求圆的切线方程的几种方法

1、.求圆的切线方程的几种方法四川省冕宁中学谢玉在高中数学人教版第二册第七章 圆的方程一节中有一例题： 求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0， y0)的切线的方程。解法一：利用斜率求解如图 1，设切线的斜率为k，则 kkOM1.kOMy0 ,kx0x0y 0经过点 M 的切线方程是：y y0x0( xx0 )y0整理得 x0 xy0 yx02y02 .因为点 M 在圆上，所以x02y02r 2 .图 1所求的直线方程为：x0 xy0 yr 2 .当点 M 在坐标轴上时上

2、面方程同样适用。解法二：利用向量求解如图 2，设切线上的任意一点p的坐标 x, y，（x0, y0 ), PM(x0 x, y0 y)OM PM OMOM ? PM0x0 （ x0x） y0( y0 y) 0整理得： x0 xy0 yx02y02.因为点 M在圆上，所以 x02y02r 2 .所求的直线方程为：x0 xy0 yr 2 .（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）解法三：利用几何特征求解如图 2，设直线上不同于M ( x0 , y0 )的一点 P( x, y) OMPM2PM22OMOP222( y y0 )2x2y 2x0y0 ( x x0 )整理得： x0 xy0 yx

3、02y02 .因为点 M 在圆上，所以x02y02r 2 .所求的直线方程为：x0 xy0 yr 2 .当 P 和 M 重合时上面方程同样适 用。解法四：用待定系数法求解.图 2.1、 利用点到直线的距离求解设所求直线方程的斜率为 k,则直线方程为：y y0k( x x0 ),即： kx y y0kx00原点到切线的距离等于半径O(0,0)y0kx0r1k 2化简整理得：2222x0 y0 k r220(rx0 ) ky0因为 x02y02r 2所以式可化为： y02 k 22x0 y0 k x020解得：kx0代入式y0整理得 x0 xy0 yx02y02 .因为点 M 在圆上，所以 x02

4、y02r 2 .所求的直线方程为：x0 xy0 yr 2 .当斜率不存在时上面方程同样适用。2、 利用直线与圆的位置关系求解：设所求直线方程的斜率为 k,则直线方程为：y y0k( x x0 ),即： kx y y0 kx00（ 1）kxyy0kx00消去 y得由y2r 2x2(1 k 2 ) x22k ( y0kx0 ) x y0 2k2 x0 22ky0 x0r 204k 2 ( y0kx0 )24(1 k 2 )( y02k2 x022ky0 x0r 2 ) 0整理得：2x02)k22x0 y0 k r220( ry0因为 x022r2y0所以式可化为：y02 k 22x0 y0k x020解得： kx0代入式y0整理得 x0 xy0 yx02y02 .因为点 M 在圆上，所以 x02y02r 2 .所求的直线方程为：x0 xy0 yr 2 .当斜率不存在时上面方程同样适用。这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解