第6章逻辑斯蒂回归模型.ppt

1、第六章 逻辑斯蒂回归,Logistic回归模型,对列联表的分析，独立性检验可以初步了解属性之间是否相互独立，或是否相关；通过列联表的相合性检验，可以进一步知道属性之间的相合情况，包括方向和程度； Logistic模型可以更进一步拟合属性变量之间的函数关系，以描述变量之间的相互影响。 列联表中的数据是以概率的形式把属性变量联系起来的，而概率p的取值在0与1之间，因此，要把 概率 与 之间直接建立起函数关系是不合适的。即,Logistic回归模型,实践中， 通常随着 连续增长或连续下降，其直观的曲线形态是S型。,一般有这种形状的数学函数 有以下形式： 称作logistic回归函数。 把以上函数线性

2、化可以得到：,Logistic回归模型,因此，人们通常把p的某个函数f(p)假设为变量的函数形式，取 称之为logit函数，也叫逻辑斯蒂变换。 因此，逻辑斯蒂变换是取列联表中优势的对数。当概率在0-1取值时，Logit可以取任意实数，避免了线性概率模型的结构缺陷。 类似的处理还有probit变换和双对数变换。 其中probit变换是将概率变换为标准正态分布的 值，形式为：,Logistic回归模型,双对数变换的形式为： 以上变换中以logit变换应最为广泛。 假设响应变量Y是二分变量，令 ,影响Y的因素有k个 ，则称： 为二分数据的逻辑斯蒂回归模型，简称逻辑斯蒂回归模型。其中的k个因素称为逻辑

3、斯蒂回归模型的协变量。,Logistic回归模型,最重要的逻辑斯蒂回归模型是logistic线性回归模型，多元logit模型的形式为： 其中， 是待估参数。根据上式可以得到优势的值： 可以看出，参数 是控制其它 时 每增加一个单位对优势产生的乘积效应。 概率p的值：,Logistic回归模型,最简单的logit线性模型为： 则优势为： 以上指数关系说明： 每增加1个单位，优势变为原来的 倍； 此时的概率应为：,Logistic回归模型,多元logistic模型参数的估计 采用极大似然估计方法 假设n次观测中，对应 的观测有 个，其中观测值为1的有 个，观测值为0的有 个，则参数 的似然函数：

4、可以使用迭代法求出参数的ML估计 由于计算的复杂性，可以利用统计软件得到。,Logistic回归模型,【例6.1】一般认为，体质指数越大(BMI25)，表示某人越肥胖。根据3983人的体检结果有388人肥胖，肥胖组中患心血管病的数据见表6.1，试建立体质指数与患心血管病概率的logistic回归模型。 【解】根据题目知道是一元逻辑斯蒂回归问题。运用统计软件可以对参数进行估计得到： 于是logit模型为：,Logistic回归模型,由得到的模型可知， 患病概率为： 当体质指数BMI变化1单位时，对数优势比将增加0.2570，优势比将增加 即：,含有名义数据的logit,前例中的协变量为定量数据，

5、logistic回归模型的协变量可以是定性名义数据。这就需要对名义数据进行赋值。 通常某个名义数据有k个状态，则定义个变量 代表前面的k-1状态，最后令k-1变量均为0或-1来代表第k个状态。 如婚姻状况有四种状态：未婚、有配偶、丧偶和离婚，则可以定义三个指示变量M1、M2、M3，用(1,0,0)、 (0,1,0) 、(0,0,1) 、(0,0,0)或(-1,-1,-1)来对以上四种状态赋值。,含有名义数据的logit,例：某地25岁及以上人中各类婚姻状况居民的死亡情况见表6.2，试建立死亡率关于年龄和婚姻状况的logit模型。 其中，A表示年龄，M1、M2、M3表示婚姻状况 于是，估计的lo

6、git方程为：,含有有序数据的logit,Logit模型的协变量也可以是有序数据 对有序数据的赋值可以按顺序用数0,1,2,3,4分别表示 【例5.8】某地某年各类文化程度的死亡人数见表5.33，试建立logit模型。 建立死亡率关于年龄和文化程度的logit模型 其中A为年龄，E为文化程度,含有有序数据的logit,于是，估计的logit方程为： 其中，年龄的系数0.124，说明年龄越大死亡率会越高； 文化程度的系数-0.164，说明文化程度与死亡率呈负相关，文化程度越高，死亡率越低。,Logistic回归的推断,效应的置信区间 指的是参数的置信区间估计 一般可以采用 的区间形式 通过上述区

7、间端点的指数变换得到 的区间，它是 每增加1个单位对优势的乘积效应 当n很小或拟合概率趋近0或1时，可以采用似然比检验来构造区间，该区间包含所有使原假设成立的可能值 通常可以借助软件得到这种区间,Logistic回归的推断,参数显著性检验 指的是参数的显著性检验 原假设为： 检验统计量为： 同样可以采用似然比检验，甚至功效更好。该检验统计量比较了在 时对数似然函数的极大值 和不限定 时对数似然函数的极大值 。 该检验统计量为： ,在原假设下服从df=1的大样本卡方分布。 可以借助软件得到该统计量的值。,Logistic回归的推断,概率的置信区间 在确定的 值下，P(Y=1)的logistic回

8、归估计为 软件会在给出上述估计的同时，给出真实概率的置信区间。 模型估计概率的优点 可以利用样本数据进行概率的估计 但模型估计的概率比样本比例好得多，估计精度更高，因为它利用了所有数据，不仅是x确定值处的数据。,Logistic回归的推断,模型的检验 比较特定模型与更复杂模型 更复杂模型可以包括非线性效应，比如二次项；有多个预测变量时可以考虑交互作用。如果更复杂模型并不拟合得更好，说明所选模型是充分的。 拟合优度检验 运用观测值和拟合值来构造偏差统计量，形式为： 卡方的df应等于观测的组数与模型参数的差，较小的统计量的值和较大的P-值说明模型拟合不错。 当至多只有几个解释变量且这些解释变量为属

9、性变量，并且所有的单元频数不少于5时，以上统计量近似服从卡方分布。,Logistic回归的推断,残差分析 当预测变量为属性变量，可以利用残差来比较观测频数和拟合频数，这需要在分组数据下进行。则比较观测值与拟合值的皮尔逊残差为： 在皮尔逊残差基础上，还有标准化残差，形式为： ，它的绝对值比皮尔逊残差的绝对值更大，近似服从标准正态分布，故常用。 标准化残差的绝对值大于2或3，说明拟合不好；,多项logit模型,前面讨论的logit模型为二分数据的情况，有时候响应变量有可能取三个或更多值，即多类别的属性变量。 根据响应变量类型的不同，分两种情况： 响应变量为定性名义变量； 响应变量为定性有序变量；

10、当名义响应变量有多个类别时，多项logit模型应采取把每个类别与一个基线类别配成对，通常取最后一类为参照，称为基线-类别logit.,多项logit模型,预测变量为x的基线-类别logit模型为： 模型共有J-1个方程，每个方程有不同的参数，这些效应依据与基线配对的类别而变化； 软件可以同时拟合模型中的所有方程； 不管哪个类别作为基线，对于同一对类别都会有相同的参数估计；即基线类别的选择是任意的；,多项logit模型,【例6.4】研究三个学校、两个课程计划对学生偏好何种学习方式的影响。调查数据见表6.9: 其中，三个学校对应两个哑变量x1和x2，两个课程计划为常规(x3=1)和附加(x3=0)

11、，学习方式分为：自修(y=1)、小组(y=2)、上课(y=3) 从题目可以看出，响应变量是学习方式有三类，属于多项逻辑斯蒂回归问题。于是，建模为：,多项logit模型,应用统计软件可以得到模型的参数估计和回归方程： 然后，将x1和x3的取值代入上式，可以进一步对三个属性之间的关系加以分析。 学校2与学校3的学生在自修与上课两种学习方式上偏好相同； 学校1比学校2和3更偏好上课(1.7270.593); 课程计划中，常规课程与附加课程相比，常规课程学生更偏好自修； 小组与上课相比，三个学校没有差别；常规课程学生更偏好小组学习。,多项logit模型,当响应变量为定性有序变量时，多项logit模型的

12、处理会与名义变量有所不同。 有序响应变量的累积logit模型 当变量为有序变量时，logit可以利用这一点，得到比基线-类别有更简单解释的模型； Y的累积概率是指Y落在一个特定点的概率，对结果为类别j时，其累积概率为： 累积概率满足： 累积概率的模型并不利用最后一个概率，因为它必然等于1,多项logit模型,累积概率的logit为: 称为累积logit 每个累积logit均利用了所有的响应类别 【例6.5】研究性别和两种治疗方法(传统疗法与新疗法)对某种疾病疗效的影响，84个病人的数据见表6.10 由题知，疗效是一个有序变量，包括显著、较有效和无效三个值，需要建立累积logit模型。,多项logit模型,令p1,p2,p3分别表示疗效的三种情况出现的概率，在对性别和疗法赋值后，则累积logit模型为： 其中，与基线-类别logit不同的是，参数 描述了变量 对响应变量落在类j或小于j的对数优势的效应，且对所有(J-1)个累积logit都是相等的； 的情况类似。 以上性质决定了在其他变量不变的情况下， 每增加一个单位，响应变量在任意给定类别下的优势比将为 。 这一相同的比例()适用于每个累积概率,称为比例优势假设.,多项logit模型,应用统计软件，可以得到以上模型的参数估计和回归方程： 统计分析结论如下