2001年初二联赛班 1 圆的概念和基本图形练习题

1、 圆的概念和基本图形练习题1(1992年太原市初中数学竞赛试题)已知点B在线段AC上。分别以AB,BC,AC为直径作O1,O2,O。过点B作直线交O于P,Q,交O1和O2于R,S。求证:PR=QS。证明 连结AR,CS. 作OMPQ于M，则由垂径定理，PM=QM.因 AB，BC分别是O1,O2的直径，故ARPQ，CSPQ。于是ARCSOM。而AO=OC，由平行线等分线段定理，RM=SM。所以 PM-RM=QM-SM， 即PR=QS。2（2006年“信利杯”全国初中数学竞赛广西赛区初赛试题）（1）如图A、B、P、C是O上的四个点，APC=CPB=600，判断ABC的形状，并证明你的结论。*（2）

2、比较PA+PB 与PC的大小，并证明你的结论。解(1) ABC是等边三角形。证明如下：在O中，BAC与CPB是所对的圆周角，ABC与APC是所对的圆周角，BAC=CPB，ABC=APC。又APC=CPB=600，ABC=BAC=600，ABC是等边三角形(2) PA+PB=PC. 证明可参看下题分析。3 (1997年天津市初中数学竞赛试题)如图，已知在圆内接三角形ABC中，ABAC，D为弧BAC的中点，DEAB于E，求证：BD2AD2ABAC.分析 待证式BD2AD2ABAC，就是（BE2DE2）（AE2DE2）ABAC,也就是BE2AE2ABAC，即（BEAE）（BEAE）ABAC，故只需证

3、BEAEAC，BE+AE=AB即可。问题转化为三条线段之间的和差关系，可按常规截长补短法来证明.证明 在BA上截取BFAC，连结DF、DC。D是弧BAC的中点，BDCD.在BDF和CDA中，BDCD，12，BFCA，BDFCDA，DFDA.DEAB, AEEF,BEAEBEEF BFAC.由分析可知BD2AD2AB(BEAE)ABAC.4 (1997年陕西省初中数学竞赛试题)已知O的半径为R, C、D是直径AB同侧圆周上的两点,弧AC的度数为96,弧BD的度数36, 动点P在AB上, 求PCPD的最小值.解 设D是D点关于直径AB的对称点,连接CD交AB于P.由圆的对称性可知,点D在圆上,PD

4、PD,于是PDPCPDPC.因两点间的连线中, 线段最短, 所以, 此时点P, 使PCPD最小,且最小值为PCPD, 即线段CD的长。连接CO, DO,作OMCD于M.弧AC的度数为96,弧BD的度数36，弧CD的度数为180963648, 弧CD的度数为48362120, COD120,COMCOD60.在RtCOM中, COR, CMCOsin60R，CD2CMR, PCPD的最小值为R.5（2002年江苏省第17届初中数学竞赛试题）如图，O为ABC的外接圆，BAC=600，H为边AC、AB上的高BD、CE的交点，在BD上取点M，使BM=CH。（1） 求证：BOC=BHC；（2） 求证：BOMCOH；AHOMDECB（3） 求的值。解 （1）因BAC60，所以BOC2BAC120，BHCDHE360（9090BAC）120。从而BOCBHC。（2）因OBOC，故OBCOCB。又BOC120，故OBC（180120）30。而HBC90BCA，所以OBMOBCHBC30（90BCA）BCA60。又OCHHCBHCOHCB（180120）HCB30，但BCA90BAC906030，所以OCHHCBHCA3030BCA60，于是 OBMOCH。又已知 BMCH，OBOC。故BOMCOH。（3）由（2），得OHOM，且COHBOM，从而OHM