[高考数学总复习]第五章第四节复数.ppt

1、一、复数的有关概念 1.复数的概念 形如 的数叫复数，其中a，b分别是它的 和 .若 ，则abi为实数，若 ，则a bi为虚数，若 ，则abi为纯虚数.,实部 虚部 b0 b0,a0且b0,abi(a，bR),2.复数相等 abicdi (a，b，c，dR).,3.共轭复数 abi与cdi共轭 (a，b，c，dR).,4.复数的模 向量 的模r叫做复数zabi的模，记作 或 ，即|z|abi| .,ac且bd,|z|,|a bi|,提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小.,任意两个复数能比较大小吗？,二、复数的运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1abi，z2cdi(a，b

2、，c，dR)，则 (1)加法：z1z2(abi)(cdi) ； (2)减法：z1z2(abi)(cdi) ； (3)乘法：z1z2(abi)(cdi) ； (4)除法： (cdi0).,(acbd)(adbc)i,(ac)(bd)i,(ac)(bd)i,2.复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C， 有z1z2 ，(z1z2)z3 .,z2z1 z1 (z2z3),1.在复平面内，复数zi(12i)对应的点位于 .,解析：zi(12i)2i，复数z在复平面内对应的点为Z(2,1)，该点位于第二象限.,答案：二,2.若z(x21)2(x1)i为纯虚数，则实数x

3、的值为 .,解析：z为纯虚数，,答案：-1,x=-1,3.已知 2i，则复数z .,解析：法一： 2i， (1i)(2i)2 3i113i.z13i. 法二： 2i， 2i， z(1i)(2i)23i113i.,答案：13i,4.若复数z1429i，z269i，其中i是虚数单位，则复数 (z1z2)i的实部为.,解析：z1429i，z269i， (z1z2)i(220i)i202i， 复数(z1z2)i的实部为20.,答案：20,5.已知M1,2，(a23a1)(a25a6)i，N1,3， MN3，则实数a.,解析：依题意(a23a1)(a25a6)i3，,答案：1,解得a1.,1.复数是实数

4、的充要条件 (1)zabi(a，bR)Rb0； (2)zRz (3)zRz20. 2.复数是纯虚数的充要条件 (1)zabi(a，bR)是纯虚数a0，且b0； (2)z是纯虚数z 0(z0)； (3)z是纯虚数z20.,当实数m为何值时，zlg(m22m2)(m23m2)i， (1)z为纯虚数； (2)zR； (3)z对应的点在复平面内的第二象限内.,根据复数z为实数，虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值.,【解】(1)若z为纯虚数，则 解得m3. (2)若z为实数，则 解得m1，或m2. (3)若z的对应点在第二象限内，则 解得1m1 ，或1 m3. 综上得m3时，z为

5、纯虚数； m1，或m2时，z为实数； 1m1 ，或1 m3时，z的对应点在复平面内的第二象限内.,1.已知mR，复数z= (m22m3)i，当m为何 值时，(1)z是实数？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？,解：(1)要使z是实数，m须满足： m22m30且 有意义，解得m3. 当m3时，复数z为实数. (2)要使z是虚数，m须满足：m22m30， 且 有意义，解得m1且m3. 当mR且m1，3时，z为虚数. (3)要使z是纯虚数，m须满足： =0且m22m30. 解得m0或m2， 当m0或m2时，z为纯虚数.,1.在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计 算速度. (1)(1i)22i

6、； (2)(1i)22i； (3) i；,(6)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，nN*.,(5)baii(abi)；(6)i4n1，i4n1i，i4n21， i4n3i，nN*.,(4) i；,2.复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚 数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项， 分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在 运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧.,计算：(1) ； (2) ( )2010.,(1)可用复数的运算性质计算； (2)可用2 ii(1 )计算.,【解】(1)原式 1 i. (2)原式 ( )21005 i( )1005

7、ii1005 ii42511ii2i.,2.计算：,(1),(2),(3),(4),解:(1),-1-3i,(2),(3),-1.,(4),(1i)2010(1i)(1i)2010(1i),(2i)1005(1i)(2i)1005(1i),i(1i)(i)(1i) .,复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.,如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i， 试求：(1) 所表示的复数， 所表示的复数； (2)对角线CA所表示的复数； (3)求B点

8、对应的复数.,结合图形和已知点对应的复数，根据加、减法的几何意义，即可求解.,【解】(1) 所表示的复数为32i. 所表示的复数为32i. 所表示的复数为(32i)(24i)52i. 所表示的复数为(32i)(24i)16i， 即B点对应的复数为16i.,(2),(3),3.设复数z的共轭复数为，且 且4z+2 =3 i， sinicos，复数z对应复平面内的向量为 .求z 的值和 的取值范围.,解：设zabi(a，bR)，则 abi， 由4z2 3 +i,得 4(abi)2(abi)3 +i, 即6a2bi3 +i,根据复数相等的充要条件有,z=,i,z (sinicos),故所求的z= 的取值范围是0，2.,1sin 1， 0|z|2.,从近几年的高考试题看，复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点，通常为填空题.一是考查复数的概念，如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除