第1讲 坐标系与参数方程

1、创新设计热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合1创新设计第1讲坐标系与参数方程热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合2创新设计高考定位高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合3创新设计1.(4sin上，热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合4创新设计解 (1)因为 M( ， )在曲线 C 上，当 时， 4sin 23.

2、000033由已知得|OP|OA|cos 2.3设 Q(，)为 l 上除 P 外的任意一点. 在 RtOPQ 中，cos3|OP|2. 经检验，点 P2，3在曲线 cos32 上， 所以，l 的极坐标方程为 cos32.热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合5创新设计(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，所以 的取值范围是 ，2. 4 所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4cos ，.，42热点聚焦分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合6创新设计1t2x2，1t2.(2019全国卷)在直角坐标系 xOy

3、中，曲线 C 的参数方程为(t 为参数). 4ty以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线21tl的极坐标方程为2cos 3sin 110.(1) 求C的普通方程和l的直角坐标方程；(2) 求C上的点到l的距离的最小值.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合7创新设计1t21t224t2y221，且 x2解 (1)因为121，1t2221t（1t ）y22所以 C 的普通方程为 x 4 1(x1)，因为 xcos ，ysin ，所以 l 的直角坐标方程为 2x3y110.xcos ，(2)由(1)可设 C 的参数方程为( 为参数，0)且垂直于极轴：cos

4、a； (3)直线过 Mb，2且平行于极轴：sin b.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合10创新设计3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1) 当圆心位于极点，半径为 r：r；(2) 当圆心位于 M(r，0)，半径为 r：2rcos ； (3)当圆心位于 Mr，2，半径为 r：2rsin .4.直线的参数方程xx0tcos ，经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为(t 为参数).yy0tsin 设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段 的数量.P0P热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合11创新设计5.圆、椭圆的参数方程xx

5、0rcos ，(1)圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为( 为参数，02).yy0rsin xacos ，x2y2(2)椭圆1ybsin ( 为参数).的参数方程为22ab热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合12创新设计热点一曲线的极坐标方程【例 1】 (2019西安模拟)已知曲线 C1：x2(y3)29，A 是曲线 C1 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 A 绕点 O 逆时针旋转 90得到点 B，设点 B 的轨迹为曲线 C2.(1)求曲线 C1，C2 的极坐标方程； 5(0)与曲线 C ，C分别交

6、于 P，Q 两点，定点 M(4，0)，求MPQ(2)射线 612的面积.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合13创新设计xcos ，22解 (1)曲线 C1：x (y3) 9，把代入可得，曲线 C1 的极坐标方程为 ysin 6sin . 设 B(，)，则 A，2，则 6sin26cos .所以曲线 C2 的极坐标方程为 6cos .5 的距离为 d5 2，(2)M 到直线 4sin 6 6 5 53射线 与曲线 C的交点 P，166热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合14创新设计 5 5射线 与曲线 C的交点 Q33， 6 ，26所以|PQ|333，1故M

7、PQ 的面积 S |PQ|d333.2热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合15创新设计探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos ，yysin ，2x2y2，tan (x0)，要注意 ， 的取值范围及其影响，灵活运用代x入法和平方法等技巧.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合16创新设计 【训练 1】 (2019江苏卷)在极坐标系中，已知两点 A3，4，B2，2，直线 l 的方程 为 sin43.(1) 求A，B两点间的

8、距离；(2) 求点B到直线l的距离.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合17创新设计 解 (1)设极点为 O.在OAB 中，A3，4，B2，2， 222cos由余弦定理，得|AB|3 （2） 235.24 3 (2)因为直线 l 的方程为 sin43，所以直线 l 过点32，2，倾斜角为 4 . 3 又 B2，2，所以点 B 到直线 l 的距离为(32 2)sin 4 22.热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合18创新设计热点二参数方程及应用xcos ，【例 2】 (2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为( 为ysin 参数)，过点(0

9、，2)且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点.(1) 求的取值范围；(2) 求AB中点P的轨迹的参数方程.热点聚焦分类突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合19创新设计解(1)O的普通方程为x2y21. 当 l 与O 交于两点.2时，当 时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx2.2 2 3l 与O 交于两点当且仅当1，解得 k1，即 ， 或 ，.1k24224 3综上， 的取值范围是，.44 热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合20创新设计xtcos ， 3(2)l 的参数方程为(t 为参数，4 4 ).y2tsin tAtB，设 A，B，P 对应的参数分别为 t

10、 ，t ，t ，则 tPABP2且 tA，tB 满足 t222tsin 10.于是 tAtB22sin ，tP2sin .xtPcos ，又点 P 的坐标(x，y)满足 y2tPsin ，x 2sin 2，2 3所以点 P 的轨迹的参数方程是( 为参数，4 4 ). 2 2ycos 222热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合21创新设计1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方探究提高法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求

11、取值范围和最值问题，可利用参数的取值条件求解.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合22创新设计xt，yxcos ，【训练 2】 已知直线 l：(t 为参数)，曲线 C1：( 为参数).33tysin (1)设 l 与 C1 相交于 A，B 两点，求|AB|；1 3倍，得(2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的 2到曲线 C2，设点 P 是曲线 C2 上的一个动点，求它到直线 l 距离 d 的最小值.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合23创新设计解 (1)由题意知，直线 l 的普通方程为 y3(x1)，曲线C1的普通方程为x2

12、y21.y3（x1），1 3联立方程组解得 A(1，0)，B，2222x y 1， 32121则|AB| 0 1.22 热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合24创新设计x12cos ，1 3(2)曲线 C2 的参数方程为( 为参数)，故点 P 的坐标为sin ，cos ，22 3y2 sin 3 3 2 cos 2 sin 3 3 则 d2sin42 ， 4223 6 故当 sin41 时，d 取得最小值，且最小值为.4热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合25创新设计热点三极坐标与参数方程的综合应用角度1极径与参数几何意义的应用x1， 32 t【例 31】(2

13、019沈阳调研)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为1y t2(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 4cos .(1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；(2)设点 P(1，0)，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B，求 1 1.的值|PA|PB|热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合26创新设计x1t， 32解 (1) 由 消去 t 得直线 l 的普通方程为 x3y10.1y t2由4cos ，得24cos ，得x2y24x，即(x2)2y24.故曲线C的直角坐标方程为(x2)2y24.热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合27创新

14、设计x1， 32 t(2)代入曲线 C：x2y24x0 得 t23t30，1y2t设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，t1t2 3，则不妨设 t10，t1t23.（t1t2）24t1t2|t1|t2|t1t2| 1 1 1 1 15.|PA|PB|t1|t2| |t1t2|t1t2|t1t2|3热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合28创新设计探究提高1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能

15、达到化繁为简的解题目的.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合29创新设计【训练 3】 (2019雅礼中学检测)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：xy1 与x22cos ，曲线 C2：( 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立y2sin 极坐标系.(1)写出曲线 C1，C2 的极坐标方程； 0(2)在极坐标系中，已知 l：(0)与C ，C的公共点分别为AB，122|OB|当|OA|4 时，求 的值.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合30创新设计 2解 (1) 由 xy1，得 cos sin 1，曲线 C的极坐标方程为 sin，142

16、x22cos ，2222将曲线 C2：消去参数 ，得(x2) y 4，即 x y 4x0.y2sin ，曲线 C2 的极坐标方程为 4cos . 1(2)由(1)知|OA| ，|OB| 4cos ，ABcos sin |OB|2sin24，|OA|4cos (cos sin )2(1cos 2sin 2)22 |OB| 22sin244，sin24 2 ，|OA|4，22由 0 5 3 2，知4240，则 2(cos sin )，412根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径. 从而|OA|OB|1222sin4. 当 0，4时，40 时，|PQ|min2，得 m2322；3|22m|3当 m0 时，|PQ|min2，得 m2322.所以 m2322或 m2322.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合37创新设计1. 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.2. 要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、过一点的直线，在研究直线与它们的