即可解得 x 1, 4 （ 3 ）因为 f (x) 在 1,1 是单调递增函数且313x31f ( x)max 1，所以只要f(x ）的最大值小于等于t22at1即 t22at11，然后即可求得 t 的范围 .试题解析：（ 1）任取 1x1x21，则 f ( x1 )f ( x2 )f ( x1 )f ( x2 )f ( x1 )f ( x2 ) ( x1x2 ) 2 分x1x21x1x21,x1(x2 )0，由已知f ( x1 )f (x2 )0 4分x1x20, x1 x2f (x1 )

8、f ( x2 )0 ，即 f (x) 在1,1 上是增函数5分（ 2）因为 f (x) 是定义在1,1上的奇函数，且在1,1上是增函数f(x21)f(33)，所以不等式化为xx213x341x211，解得 x1,9分313x31（ 3）由（ 1）知 f (x) 在1,1上是增函数， 所以 f (x) 在1,1 上的最大值为f (1)1，要使( )221对恒 成 立 ， 只 要f xtatx1,1 , a1,1t 22at11t 22at010分设g()t22at, 对a1,1 ,g()0 恒成立，11分aa试卷第 17 页，总 20 页.g( 1) t 22t 0t0或 t2分所以2t 0t2

9、或 t13g (1) t 20所以 t 2或 t2或t0 14 分考点： 1，函数单调性2，函数奇偶性3，含参函数不等式求解 .5已知函数 f (x)x21， g(x)a x1 （）若 f ( x)g ( x) 有且仅有两个不同的解，求a 的值；（）若当 xR时，不等式f ( x)g(x) 恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若 a 0时，求 Gxf (x)g( x) 在 2,2 上的最大值【答案】（） a 0或 a2 ；（） a2；（） G( x)max0, a33 a,3 a 0试题解析：（） x21a x1 ， x1或 x1 a a 0 或 a 2（） x21a x1若若x1 ， aR

10、；x21x1 ，则 ax1 min2x1, x1，Q x12 +，x1x 1, x1，-2 + a2x2axa1,x 2,1（） G( x)x2axa1,x( 1,1)x2axa1,x1,2若 a2，即 a4，则a222所以， G( x) 在 2,1上递增， (1,1)上递增，1,2 上递减，所以， G ( x) maxG (1)0若 2a1，即4a2 ，则 1a222所以， G (x) 在2, a递减，a ,1 递增， (1,1)递增， 1,a 递减，a , 2 递2222增又 G 23 3a ， G 10 ， G 2 3 a.所以，当4a3 时， G( x)max G (1)0当 3a2

11、时， G x maxG 23a若1a0 ，即 2a0，则 0a212所以， G( x) 在 2,1 上递增，1,a上递增，a ,1 上递减， 1,2 上递减，22又 G (2)3 3a ， Gaa21， G (2)3a2a4由于 3aa2a1 ，所以 G ( x)maxG (2) 3+a4综上， G( x) max0, a33 a, 3 a 0考点：函数的图象与性质的应用；绝对值不等式的求解6已知函数f ( x )x | 2ax |2x ， a R （ 1）若 a0，判断函数 yf ( x) 的奇偶性，并加以证明；（ 2）若函数 f ( x) 在 R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（ 3）

12、若存在实数 a2,2, 使得关于 x 的方程 f ( x)tf (2 a)0 有三个不相等的实数根，求实数 t的取值范围【答案】（ 1）奇函数，（ 2）1a 1， (3)1 t98试题解析：（ 1）函数 yf (x) 为奇函数 来当 a0 时， f ( x )x | x | 2x ，x R ， f ( x)x | x | 2xx | x | 2xf (x)函数 yf ( x) 为奇函数；3分（ 2 ） f (x)x2(22a) x( x 2a)， 当 x2a时 ， yf ( x) 的 对 称 轴 为 ：x2(22a) x( x2a)x a1 ；当 x2a时， yf ( x) 的对称轴为： xa

13、1；当 a12aa 1时， yf ( x) 在R 上是增函数， 即1 a1 时，函数 yf ( x ) 在 R 上是增函数；7分（ 3）方程 f ( x)tf (2 a)0 的解即为方程f (x)tf (2 a) 的解当1a1 时，函数 yf ( x) 在 R 上是增函数， 关于 x 的方程 f ( x) tf (2 a) 不可能有三个不相等的实数根；9分当 a1 时，即2aa1a1 ， yf ( x ) 在 (, a1) 上单调增， 在 ( a1,2a)上单调减，在(2 a,) 上单调增，当f(2 a)tf (2 a)f ( a1) 时，关于 x的方程试卷第 19 页，总 20 页.f ( x) tf (2 a )有 三 个 不 相 等 的 实 数 根 ； 即 4at 4a (a 1)2 ， a 1 1 t1 (a12) 4a设 h( a)1 (a12) ，存在 a2,2, 使得关于 x 的方程 f ( x)tf (2 a) 有三个不4a相等的实数根， 1th(a)max ，又可证 h(a)1 (a12) 在 (1,2 上单调增994a h(a) maxt12 18；分8当 a1时，即 2aa1a 1， yf ( x) 在 (, 2a)上单调增， 在 (2 a, a1) 上单调减，在 ( a1,) 上单调增，当 f ( a 1)tf (2 a)f (2 a) 时，关于 x 的方